基于柔性襯底的平面螺旋電感的計算與仿真

喬照洋

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

隨著科學技術的發展，射頻識別(RFID)技術和無源無線傳感技術已經應用于生物和醫療領域。根據生物體和人體醫療等應用的需求，平面電感需要基于柔性襯底建立。基于柔性襯底的平面電感在工程應用中還十分少見。RFID技術、無源無線傳感中有一類是利用了電感的近場耦合原理。因此，平面電感的設計和制作對于這類RFID技術和無源無線傳感技術十分關鍵。

柔性襯底電感的發展非常迅速，多種類型的柔性襯底器件已經在國外研制出來。日本東京大學研究出柔性多通道神經檢測探針陣列，用來檢測大腦中不同神經的活躍性；德國生物醫學工程研究所研制出一種用于視網膜移植的柔性微電極陣列。

隨著混合微電子和微波集成電路領域技術的進步，微膜微電感器的使用程度不斷增加。電感的設計在這段時期內，很大程度上基于以上理論推導。電感的設計與工藝的制作是一個非常耗時的過程。因此，基于計算機仿真的電感設計方法能大大提高設計效率[1]。

1 柔性襯底簡介

傳統的微機電系統(MEMS)器件大多制作在硅、玻璃等剛性襯底上，制作的器件大多是無法彎曲的剛性結構，然而在實際應用中，對可撓性好、能貼附在任意曲面或不規則物體表面的類皮膚型器件的需求日益增多。

柔性器件具有很多優點，它們廣泛應用于生物醫藥、大氣監測和航空航天等領域中。常用的柔性襯底有聚酯、聚酰亞胺、很薄的金屬、聚二甲基硅氧烷等。

當前應用最廣泛的柔性襯底材料之一是聚酰亞胺。它具有優異的介電性能、力學機械性能、穩定的物理化學性能和耐熱性能等。聚酰亞胺襯底可以任意修改圖形設計，任意安排空間布局[2]。

銅箔襯底和很薄的金屬有良好的機械性能，但柔性較差。

硅橡膠具有很好的彈性，而且還有氣體通透性、生物兼容性和優質的光學特性。

2 平面電感簡介

平面電感相對于普通電感有體積小、集成度高和工藝簡單等優點。

普通電感的數值通常受物理因素、電感材料和鐵芯的影響，十分難以控制。在電感設計的過程中，設計者很難掌握電感的取值，而且線寬、線圈匝數和間距都會對電感值產生影響，使實驗難度大大增加，實驗的過程變得冗長。隨著科技進步，人們逐漸開始改進電感，把立體電感二維平面化。20世紀70年代至90年代末，研究人員對平面電感產生深厚的興趣。21世紀，貼片元件開始進入人們的眼簾，然而在電路中它會產生寄生效應。為了避免這些不必要的損失，研究人員已經開始在電路的表面上制備這些電子器件。電子科學與技術未來的發展能否前進的關鍵在于印刷電路。元件的密集度與集成化即將成為電子科學技術的重點。

普通電感的電感值大概在1～20 nH，Q值可以達到10,平面電感可以達到更高的電感值和Q值。平面螺旋電感的主要形狀有正方形、矩形、六邊形、八邊形和圓形。其中正方形螺旋電感最易設計，應用最為廣泛。電感的幾何參數(導體的寬度,相鄰導體之間的間距，匝數)和幾何形狀對平面電感參數的影響需要通過模擬和實測數據進行驗證[3]。

圖1 平面電感的四種常見類型

3 平面電感參數計算

為了在射頻識別頻域內精確模擬射頻(RF)平面螺旋電感的性能，研究者設計了一種計算RF平面螺旋電感的物理模型，這種模型使用格林豪斯法計算電感值，需要考慮渦流和襯底電阻以及寄生電容等對電感的影響，寄生電容包括電感與終端引出層間的交叉電容、襯底電容、電感與襯底間的電容等。這種模型能夠計算不一樣的設計形狀和因素的電感，為電感的設計和質量的提高提供了一種很好的方法。電感的形狀不同，總的電感值也不同。可以根據電感的材料長度和所占面積來選擇具體形狀的平面電感。利用擴展格洛夫方程、無互感格洛夫方程、布萊恩方程、特曼方程等公式計算螺旋形電感的互感和總電感。

3.1 平面電感值的計算

對于給定的形狀，定義電感參數：匝數n、寬度w、間距s，和外徑dout，內徑din，平均直徑davg=0.5×(dout+din)，填充比Δ=(dout-din)/(dout+din)。

為了確定離散平面螺旋電感的電感值，使用了以下幾種算法：

(1) 修改后的韋爾公式：

Lmw=K1×μ0×n2×davg/(1+K2×Δ)

(1)

式中：μ0是真空磁導系數，μ0=4π×10-7N/A2;K1、K2的值和設計的圖形有關,如表1所示。

表1 K1、K2與圖形形狀的關系

(2) 基于面電流近似法的計算公式：

Ls=(μ0×n2×davg×c1/2)×

[ln(c2/Δ)+c3×Δ+c4×Δ2]

(2)

表2 面電流近似計算公式中的參數C列表

(3) 基于數據擬合技術的計算公式:

Lmon=β×doutα1×ωα2×davgα3×nα4×sα5

(3)

式中：β,α為電感結構因子，不同形狀的取值見表3。

表3 數據擬合計算公式中的結構因子參數表

經計算驗證，通過應用這些公式獲得的電感值的差異不超過10%。

3.2 平面電感串聯電阻的計算

對串聯電阻的計算應用以下計算公式：

(4)

