函數(shù)知識(shí)再建構(gòu)思想方法再提煉

文 浦?jǐn)⒌拢ㄌ丶?jí)教師）

專題復(fù)習(xí)：函數(shù)

領(lǐng) 銜 人：浦?jǐn)⒌拢ㄌ丶?jí)教師）

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷提高的過(guò)程。在新授課學(xué)習(xí)時(shí)，我們學(xué)到的是散點(diǎn)狀的一個(gè)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；在單元課學(xué)習(xí)時(shí)，我們學(xué)到的是聯(lián)線狀的一條一條知識(shí)線；在中考復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)時(shí)，我們需要達(dá)成的是塊面狀的一個(gè)一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)。只有這樣，我們才能對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)和核心方法從最初的了解，到中間的理解，到最后的見(jiàn)解。所以，在進(jìn)行函數(shù)板塊復(fù)習(xí)時(shí)，我們非常有必要對(duì)函數(shù)知識(shí)進(jìn)行再建構(gòu)，對(duì)所含思想方法進(jìn)行再提煉。

一、函數(shù)知識(shí)再建構(gòu)

1.函數(shù)與其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)。

初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分，其中“數(shù)與代數(shù)”又分成“數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)”五個(gè)板塊。從中可以看出，“函數(shù)”是初中代數(shù)的最后一個(gè)板塊，也是初中代數(shù)最綜合、最精華、最核心的內(nèi)容。它與前面四塊內(nèi)容之間的知識(shí)結(jié)構(gòu)如下。

2.函數(shù)同類單元知識(shí)的關(guān)聯(lián)。

就函數(shù)板塊而言，初中代數(shù)首先學(xué)習(xí)了一般函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上分別學(xué)習(xí)了特殊的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)。從學(xué)習(xí)內(nèi)容的先后呈現(xiàn)方式可以看出，每一類函數(shù)都是按照“定義（含自變量取值范圍、函數(shù)值）、圖像、性質(zhì)、運(yùn)用和應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題”展開(kāi)，所以，我們可以把所有的函數(shù)知識(shí)看成是一個(gè)同類單元，所有這些函數(shù)之間的知識(shí)結(jié)構(gòu)如下。

二、思想方法再提煉

1.數(shù)形結(jié)合思想。

初中代數(shù)有兩個(gè)重要的數(shù)形結(jié)合的代表性工具：一是數(shù)軸，借助數(shù)軸，任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，反之，數(shù)軸上任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣就形成了一個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；二是平面直角坐標(biāo)系，借助坐標(biāo)系，平面內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一組有序?qū)崝?shù)對(duì)，反之，任何一組實(shí)數(shù)對(duì)都可以在坐標(biāo)系內(nèi)找到唯一的一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這樣就形成了一對(duì)有序?qū)崝?shù)與平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)和研究正是把坐標(biāo)系作為工具來(lái)展開(kāi)的。所以，需要特別提醒同學(xué)們的是，當(dāng)我們研究函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，如果題目沒(méi)有提供函數(shù)圖像，最好能夠先畫出函數(shù)的圖像，哪怕是基本符合條件的草圖，這樣有助于我們借助圖像的直觀，找出一些隱含在圖像內(nèi)的數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而易于分析和解決問(wèn)題；如果題目已經(jīng)給出了圖像，建議同學(xué)們把已知條件和能夠從圖像上獲得的所有信息先找出來(lái)，再去考慮解決問(wèn)題的路徑和方法。

