調制磁場交流霍爾電壓測量技術

李潮銳

(中山大學 a.物理學院; b.物理國家級實驗教學示范中心，廣東 廣州 510275)

利用導體或半導體的霍爾效應，可以測定材料的導電類型和載流子濃度. 通過測量霍爾系數隨溫度變化關系，可以確定半導體的禁帶寬度、雜質的電離能及遷移率的溫度特性等. 從微觀角度，可研究材料的磁性質和磁相變. 霍爾效應測量中總伴隨著愛廷豪森效應、能斯特效應、里紀-勒杜克效應和不等位電勢差等各種副效應[1-4]，從而影響霍爾電壓測量準確性. 霍爾效應最基本實驗技術是直流電測量法[5-9]，即采用直流樣品電流和穩恒外磁場測量材料霍爾系數(電壓)，通過對樣品電流和外磁場分別換向測量取平均以消除主要副效應. 對于變溫霍爾效應測量，由于每溫度點需要改變4次實驗條件產生測量采樣延時，樣品溫度穩定性將直接影響實驗結果可靠性. 調制磁場交流霍爾電壓測量方法既可達到變溫快速測量，又能實時消除若干副效應. 原理上，建立霍爾電場(電壓)所需時間極短，為10-8～10-7s. 一般認為，頻率不高于1 kHz交流樣品電流的實驗結果與直流實驗結果反映了相同的物理過程(霍爾效應)，因而使用交流樣品電流取代直流換向是合理的測量方法. 當采用調制磁場取代直流磁場換向時，使用低頻交流勵磁電流以確保產生低畸變的同頻調制磁場(用于霍爾測量). 利用數字鎖相放大器對被測信號的完整周期離散傅里葉分析技術特點，確保調制磁場交流霍爾電壓測量的準確性. 以使用范德堡法碲鎘汞樣品變溫測量為例，展示調制磁場交流霍爾電壓測量方法的技術優勢及其科學性.

1 測量技術原理

愛廷豪森效應的實質是溫差電勢. 由于載流子速度并不相等，在外磁場作用下，較快載流子和較慢載流子所輸運能量不同，從而建立橫向溫度差，并由此產生溫差電勢. 愛廷豪森效應隨磁場和電流變化關系與霍爾效應情形相同.

另一方面，由于樣品電流在兩端電極產生焦耳熱使沿電流方向形成溫度梯度，載流子將傾向于從熱端擴散到冷端. 當有磁場存在時，載流子擴散過程分別成為對應于霍爾效應和愛廷豪森效應的2個效應：能斯特效應和里紀-勒杜克效應. 不同的是，它們與電流方向無關，但與電流二次方成正比[10-11].

第1種情形：考慮穩恒磁場B0和樣品電流I0直流測量方法. 磁場和電流換向測量組合為

(1)

(2)

(3)

(4)

其中，UH,UE，UN和UR分別表示由霍爾效應、愛廷豪森效應、能斯特效應和里紀-勒杜克效應所產生的電壓(或附加電壓)，而U1則為不等位電勢差. 由上述4次換向獨立測量結果，可得

UH+UE=(U1-U2+U3-U4)/4,

(5)

通常認為，UE?UH，那么

UH≈(U1-U2+U3-U4)/4.

(6)

文獻[12]采用上述直流方法，通過穩恒磁場和樣品電流換向實施變溫霍爾測量.

第2種情形：考慮穩恒磁場B0與交流樣品電流I0cos (ωt+φ)實驗條件. 若測量采樣積分(或累加)歷遍交變電流的完整周期，其結果等效于完成電流換向測量. 由于能斯特效應和里紀-勒杜克效應源于電流電極焦耳熱效應，UN和UR在樣品輸出電壓附加直流偏移量和倍頻分量，它們都對基頻交流分量沒有貢獻,因此交流電流的作用相當于將式(1)和式(2)兩者合并，其有效值可表示為

(7)

同理，式(3)和式(4)可合并為

(8)

由式(7)和(8)可得

UH+UE=(U+-U-)/2，

(9)

其中，U+和U-為樣品輸出電壓交流分量有效值.