式中：P為金屬直流電阻率;l為螺旋的總長度；w為線寬；δ為金屬表面深度；t為金屬厚度。

3.3 平面電感電容的計算

在結構上矩形導體表面和電路板十分接近，導致導體之間水平方向電容的產生。如圖2所示。

圖2 上有2個矩形導體(相距d)的電路板

圖2中：w為導體寬度；t為矩形導體厚度；d為2個矩形導體間的距離；l為矩形導體長度；εr為矩形導體相對介電常數。

單位長度的電容計算公式：

(5)

式中：ε0=8.854 187 817 6×10-12;εr(off)為矩形導體相對介電常數。

當d小于h，εr(off)≈1；當d約等于絕緣體的高度h，εr(off)≈(εr+1)/2。

3.4 平面互感的計算

對于L形薄膜電感，其總電感等于雙直線段自感的總和，但是小于相同長度下單根直線段的電感。在矩形或正方形平面線圈的情況下，互相平行的直線段會產生互感。

圖3表示由i1、i2產生的互感，在這情況下M1,2=dΦ1,2/di1，M2,1=dΦ2,1/di2，Φ1,2是通過L1、L2的電流i1產生的自感通量，Φ2,1是通過L1、L2的電流i2產生的自感通量。當2個電流產生的頻率相同，總的互感MT等于M1,2和M2,1向量之和；當這些頻率不同時，必須使用瞬時和。

圖3 單電流線圈產生的互感

平面矩形線圈如圖4所示，該線圈的總電感量等于所有互感和自感的總和。

圖4 平面矩形螺旋線圈

圖4中，段1和5之間的互感M1，5由通過段1的電流產生，互感M5，1由通過段5的電流產生。由于在2個段的頻率和相位是相同的，連接在它們之間的總互感等于M1，5+M5，1。段對2-6、3-7和4-8之間存在類比關系。在這些段對中，電流同方向的2段之間的互感正相關。另一方面，1和7之間的互感由段1電流引起的M1,7和段7電流引起的M7,1組成。連接這2個段的總互感是M1,7+M7,1，段1中的電流方向與段7中的相反，互感負相關。 1-3、5-7、5-3、2-8、2-4、6-8、6-4中存在相同的類比關系。在所有導線中，由于電流的大小是相同，所以Ma,b=Mb,a，因此總電感是：

LT=L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8+

2(M1,5+M2,6+M3,7+M4,8)-

2(M1,7+M1,3+M5,7+M5,3+

M2,8+M2,4+M6,8+M6,4)

(6)

完整線圈或部分線圈的一般計算法為:

LT=L0+∑M

(7)

式中：LT是總電感；L0是所有直導線的總自感；∑M是總互感，包括正互感與負互感。

上式可以重新寫為:

LT=L0+M+-|M-|

(8)

式中：M+是總的正互感;M-是總的負互感。

平行導線之間的互感是導線長度和幾何平均距離的函數，M=2ρQ,M的單位是mμH，ρ是以mm為單位的導線長度，Q是互感系數。

4 測量值與理論值的比較

為了對第3節的計算公式進行驗證，用LRC數字電橋對圖5中的5個平面螺旋電感在100 MHz下進行測量，并將測量結果與計算結果進行比較，如表4所示。

圖5 實際測量的正方形螺旋電感

表4 平面電感測量值與計算值比較

可以得出：匝數N越大，理論計算值與實際值的偏差越大[4]。

5 平面電感的仿真

平面螺旋電感主要有2個特性參數：品質因數Q和電感值L。品質因數Q的大小是用來表示電感性能好壞的1個指標，其定義為1個周期內電感中存儲能量和消耗能量的比值。感抗是電感線圈對交流電流阻礙作用的大小，用2πfL表示。

仿真分析電感時，把電感當做一個雙端口器件,如圖6所示。計算電感的等效電感值L和品質因數Q時，將一端接地，如圖7，另一端等效阻抗為Zin,則Q的定義為Zin的虛部與實部的比值，L定義為虛部除以角頻率。

Q=Im(Zin)/Re(Zin)

(9)

L=Im(Zin)/ω

(10)

圖6 雙端口等效電路

圖7 單端接地等效電路

由圖6可以得到關系式：v1=Z11i1+Z12i2，v2=Z21i1+Z22i2。

圖7中，當端口2接地后，得到關系式：i2=-Z21i1/Z22，代入式(9)、式(10)得到Zin=-v1/i1=1/Y11。

利用Ansys軟件仿真設計一個銅襯底的厚度為2 μm、線寬為15 μm、外徑為450 μm、內徑為420 μm的矩形平面電感，如圖8所示。Q與f的仿真關系如圖9所示，L與f的仿真關系如圖10所示。

圖8 平面電感仿真圖

電感達到一定頻率就會自諧振，超過這個頻率就會表現出電容特性。通過仿真可以得出，Q隨f的變化先變大后變小，在3 GHz達到最大值；L隨f的變化先變大后變小再變大，在11.5 GHz達到最大值。Q與L很難在同一頻率達到最大。

圖9 Q與f的仿真關系圖

圖10 L與f的仿真關系圖

6 結束語

本文介紹了基于柔性襯底平面電感的串聯電阻、電容、互感、總電感的計算方法，給出了平面電感的結構類型；對平面電感的實際電感值與理論計算值做了比較；通過仿真得到電感值和品質因數與頻率的關系。通過改變電感結構和電感參數，有助于實現不同類型的電感設計。