一種相控陣?yán)走_預(yù)警搜索屏波位快速設(shè)計方法

陳 穩(wěn)

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，江蘇 南京 211153)

0 引 言

相控陣?yán)走_因為靈活的波束捷變能力而具備良好的多功能性能，廣泛應(yīng)用于遠程預(yù)警、中近程監(jiān)視等場景中。在多功能相控陣?yán)走_的各個工作模式中，目標(biāo)搜索工作模式一般根據(jù)預(yù)先設(shè)置雷達掃描波位和各個波位上的波束駐留，完成對被預(yù)警監(jiān)視空域的覆蓋。如何在考慮波束寬度隨波束掃描變化而變化，且滿足雷達目標(biāo)截獲性能要求的情況下，有效地完成探測空域的波位覆蓋，合理利用雷達能量資源，是相控陣?yán)走_波位設(shè)計重點關(guān)注的問題。

選擇在正弦空間坐標(biāo)系內(nèi)設(shè)計相控陣?yán)走_波位，可有效避免對各個掃描角度上天線波束形狀及寬度的計算，降低了波位設(shè)計的復(fù)雜度。本文首先簡單介紹了正弦空間坐標(biāo)系及其與其他常用雷達坐標(biāo)系的變換關(guān)系，隨之提出了主要針對雷達遠程預(yù)警搜索屏的一種波位設(shè)計方法及其快速計算，并將該方法推廣應(yīng)用到與遠程預(yù)警搜索屏情景類似的雷達低空監(jiān)視搜索空域內(nèi)的波位設(shè)計。仿真結(jié)果表明，本文提出的方法在完成搜索屏或低空搜索空域覆蓋的同時，有效地減少了波位數(shù)目。

1 正弦空間坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換

在天線波束掃描的過程中，相控陣?yán)走_天線遠場波瓣圖的半功率波束寬度和波束形狀都會發(fā)生變化。在大地或陣面坐標(biāo)系中，天線波瓣圖隨波束掃描角度發(fā)生的變化，使我們設(shè)計相控陣?yán)走_系統(tǒng)(尤其是天線陣面相對鉛垂線傾斜放置的雷達系統(tǒng))搜索監(jiān)視掃描波位參數(shù)變得復(fù)雜。

為了能直觀地描述相控陣?yán)走_系統(tǒng)天線波瓣圖的掃描性能，可運用Aulock等提出的一種直觀的方法[1-2]。該方法將單位球面上的點投影到天線陣面平面，也可稱為正弦空間，如圖1所示。正弦空間坐標(biāo)系(α,β)與陣面球坐標(biāo)系(r,θ,φ)有如下的坐標(biāo)變換關(guān)系：

(1)

圖1 正弦空間坐標(biāo)系

為了分析固定陣面相控陣?yán)走_系統(tǒng)預(yù)警監(jiān)視的空域波束覆蓋，還需要建立正弦空間坐標(biāo)系與其他常用坐標(biāo)系的關(guān)系。以相控陣?yán)走_天線陣面中心為坐標(biāo)原點建立的一系列坐標(biāo)系如圖2所示。雷達直角坐標(biāo)系和雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系的關(guān)系如圖2(b)所示，其中雷達直角坐標(biāo)系z軸指向正北，y軸垂直于水平面。雷達直角坐標(biāo)系和雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換為：

(2)

雷達陣面坐標(biāo)系如圖2所示，該坐標(biāo)系的x′Oy′平面為陣面所在平面，z′軸指向陣面法線方向。實際情況中雷達陣面的法線方向一般不指向正北方向，假設(shè)天線陣面所在平面與xOy的傾斜角為T，垂直于天線陣面的平面與zOy平面的夾角為N，雷達陣面坐標(biāo)系與雷達直角坐標(biāo)系的關(guān)系如下：

(3)

圖2(a)顯示了雷達陣面直角坐標(biāo)系、陣面球坐標(biāo)系和正弦空間坐標(biāo)系的相互關(guān)系，根據(jù)上文對正弦空間坐標(biāo)系的定義，根據(jù)式(1)、(2)和(3)以及直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)的變換關(guān)系，可以得到雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系與正弦空間坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。