愛廷豪森效應所產生的附加電壓UE，其本質是電流所產生的溫差電勢，且(如霍爾效應)跟磁場和電流都有關系. 如上所述，建立霍爾電場(電壓)所需時間極短(約10-7～10-8s)，但建立穩定溫差需要較長時間(可達幾s)[10]. 當樣品電流頻率為102Hz時，盡管UE無法產生如霍爾電壓UH般的電流同頻響應，但仍存在與穩恒磁場所對應溫差電勢. 由此可見，在穩恒磁場和交流電流情形中，UE貢獻減小但不能完全消除. 一旦以樣品電流的完整周期對響應電壓采樣(離散傅里葉)分析，即可減弱愛廷豪森效應影響. 由此可見，當采用(適當頻率)交流樣品電流時，由穩恒磁場換向的2次測量平均可得霍爾電壓(有效值)依然為

UH≈(U+-U-)/2.

(10)

第3種情形：考慮磁場B=B0cos (ω1t+φ1)，樣品電流I=I0cos (ω2t+φ2). 霍爾電壓可表示為

UH=KHI0B0cos (ω1t+φ1)cos (ω2t+φ2)=

(11)

為便于實驗測量，選擇ω2=nω1=nω，其中n為非零正整數. 式(11)可改寫為

(12)

(13)

(14)

由此可見，當采用調制磁場與交流樣品電流時，通過測量調制磁場的完整周期的樣品輸出電壓和頻與差頻分量有效值，可實時消除UE,UN和UR等附加電壓，從而快速獲得準確的霍爾電壓有效值.

固緯APS1102A電源DC或AC輸出分別提供穩恒磁場B0或簡諧調制磁場B0cos (ωt+φ1)所需的勵磁電流，使用中大科儀OE1022數字鎖相放大器同步測量樣品輸出電壓不同諧波分量. 泰克AFG5232信號源通道1和通道2分別設置為頻率ω和nω簡諧輸出，前者同步輸出為APS1102A和OE1022提供觸發或參考信號，后者用于控制中大科儀OE4004壓控電流源提供幅值恒定的樣品工作電流I0cos (nωt+φ2). 或者，使用吉時利6221電流源提供樣品簡諧電流，以其同步信號(相標)經分頻的方波輸出為APS1102A和OE1022觸發或參考信號. 對復旦天欣微波電子自旋共振實驗所用磁體進行改造，卸去原有永磁體并將兩側勵磁線圈同相串聯，根據測量需要產生穩恒磁場或簡諧調制磁場. 考慮到該磁體可為電子自旋共振實驗提供50 Hz低畸變簡諧掃場，適當選擇低于50 Hz簡諧勵磁電流以滿足調制磁場的實驗要求. 使用東方晨景SV-15液氮恒溫器，且由普源DM3068多用表測量樣品溫度. 所有儀器通過USB或GPIB接口實現計算機(遠程)測控分析，還可用于遠程課堂示教[13]. 實驗使用范德堡法測量碲鎘汞樣品霍爾電壓，采用自液氮溫區至室溫自然升溫改變樣品溫度.

2 實驗結果及分析

使用中大科儀OE4004壓控電流源和吉時利6221電流源2種方案的實驗事實表明，整數n取值[3,9]的實驗結果一致. 以下選用OE4004壓控電流源方案且n=3數據進行分析. 設定調制磁場頻率ω1=ω=42 Hz，既滿足低于50 Hz的實驗要求，又處于APS1102A有效外同步頻率范圍. 樣品簡諧電流頻率ω2=nω=126 Hz，且I0=25 mA等實驗參量.

圖1和圖2分別為穩恒磁場與交流樣品電流情形，樣品輸出電壓有效值和相位隨穩恒磁場強度變化情況. 圖1明顯可見，穩恒磁場換向的2次測量電壓有效值(紅色線和藍色線)存在差異，由式(7)和式(8)可知來自不等位電勢差的貢獻. 圖2顯示穩恒磁場換向時，樣品輸出電壓相位也隨之反相，進一步說明式(7)和式(8)的合理性. 綜合上述結果及分析，根據有效值(或模量)和相位的物理涵義，利用穩恒磁場換向的2次測量值，由式(10)可得如圖1(黑色線)所示的霍爾電壓(有效值).

需要說明的是，圖1中(藍色線)在反向穩恒磁場較弱區域，樣品輸出電壓有效值隨磁場強度減小而增大，結合圖2對應磁場強度的輸出電壓相位變化，說明其實際信號為負值. 式(7)和式(8)表明存在不等位電勢差平移量，負值來自的貢獻和2次測量時樣品溫度已發生變化的影響(以下將進一步說明). 同理，圖2相位變化表明當穩恒磁場換向時，樣品輸出電壓也隨之反相. 實驗所用數字鎖相放大器是以參考信號完整周期對被測信號進行采樣，進而通過離散傅里葉分析準確獲得各個諧波分量[14]. 這一技術方法，是上述測量結果及分析科學性的根本保證. 由此可見，理解測量技術原理并合理運用其方法，對實驗研究具有重要意義.

