“幾何概型”教學設計與反思

黑龍江省實驗中學 王曉紅

教學內容：人教版高中二年級數學必修3 第三章概率第三節幾何概型第1 課時。

教學目標：

1.通過本節課的教學，讓學生理解幾何概型的實質性概念；掌握其概率計算公式；能夠區分幾何概型與古典概型，并能發現他們之間的聯系，并能正確識別不同的概率模型。

2.通過問題探究及辨析，形成概念，體驗數學概念生成的過程，找到數學的樂趣。通過類比古典概型，推理幾何概型問題，并提出解決幾何概型問題的想法。

3.通過故事情境，激發學生的學習興趣，通過學生自主探究、合作交流，初步形成建立數學模型的能力，讓學生認識到數學與生活息息相關。

教學重點：

理解幾何概型的概念及兩個特征，會應用其計算公式。

教學難點：

會判斷幾何概型類型，無限過渡到有限，建立合理的幾何模型求解概率。

教具準備：多媒體課件和幾何畫板軟件等。

教學過程：

一、創設情境，引入課題

探究一：

問題1：在數軸上，從區間[0，9]上任取一個整數，恰好取在區間[2，4]上的概率為多少？

問題2：在數軸上，在區間[0，9]上任取一個實數，恰好取在區間[2，4]上的概率為多少？

探究二：

下圖是小明家廚房的和書房的地面示意圖，廚房每一塊方磚除顏色外完全相同，書房的地面輪廓是正方形，灰色部分是以正方形邊長為直徑做的半圓圍成的，一只甲殼蟲在廚房和書房中自由地飛來飛去，并隨意地停留在地面的任何一個位置上（假設甲殼蟲不落在邊界上），請問：

（1）甲殼蟲在廚房停留在黑色區域的概率有多大？

（2）甲殼蟲在書房停留在灰色區域的概率有多大？

探究三：

晚上，小明想抓住這只在書房里亂飛的甲殼蟲，于是他只打開了屋頂最中間的一個射燈，射燈照明的范圍大概是一個圓錐體（如圖），底邊半徑為，忽略書房內陳設可把書房抽象成一個長方體，長寬高依次為a，a，b。設甲殼蟲在房間的每一個點都是等可能的，求它飛入射燈照明范圍內的概率。

學生主體活動：創設問題情境，探索新的解決辦法，讓學生給出思路和答案。

設計意圖：通過解決問題，回顧古典概型的相關知識，對比問題2 形成認知沖突，進而發現新的解決辦法。通過對以上3 題的探究，發現共性與本質，歸納出概念。

二、歸納總結，知識梳理

1.幾何概型的概念。

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

2.概率計算公式。

3.幾何概型的基本特點。

①試驗中的基本事件有無限多個；

②每個基本事件出現的可能性相等。

4.古典概型與幾何概型的區別。

相同點：基本事件發生的可能性相等。

不同點：古典概型的基本事件是有限個，幾何概型的基本事件有無限個。

三、辨析舉例，推廣應用

例1：

題組一

1，在一個面積為S 的三角形ABC 的邊AB 上任取一點 P，求使的概率。

2，在一個面積為S 的三角形ABC 面內任取一點P，求使的概率。

題組二：

1.在一個體積為V 的四棱錐F-ABCD 的面FBC 上任取一點P，求使得四棱錐P-ABCD 的體積的概率。

2.在一個體積為V 的四棱錐F-ABCD 的體內任取一點P，求使得四棱錐P-ABCD 的體積的概率。

題組三：

1.有一個帶指針的轉盤如圖所示，求轉動停止后指針在紅色區域的概率。當轉盤等比例縮小時，這時指針停在紅色區域的概率有變化嗎？

2.如果將上題的轉盤盤面制作成靶子，若某同學向靶子射飛鏢，假設一定能中靶，求飛鏢落在紅色區域的概率。

題組四：

1.等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，在直角邊 BC 上任取一點M，求∠CAM＜30°的概率。

2.等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，在∠CAB 內任意作射線交線段BC 于點M，求∠CAM＜30°的概率。

學生活動，發現不同，深入體會。

設計意圖：辨析與長度和面積相關的幾何概型；辨析與面積與體積相關的幾何概型；辨析與面積與角度與弧長相關的幾何概型；辨析與長度與面積相關的幾何概型。

例2：

暑假的一天，小明打算坐公交車去動物園，他要乘坐的公交車每隔15 分鐘有一輛，已知小明任意時刻到達車站，試問小明到達車站候車時間大于10 分鐘的概率？

設計意圖：將實際問題轉化為幾何概型問題來解決。

思考題：

小明和好友小亮約定在動物園門口見面一起入園游玩，假定兩人都在上午10：00-11：00 之間隨機到達，先到者等另一個人20 分鐘，過時不等，先到者就自己獨自入園，求兩人能見面一起入園游玩的概率？

設計意圖：由一維到二維，思維難度加大。

四、鞏固升華，總結概括

由學生自主回顧本節內容小結一下。然后結合學生的小結，教師做以下總結：

古典幾何等可能，

有限無限各不同。

概率即為測度比，

長面體角要分清。

設計意圖：借用小詩，加深對本節課基礎知識的理解。

反思：

本節課通過問題探究及辨析，形成數學概念，體驗數學概念生成的過程；通過類比古典概型，推理幾何概型問題，并提出解決幾何概型問題想法；通過故事情境，激發學生學習數學的樂趣；通過引導學生動手操作，合理利用隨機、統計、化歸、屬性結合等數學思想方法有效解決有關的概率問題；通過學生自主探究、合作交流，初步形成建立數學模型的能力。我認為本節課的最大亮點是我在問題對比過程中設計的問題很清晰，層層遞進，類比轉化，學生對概念的辨析透徹。

本節課不足：由于難點是讓學生實現有限和無限之間的對應轉化，從而解決無限難以計算的問題，在問題設置中我應該加強對引起學生思維困惑后的引導。學生在理解有限與無限的內在對應問題上，邏輯上認識不夠清晰，所以應該再細化概念生成過程中的問題，讓學生自主探索、合作交流再深入一些效果可能會更好。