非強制混合向量變分不等式解的存在性研究

許可,范江華

(廣西師范大學數學與統計學院,廣西 桂林541006)

1.引言

變分不等式及其應用是非線性分析中的重要部分,在力學,博弈論,經濟,最優化理論和非線性規劃等領域都有廣泛應用.向量變分不等式是變分不等式的重要分支,向量變分不等式最早由Giannessi在文[1]中對有限維歐氏空間引入,大量學者對向量變分不等式進行深入研究并將其推廣至無限維空間,參見文[2]及其參考文獻.Lee和Bu[3]討論了具有非緊多面體約束集和正半定矩陣的仿射向量變分不等式的解集的有界性和連通性.

人們對無界集上變分不等式問題加上強制性條件,使得解集非空有界.對于非強制變分不等式問題,例外簇方法是研究無界集上變分不等式問題解的存在性的有效方法.Smith[4]在Rn中首先利用例外序列研究非線性互補問題解的存在性;ZHAO[5]應用例外簇研究變分不等式問題;韓繼業等人[6]給出變分不等式問題新的例外簇,得到解的存在性的一些新結果;王敏等[7]對Banach空間中變分不等式的例外簇,嚴格可行性及解的存在性三者之間的關系進行了研究.ZHONG等[8]提出了凸優化問題例外族,得到了自反Banach空間中凸優化問題的一些存在性結果,并應用于約束優化問題和凸二次規劃問題.HUANG等[9]利用例外簇方法研究張量互補問題解的存在性,WANG等[10]利用例外簇方法研究張量變分不等式問題解的存在性.

本文以下設X為自反Banach空間,K為X的非空閉凸子集,設T:X →L(X,Rm),H:K →Rm為向量值映射,我們考慮如下形式的混合向量變分不等式MVVI(T;H;K):找到ˉx ∈K使得

當m=1時,MVVI(T;H;K)為混合變分不等式.

對任一ξ ∈Rm+{0},定義ξH:K →R,使得ξH(x)=ξ(H(x)),我們考慮如下混合標量變分不等式:找到ˉx ∈K使得

混合向量變分不等式是一類較為廣泛的數學模型,包含了變分不等式問題,優化問題及向量變分不等式問題,尚未有文獻給出向量變分不等式問題的例外簇.另一方面,最近文[11]給出混合變分不等式解集為非空緊致集的充分條件.

本文利用例外簇方法研究非強制混合向量變分不等式的弱有效解的存在性;首先證明若混合向量變分不等式問題不存在例外簇,則混合向量變分不等式問題的弱有效解集為非空集合;利用向量值映射的漸近映射給出自反Banach空間中非強制混合向量變分不等式的弱有效解集不存在例外簇的充分條件,從而得到混合向量變分不等式問題的弱有效解的存在性結果;我們研究了當算子為余正仿射算子時,給出混合仿射向量變分不等式不存在例外簇的充分條件,得到混合仿射向量變分不等式弱有效解的存在性,還給出了混合向量變分不等式的弱有效解集為非空緊致集的充分條件.將文[11]中有限維空間中標量混合變分不等式解的存在性結果推廣到自反Banach空間中混合向量變分不等式.

2.預備知識

本節給出本文需要的基本定義和結論.

設X為自反Banach空間,X?為X的對偶空間.K為X中非空閉凸子集,K的內部,邊界和閉包分別用intK,?K和來表示.我們用∥·∥表示X中的范數.”→”,”?”分別表示強收斂和弱收斂.

我們用coneK:=∪t≥0tK為K生成的錐.給定錐P ?X,稱緊凸集B0為P的一個緊致基,若0/∈B0,且P= coneB0.一個有緊致基的錐被稱為具有良好基,顯然有限維空間中閉凸點錐具有良好基.給定ε>0,定義Pε=cone(B0+B(0,ε)),顯然Pε是錐,且P ?Pε.

定義K的退化錐

當K是閉凸集時,有

并且K∞也是凸集.

定義K的障礙錐

定義2.1函數f:K →R稱為凸函數,若滿足對任意的x,y ∈K,t ∈[0,1],有

定義2.2F:K →Y稱為Rm+-凸向量值映射,若對任意的x,y ∈K,t ∈[0,1],有

定義2.3設X為Banach空間,D(T)?X,算子T:X →L(X,Rm),

1)稱T在x0∈D(T)處強連續,若

2)稱T為1 次正齊次,若對任一x ∈D(T),任一λ>0,有T(λx)=λT(x).