圖1 電壓有效值隨穩恒磁場變化

圖2 電壓相位隨穩恒磁場變化

勵磁電流產生焦耳熱使磁體及周圍環境溫度升高，樣品溫度也隨之變化. 實驗事實顯示，保持樣品電流參量不變，勵磁電流由低向高再返回的電壓測量值并不重合. 由于磁體溫度變化，相同勵磁電流產生不等值的磁場強度；當樣品溫度變化，即使相同磁場也可產生不同霍爾電壓. 因此，往返等強度磁場時樣品溫度不同，其平均值(黑色)還包含了樣品溫漂影響. 圖1中，往返磁場都為零但霍爾電壓不為零現象，就是由于2次測量的樣品溫度發生變化(溫漂)所引起. 事實再次說明，為確保磁場和電流換向測量達到消除附加電壓影響，需要在實施換向測量過程中維持樣品恒溫.

分析表明，在調制磁場的完整周期中，磁場正半周與負半周作用等效于磁場換向，而式(12)和式(13)說明和頻和差頻分量幅值與調制磁場和交流樣品電流初相位(或相對相位)無關. 選擇勵磁電流反接實現調制磁場相位反相為例檢驗上述推斷. 圖3為調制磁場與交流樣品電流情形的實驗結果. 圖中包含了樣品輸出電壓的和頻與差頻分量有效值，以及調制磁場反相的測量結果. 如式(12)和式(13)所示，和頻與差頻分量電壓有效值(或模量)一致；磁場反相，和頻與差頻分量電壓有效值也幾乎完全重合. 由此說明，測量采樣歷遍調制磁場的完整周期，由和頻與差頻分量電壓有效值都可準確獲得霍爾電壓(有效值)，而無需磁場換向. 換句話說，調制磁場與交流樣品電流組合的測量方法可實時準確得到霍爾電壓，為變溫霍爾效應快速準確測量提供解決方案.

圖3 電壓和頻與差頻分量隨調制磁場變化

圖4顯示了在調制磁場為10 mT(有效值)條件下，樣品輸出電壓的和頻與差頻分量有效值隨溫度變化情況. 2個分量有效值幾乎完全重合，表明與式(12)和式(13)分析結果一致. 2個分量(相對于調制磁場)的相位隨溫度變化如圖5所示.

圖4 變溫霍爾電壓和頻與差頻分量有效值

圖5 變溫霍爾電壓和頻與差頻分量相位

由圖4和圖5原始實驗數據，結合電壓有效值及其相位變化情況，利用式(14)可得到圖6實驗結果，其物理分析參考文獻[7].

圖6 調制磁場交流霍爾電壓隨溫度變化

3 結 論

由于霍爾效應測量中伴隨著多種副效應，從而影響霍爾電壓測量準確性. 霍爾效應最基本實驗技術是直流法，它也是霍爾測量的原理性方法. 采用磁場和樣品電流分別換向測量平均雖可消除主要副效應，但由于改變4次實驗條件產生測量采樣延時，樣品溫度穩定性將直接影響實驗結果可靠性. 顯然，在變溫霍爾測量中，直流法存在難以克服的技術缺點. 技術原理上，采用交流樣品電流且測量采樣歷遍完整周期時，等效于樣品電流換向測量. 因此，通過穩恒磁場換向2次測量平均即可消除主要副效應所產生的附加電壓. 同理，若采用調制磁場且測量采樣歷遍完整周期時，也等效于磁場換向. 當樣品電流頻率為調制磁場頻率的整數倍時，只要調制磁場交流電流霍爾測量滿足測量采樣歷遍調制磁場完整周期，這一測量技術等效于磁場與樣品電流都實現分別換向. 利用數字鎖相放大器對被測信號完整周期采樣并通過離散傅里葉分析獲得各個諧波分量的信號處理方法符合本研究的測量要求. 通過實驗事實檢驗了上述技術方案的合理性，并利用變溫霍爾測量結果展示調制磁場交流樣品電流方法的科學性. 本文工作不僅說明物理測量不可忽視深刻理解實驗技術原理，也再次表明相位測量的物理意義.