2.方程（不等式）思想。

在上面的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，我們已經(jīng)介紹了方程、不等式、函數(shù)之間的關(guān)系，這里重點(diǎn)從思想方法的角度再給同學(xué)們展開(kāi)。方程和不等式表示的是數(shù)量關(guān)系中的相等和不等，函數(shù)表示的是從變化的角度研究?jī)蓚€(gè)量x、y之間的關(guān)系。任何一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x確定時(shí)，可以求出函數(shù)值y，這時(shí)相當(dāng)于求代數(shù)式的值；反之，當(dāng)函數(shù)值y確定時(shí)，原來(lái)的兩個(gè)變量x、y只剩下一個(gè)x，這時(shí)，函數(shù)實(shí)際上變成了關(guān)于x的方程，當(dāng)函數(shù)值y為某一個(gè)確定的范圍，原來(lái)的兩個(gè)變量x、y也只剩下一個(gè)x，這時(shí)，函數(shù)實(shí)際上變成了關(guān)于x的不等式。從函數(shù)圖像上看，如果y=0，也就是函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值就是函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的解；如果y＞0，也就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的上方部分，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值就是函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式的解集；如果y＜0，也就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的下方部分，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值就是函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式的解集。

3.函數(shù)思想。

我們先從幾個(gè)點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)思想。點(diǎn)P（3，4）認(rèn)識(shí)嗎？顯然點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一個(gè)確定的點(diǎn)。點(diǎn)Q（3，0）認(rèn)識(shí)嗎？顯然點(diǎn)Q是在x軸正半軸上的一個(gè)確定的點(diǎn)。點(diǎn)R（0，4）認(rèn)識(shí)嗎？顯然點(diǎn)R是y軸正半軸上的一個(gè)確定的點(diǎn)。點(diǎn)M（a，0）認(rèn)識(shí)嗎？由于a的變化，所以，只能知道點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不能真正確定。點(diǎn)N（0，b）認(rèn)識(shí)嗎？由于b的變化，所以，只能知道點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不能真正確定。點(diǎn)（a，4）和點(diǎn)（3，b）認(rèn)識(shí)嗎？其分別是直線y=4和直線x=3上的點(diǎn)。點(diǎn)A（x，y）認(rèn)識(shí)嗎？顯然點(diǎn)A應(yīng)該是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它可以在平面內(nèi)任何位置，如果x與y之間有一種特定關(guān)系，那么x變，y也變，x確定，y也確定，這時(shí)x與y之間就構(gòu)成了函數(shù)。所以，研究坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，我們可以假設(shè)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），再研究出x與y之間的關(guān)系，這就是函數(shù)思想的體現(xiàn)。如點(diǎn)B在二次函數(shù)y=3x2+5x-2的圖像上，我們可以假設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，3x2+5x-2）。

4.函數(shù)建模思想。

學(xué)以致用是數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值體現(xiàn)之一。學(xué)習(xí)了每一類方程之后，我們最后學(xué)的是用方程解決問(wèn)題；學(xué)習(xí)了每一類不等式之后，我們最后學(xué)的是用不等式解決問(wèn)題；學(xué)習(xí)了每一類函數(shù)之后，我們最后學(xué)的是用函數(shù)解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)上，我們分別把用方程解決問(wèn)題、用不等式解決問(wèn)題和用函數(shù)解決問(wèn)題稱為方程建模、不等式建模和函數(shù)建模。解決問(wèn)題的路徑是完全一致的，都是先把實(shí)際問(wèn)題變成數(shù)學(xué)問(wèn)題（方程、不等式、函數(shù)），然后求解數(shù)學(xué)問(wèn)題得到數(shù)學(xué)的解，再把數(shù)學(xué)的解代入驗(yàn)證是否符合實(shí)際，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)厚積薄發(fā)、舉一返三的過(guò)程。尤其是中考復(fù)習(xí)的時(shí)候，我們應(yīng)抓住核心知識(shí)及其相互關(guān)聯(lián)，抓住重要的數(shù)學(xué)思想方法，從宏觀上加以把握。上面給同學(xué)們介紹了函數(shù)這個(gè)板塊的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思想方法，相信同學(xué)們對(duì)函數(shù)部分有了更清晰的整體認(rèn)識(shí)。至于這些知識(shí)和思想方法如何用，可以通過(guò)后面的文章，自己去體會(huì)和感悟。