定義2.4設F:K →Rm為非空向量值映射,則稱F:

(i)在點x0是Rm+-上半連續,如果對Rm中零點的任意開鄰域V,存在x0在X中的開鄰域U,對任意的x ∈U,有F(x)∈F(x0)+V ?Rm+;

(ii)在點x0是Rm+-下半連續,如果對Rm中零點的任意開鄰域V,存在x0在X中的開鄰域U,對任意的x ∈U,有F(x)∈F(x0)+V+Rm+.

設F:X →Rm為向量值映射,F=(f1,...,fm),由Rm+-凸映射與Rm+-下半連續映射的定義可知

1)若F:X →Rm為Rm+-凸映射,則對任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為凸函數;

2)若F:X →Rm為Rm+-下半連續映射,則對任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為下半連續函數.

定義2.5給定矩陣A ∈Rn×n,我們稱

1)A是正定矩陣,若對于所有x ∈Rn,當xθ時,有(Ax,x)>0;

2)A是半正定矩陣,若對于所有x ∈Rn有(Ax,x)≥0;

3)A是K-余正矩陣,若對于所有x ∈K有(Ax,x)≥0;

4)A是K-余正+矩陣,若對于所有x ∈K有(Ax,x)≥0.當(Ax,x)= 0意味著Ax= 0,x ∈K.

顯然,正定矩陣都是半正定的,半正定矩陣在Rn的非空子集K上都是K-余正矩陣.反之則通常不成立.

定義2.6設h:Rn →R ∪{+∞}是真函數,h∞:Rn →ˉR:=R ∪{±∞}稱為h的漸近函數,若

并且有如下等式:

當h是真凸下半連續函數時:

文[12]定義向量值映射的漸近映射如下.

定義2.7[12]設F:X →Rm為向量值映射,稱F∞:X →Rm為F的漸近映射,若

定義2.8任意給定稱序列{xr}r>0為混合向量變分不等式問題MVVI(T;H;K)相對于的例外簇,若

1)xr ∈K,且

2)對任一y ∈Kr,有

引理2.1[13]設K是X的非空閉凸子集,若int(barr(K))?,則不存在滿足∥xn∥→∞的序列{xn}?K,使得

我們容易證明如下引理.

引理2.2設C為線性賦范空間Y中的閉凸點錐且intC?,則

1)C+Y (?intC)?Y (?intC);

2)intC+C=intC;

3)C ?Y (?intC).

下面引理說明若K為有界閉凸集,則MVVI(T;H;K)的弱有效解集S(T;H;K)為非空集合.

引理2.3設K為自反Banach空間X的非空有界閉凸子集.設T:X →L(X,Rm)是強連續映射,H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續映射.則MVVI(T;H;K)的弱有效解集S(T;H;K)為非空集合.

證任取ξ ∈Rm+{0},考慮如下標量平衡問題:找到x0∈K使得

下證上述標量平衡問題在K上有解.

設τω為X上的弱拓撲,因為K為X中有界閉凸集,故K為(X,τω)中緊凸集.顯然對任意的x ∈K,φ(x,y)關于y是凹的,對任意的y ∈K,φ(x,y)關于x是下半連續的.由Ky Fan極大極小不等式定理知,存在x0∈K使得

即有

顯然x0為MVVI(T;H;K)的弱有效解,從而S(T;H;K)為非空集合.

引理2.4[14]設X為自反Banach空間,設對于任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為下半連續凸函數,則

下面引理給出向量值映射的漸近映射的性質.

引理2.5設F:X →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續映射,F= (f1,...,fm).則對任一ξ ∈Rm+{0},任一d ∈dom(F∞),有(ξF)∞=ξF∞.

證因任一i ∈{1,...,m},fi:X →R為下半連續凸函數,任一ξ ∈Rm+{0},因ξi ≥0,由引理2.4,有故有(ξF)∞=ξF∞.

3.混合向量變分不等式解的存在性

本節首先在定理3.1中證明混合向量變分不等式的弱有效解集為空集則存在例外簇.推論3.1說明若不存在例外簇,則混合向量變分不等式問題的弱有效解集為非空集合.在定理3.2中,我們利用Rm+-凸映射的漸近映射,給出條件使得混合向量變分不等式不存在例外簇,證明了混合向量變分不等式問題的弱有效解集為非空有界集.我們將文[11]的部分結果推廣到自反Banach空間中混合向量變分不等式情形.

定理3.1設K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,∈K.設T:X →L(X,Rm),設H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續映射.若混合向量變分不等式問題MVVI(T;H;K)無解,則存在序列{xr}r>0為混合向量變分不等式問題MVVI(T;H;K)相對于的例外簇.

