具有對數勢能的Cahn-Hilliard方程的有限元算法

王星星,王旦霞

(太原理工大學數學學院,山西 晉中030600)

1.引言

Cahn-Hilliard(CH)方程是由Cahn和Hilliard提出的一類非常重要的四階非線性擴散方程,常用來描述二元合金在某種不穩定狀態時相的分離和粗化現象[1?3].在過去的幾十年里,它被廣泛地應用于研究兩種浸沒式流體的粗化動力學.

Cahn-Hilliard方程的數值解法已經有很多研究,文[4]運用了有限元逼近法,文[5]提出了二階的Crank-Nicolson格式在空間上采用混合有限元方法,文[6]在空間上采用傅里葉譜方法,文[7]討論了具有對數勢能Cahn-Hilliard方程的解的漸近性和有限維吸引子的存在性,文[8]研究了具有對數勢能的Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程的誤差估計.

本文在時間上運用中心差分格式空間上使用有限元方法,研究具有對數勢能Cahn-Hilliard方程的穩定性和誤差估計.運用正則性,將對數勢能函數F(u)的定義域的范圍由(?1,1)擴展到(?∞,∞).最后給出了數值算例來驗證相應的結論.

2.模型及其變量

本文研究的Cahn-Hilliard方程具有如下形式:

其中:? ∈Rd,d=2;ε是給定的正參數,ut=;n是單位外法向量,u是混合物中某種物質的濃度,w是化學勢能.本文中的對數勢能如下:[9]

該格式是質量守恒且滿足能量耗散定律,對數勢能的能量函數定義為:

這里θ,k ∈(0,1).

3.離散格式

L2(?)是平方可積函數空間,內積范數H1(?)是通常的Sobolev空間,半范是范數是∥u∥H1= (?|u|2dx+

Cahn-Hilliard方程的弱解形式為:

首先把時間區間[0,T]剖分0 =t0

其中

運用泰勒展開,有

設Th=K是區域?上擬一致剖分,hi表示網格大小,Sh是分片連續的有限元空間,定義為:

這里Pr(x,y)是x,y的次數不超過r ∈Z+的多項式的集合.此外定義L20:={u ∈L2(?)|(u,1)=0},?h:=Sh∩L20(?).Cahn-Hilliard方程的全離散格式為:即給定umh,um?1h求um+1h:[0,T]→Sh,當m ≥1,使得:

本文中非線性項是顯示處理的,為了保證格式無條件穩定,我們引入兩個人工穩定項,則(3.10)變為

Ritz算子Rh:H1(?)→Sh滿足:

4.穩定性分析

定理4.1令是(3.9)(3.11)的解,當時,對任意的τ,h,ε>0,下面的不等式成立

證在(3.9)中，令,得

(3.11)中，令φh=?(umh+1?umh),得

運用等式

根據(4.2)-(4.5),得

定理(4.1)證畢.

定理4.2設Ξ(u1h)≤C0,存在常數C >0,對于任意的τ,h>0,有下列估計:

證根據(4.1)可得(4.6)和(4.7).

在(3.11)中φh=τ?2(um+1h ?umh)

將上式方程從1到m求和,(4.9)得證.

注定義中的A和B看起來非常大,但在數值模擬時,A和B可以取比定義很小的值.

5.誤差估計

為了之后證明的簡便,我們介紹一些符號:

對于(u,w),我們做如下正則性假設

定義5.1[10]Ritz投影算子滿足下面估計

定義5.2H?1范數定義如下:

引理5.1[11]設χ,ψ ∈(?),有

引理5.2[12]假設(u,w)是(3.1)-(3.2)的解,則有下面估計:

其中

注

定理5.1設初始問題(3.1)-(3.2),全離散格式(3.9)和(3.11)的解分別是(u,w)和

則存在常數C,C與τ,h均無關,有估計式

(5.6)-(5.7)減去(3.9)(3.11),得

其中

現在我們估計Mi,根據Cauchy-Schwarz不等式,Poincaré不等式和Young不等式

根據Cauchy-Schwarz不等式和引理5.1和5.2

類似地

對于M4,我們有

根據引理5.1,得

對于M6,我們有

結合上述不等式

選擇合適的α,將(5.19)帶進(5.18)并乘2τ得:

上式從1到m求和,根據離散的Gronwall不等式,有:

6.數值算例

在數值實驗部分,我們采用一些數值算例驗證理論分析的正確性和有效性.選擇初始條件為u0=0.5·cos(2πx)sin(2πy)?0.25·cos2(πx)cos2(πy)+0.25·sin2(4πx)sin2(4πy),計算區域為[?1,1]×[?1,1].

在表1中,選擇固定的參數τ= 0.001,T= 0.1,變化的網格步長0.01,θ= 0.1,A= 32,B= 2.相對誤差∥ξuh∥H1的空間收斂階接近于2,與理論部分得到的收斂階一致.

表1 ε=0.1,θ =0.1 空間收斂階

圖1 T=0.001s

圖2 T=0.01s

圖3 T=0.1s

圖1到圖4中,模擬了具有對數勢能的Cahn-Hilliard方程的相分離過程,選擇固定的參數k=0.01,θ=0.1,h=16,ε=0.2,A=32,B=2,t=0.0001,圖中清楚的顯示了隨著時間的變化相分離的過程.u0=0.1?rand()?0.05,其中rand()∈[0,1].

圖4 T=0.5s