由此可以將雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系中的探測空域變換至正弦空間坐標(biāo)系，方便對用于覆蓋搜索空域的波束設(shè)計方案進行分析。

圖2 坐標(biāo)系相互關(guān)系

(4)

(5)

2 相控陣?yán)走_預(yù)警搜索屏和波位設(shè)計

當(dāng)陸基或海基相控陣?yán)走_工作在預(yù)警模式時，其主要針對彈道導(dǎo)彈一類的目標(biāo)。從目標(biāo)飛行軌跡的特點來看，這類目標(biāo)一般從地面或海面發(fā)射，起始飛行軌跡相對固定。相控陣?yán)走_面對此類目標(biāo)時，考慮到需要雷達能盡早發(fā)現(xiàn)目標(biāo)并上報，且能夠提供盡可能長的跟蹤時間提取目標(biāo)特征和防御打擊，雷達自主預(yù)警監(jiān)視階段一般采用低俯仰角度的扇形搜索屏尋找目標(biāo)[3]。

2.1 正弦空間中的預(yù)警搜索屏

一般情況下，遠程預(yù)警搜索屏的中心俯仰高度在1°～3°左右，其厚度可被1～2個雷達波束覆蓋。預(yù)警搜索屏的方位覆蓋和俯仰厚度，與實際探測需求的目標(biāo)截獲概率和目標(biāo)探測次數(shù)緊密相關(guān)。為了方便展示預(yù)警搜索屏在正弦空間的情況。本文假設(shè)相控陣?yán)走_天線陣面的垂直于天線陣面的平面與zOy平面的夾角N為零，天線陣面所在平面與xOy的傾斜角T為20°。搜索屏的方位角覆蓋為[-40°,40°]，中心俯仰高度為2°，厚度為1個波束寬度(2°)。根據(jù)式(4)、(5)可以得到圖3所示的正弦空間搜索屏。可以看到雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系下長方形的搜索空域，在正弦空間下的搜索屏輪廓線是由4條橢圓曲線圍成的閉合曲線。

圖3 遠程預(yù)警搜索屏在不同坐標(biāo)系下的情況

2.2 預(yù)警搜索屏內(nèi)的波位設(shè)計

2.2.1 正弦空間內(nèi)的波瓣圖半功率寬度輪廓線

在設(shè)計波位之前首先需要分析波瓣圖主瓣半功率寬度輪廓線在正弦空間的情況。一般情況下，矩形口徑的平面陣列天線主瓣的半功率寬度輪廓線在正弦空間內(nèi)的投影為橢圓。根據(jù)第1節(jié)正弦空間的性質(zhì)，相控陣?yán)走_系統(tǒng)在波束掃描過程中，天線波瓣圖形狀在正弦空間平面上的投影只發(fā)生平移，半功率寬度輪廓線的形狀不隨掃描角的變化而變化。由此可以利用相控陣?yán)走_天線波束指向為陣面法線方向時，天線主瓣半功率寬度輪廓線在正弦空間平面的投影橢圓，來分析和描述相控陣?yán)走_天線波束的掃描情況。

波瓣圖半功率寬度橢圓輪廓線的長短軸與雷達球坐標(biāo)內(nèi)的波束寬度的關(guān)系如下：

(6)

式中：Bφ=0和Bφ=π/2分別為φ為0°和90°時得到的三維波瓣圖在rOθ平面內(nèi)的半功率寬度，對于線天線組成的陣列而言，其分別為E面和H面的半功率波束寬度。

在正弦空間坐標(biāo)系中設(shè)計搜索空域內(nèi)的波位時，需要控制波位排列的樣式，如縱列波位、交錯波位等[4-5]。其樣式對各個波束的輪廓線之間的位置關(guān)系作了約束。由于判斷平面內(nèi)2個橢圓位置關(guān)系需要較多步驟的代數(shù)方法，如利用兩橢圓確定的廣義特征多項式的根的分布情況[6]等，為了快速完成遠程預(yù)警搜索屏內(nèi)的波束設(shè)計，本文采用了近似的方法。

常規(guī)情況下，相控陣?yán)走_遠程預(yù)警搜索模式下，天線的波束形狀主要為筆形波束，相對天線陣面水平和垂直方向上的波束寬度一般相等或非常接近，可將波束半功率寬度輪廓線近似為圓，圓的半徑可為波位設(shè)計主要關(guān)注方向上的波束寬度。對于覆蓋固定俯仰角度的搜索屏而言，我們主要關(guān)注波束在方位上的排布，此時正弦空間內(nèi)波束輪廓線近似圓的半徑可采用天線水平方向上1/2半功率波束寬度在正弦空間內(nèi)的值rα。

2.2.2 預(yù)警搜索屏內(nèi)的波位快速設(shè)計

由2.2.1節(jié)可知正弦空間內(nèi)波束輪廓線不隨掃描角度的變化而變化，因此與在雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系內(nèi)設(shè)計波位相比，在正弦空間內(nèi)設(shè)計波位更簡單快捷。

在相控陣?yán)走_系統(tǒng)設(shè)計和使用的過程中，一般希望探測空域相對于陣列天線平面法線方向是對稱的，從而盡可能多地使用陣列天線性能最佳的波束。

為了快速完成探測空域內(nèi)的波位設(shè)計，并觀察波位設(shè)計的效果，假定垂直于天線陣面的平面與zOy平面的夾角N為0°——即天線平面法線的方位角為0°，與之對應(yīng)的探測空域的方位坐標(biāo)范圍隨之更改。同時采用2.2.1的方法近似將正弦空間內(nèi)的波束輪廓線視作圓，其半徑為rα。

本文提出了一種基于以上約定和近似的、針對厚度為單個波束寬度的預(yù)警搜索屏單層波位設(shè)計方法。

首先根據(jù)式(4)、(5)將雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系內(nèi)的搜索屏區(qū)域S1變換至正弦空間區(qū)域S2，隨后根據(jù)搜索屏俯仰角度下限和波束寬度確定所有波位的俯仰角度，由式(4)、(5)可知，在正弦空間內(nèi)，這些波位都在一個橢圓上，該橢圓的方程為：

(7)

式中：A=cosσ；B=sinσ·cosT；C=-cosσsinT。

根據(jù)式(7)和各個波位之間的距離關(guān)系，聯(lián)立解方程組，循環(huán)求解波位。該方程組為：

(8)

式中：(αi,βi)為某一個波位坐標(biāo)，第一個波位坐標(biāo)可采用搜索屏中心位置坐標(biāo)；d為各個波位之間在正弦空間的距離，當(dāng)d=2rα?xí)r，波束在正弦空間內(nèi)相外切。

本文采用的判別循環(huán)終止的準(zhǔn)則為：當(dāng)求得的波位坐標(biāo)不屬于區(qū)域S2時終止循環(huán)。

最后將包含在正弦空間區(qū)域S2內(nèi)的波位坐標(biāo)變換至雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系中，完成搜索屏內(nèi)波位的設(shè)計。

由于需要多次求解二元二次方程組(8)，通過符號計算求解方程組的解需要花費大量的時間，本文將方程組轉(zhuǎn)化為線性方程，利用牛頓法[7]以迭代的方式尋找合適的數(shù)值解，首先將方程組(8)改寫成如下形式：

(9)

令x=(α,β)T，F(xiàn)=(f1,f2)T，得到方程F(x)=0。假設(shè)已知該方程的一個近似根，記為x(k)，根據(jù)泰勒公式在x(k)展開F(x)=0，得到：

F(x)≈F(x(k))+F′(x(k))(x-x(k))

(10)

式中：F′(x)為Jacobi矩陣。

記該線性方程的解為x(k+1)，可以得到下面的迭代公式：

x(k+1)=x(k)-F′(x(k))-1F(x(k))

(11)

重復(fù)計算式(11)，直到滿足│x(k + 1)-x(k)│<ε時，可得到近似的數(shù)值解x(k + 1)，其中ε為給定精度。

由于需要求解的波位的正弦空間坐標(biāo)的變化范圍相對較小，通過選擇合適的初值，牛頓法可快速地解出滿足要求的波位坐標(biāo)。

2.2.3 仿真分析

不失一般性，假設(shè)某相控陣?yán)走_的天線陣面所在平面與xOy的傾斜角為T=20°，遠程預(yù)警搜索屏方位覆蓋[-45°,45°]，搜索屏俯仰方向中心指向2°，搜索屏厚度為1個波束寬度。為了方便計算和展示波束設(shè)計的效果，假設(shè)相控陣?yán)走_相對天線陣面水平和垂直方向上的半功率波束寬度均為2°。

利用2.2.2節(jié)提出的波位設(shè)計方法，正弦空間內(nèi)波束半功率寬度輪廓線相外切的波位設(shè)計仿真結(jié)果如圖4所示，完成搜索屏空域覆蓋使用了41個波位。

圖4 利用2.2.2節(jié)方法設(shè)計的波位

利用文獻[4]的方法，正弦空間波位采用交錯排列，且波束半功率寬度輪廓線相外切的波位設(shè)計仿真結(jié)果如圖5所示，完成搜索屏空域覆蓋使用了45個波位。

圖5 利用文獻[4]方法設(shè)計的波位

通過表1比較2種方法可以看到，在不改變相控陣?yán)走_相關(guān)參數(shù)以及搜索屏俯仰中心指向和厚度的情況下，本文提出的方法在幾個典型搜索屏方位覆蓋下比文獻[4]方法使用了更少的波束。并且在相同的判別波位是否屬于正弦空間區(qū)域S2準(zhǔn)則下，本文提出的方法在區(qū)域S2左右兩側(cè)邊緣的波束覆蓋程度比文獻[4]的方法更高，如圖6所示。

表1 2種方法覆蓋搜索屏的波束數(shù)比較

圖6 2種方法在掃描空域邊緣的比較

2.3 在低空搜索場景的應(yīng)用

在相控陣?yán)走_的低空搜索應(yīng)用中，探測空域在俯仰方向上的角度范圍一般在0°～5°或0°～10°，其形狀類似于遠程預(yù)警搜索屏，只是俯仰方向上的厚度略有增加。為了使本文提出的方法可以設(shè)計厚度大于1個波束寬度的搜索屏或者低空搜索空域內(nèi)的波位，需將低空搜索探測空域內(nèi)可能存在的所有波位按照俯仰角度分層，每層各個波束的俯仰角相等。

根據(jù)正弦空間內(nèi)波位排列樣式，可以得到被探測空域各個仰角層在正弦空間內(nèi)的橢圓方程，隨后在正弦空間內(nèi)利用2.2.2節(jié)提出的方法進行每層波位的設(shè)計，計算各個俯仰層波束的方位位置，最終根據(jù)相關(guān)的準(zhǔn)則確定屬于探測空域內(nèi)的波位，并轉(zhuǎn)換至雷達距離-方位-俯仰坐標(biāo)系中完成波位設(shè)計。

圖7給出了使用本文方法的針對典型低空搜索場景的波位設(shè)計仿真結(jié)果。低空搜索空域方位覆蓋[-45°,45°]，俯仰覆蓋[0°,9°]，雷達半功率波束寬度為2°，各個波位間的排列方式采用交錯排列。可以看到本文提出的方法可能應(yīng)用于一定俯仰厚度的低空搜索空域內(nèi)的波位設(shè)計，在被探測空域邊緣處實現(xiàn)良好的覆蓋度。

圖7 低空搜索場景的波位設(shè)計

3 結(jié)束語

運用搜索屏對目標(biāo)進行遠程預(yù)警是相控陣?yán)走_反導(dǎo)工作模式下常見的搜索監(jiān)視策略。搜索屏內(nèi)良好的波位設(shè)計是實現(xiàn)快速有效發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的重要條件之一。本文利用正弦空間內(nèi)天線波束寬度不變的特性，提出了主要針對雷達遠程預(yù)警搜索屏的一種波位設(shè)計方法，利用數(shù)值方法實現(xiàn)波位坐標(biāo)的快速計算。仿真結(jié)果顯示本文提出的方法可有效完成典型遠程預(yù)警搜索屏內(nèi)的波位設(shè)計。與傳統(tǒng)方法相比，在減少了覆蓋搜索屏所需的波位數(shù)目的同時，提高了搜索屏邊緣的覆蓋程度。最后還對該方法進行改進，以應(yīng)用于低空監(jiān)視空域的波位設(shè)計。