證由引理2.3知,存在xr ∈Kr,使得xr為問題MVVI(T;H;Kr)的解,即

因H為Rm+-凸映射,tH(xr)+(1?t)H(y)∈H(txr+(1?t)y)+Rm+,故

將(3.2)代入(3.1)得

故有

從而xr為問題MVVI(T;H;K)的解,與定理3.1條件混合向量變分不等式問題MVVI(T;H;K)無解矛盾.故∥r ?∥=r,從而{xr}r>0為混合向量變分不等式問題MVVI(T;H;K)相對于的例外簇.

下面推論3.1說明不存在例外簇,則混合向量變分不等式問題的弱有效解集為非空集.推論3.1為定理3.1的逆否命題.

推論3.1設K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,∈K.設T:X →L(X,Rm),設H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續映射.若混合向量變分不等式問題MVVI(T;H;K)不存在相對于的例外簇,則問題MVVI(T;H;K)的弱有效解集S(T;H;K)為非空集.

定理3.2設K為自反Banach空間X的非空閉凸子集且int(barrK)?,設T:X →L(X,Rm)為1 次正齊次的強連續映射,且對任意的x ∈K,滿足?Tx,x? ∈Rm+.設H:X →Rm是真Rm+-凸,Rm+-下半連續映射,且存在x0∈K使得

則S(T;H;K)為非空有界閉集.

證首先證明S(T;H;K)為非空集.假設S(T;H;K)=?.

對任意y ∈K,存在r0>0,滿足r0>∥y∥,有

即

從而有

因對任意x ∈K滿足得

則存在ξ ∈Rm+{0},使得

因ξH為真凸下半連續函數,由真凸下半連續函數的漸近函數定義可知,存在.故即由引理2.5知，(ξH)∞=ξH∞,從而故有

因此

與定理3.2條件矛盾.從而S(T;H;K)?.

下面用反證法證明S(T;H;K)為有界集.假設存在{xn}∈S(T;H;K),使得∥xn∥=+∞.

因為supn∈N∥xn∥= +∞,知重復上述證明過程可得到矛盾.故S(T;H;K)為有界集.

下面證明S(T;H;K)為閉集.任取{xn}?S(T;H;K),且xn →x0.因{xn}?S(T;H;K),故有

故存在ξ ∈Rm+{0},使得

上式兩側取下極限,得

從而有

所以x0∈S(T;H;K),因此S(T;H;K)為閉集.

注3.1當X為有限維歐氏空間,m= 1時,文[11]得到了混合變分不等式解集為非空緊致集的充分條件.定理3.2將文[11]部分結果推廣到自反Banach空間中混合向量變分不等式.

4.混合仿射向量變分不等式弱有效解的存在性

本節研究如下混合仿射向量變分不等式MAVVI(A;H;K),找到x0∈K使得

其中Ai ∈Rn×n,Ai ∈Rn×n為K-余正矩陣,qi ∈Rn,i= 1,...,m;H:Rn →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續映射,H= (h1,...,hm).因此對每個i ∈{1,...,m},hi為真凸下半連續函數.稱x0為MAVVI(A;H;K)的弱有效解,記S(A;H;K)為MAVVI(A;H;K)的弱有效解集.

在定理4.1中,我們將定理3.2的結果應用到混合仿射向量變分不等式,得到混合仿射向量變分不等式的弱有效解集為非空緊致集的充分條件.在定理4.2中,我們給出混合仿射向量變分不等式不存在例外簇的充分條件.

定理4.1設K為Rn中的非空閉凸子集,設H:Rn →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續映射,對任一i ∈{1,...,m},Ai ∈Rn×n為K-余正矩陣,qi ∈Rn,若存在x0∈K使得

則MAVVI(A;H;K)的弱有效解集S(A;H;K)為非空緊致集.

證因H:Rn →Rm為Rm+-凸,Rm+-下半連續映射,故對任一i ∈{1,...,m},hi為真凸下半連續函數.定義G:Rn →Rm,使得G(x)=H(x)+qx,即gi(x)=hi(x)+qix.令T(x)=(A1x,...,Amx),根據G的定義,有

由已知條件知

因此

由定理3.2知,對任意y ∈K,存在x0∈K使得

故S(A;H;K)為非空有界閉集,又因Rm為有限維空間,故S(A;H;K)為非空緊致集.

若K為閉凸集,則K∞是閉凸錐.若K∞具有良好基,給定ε>0,我們定義K∞ε=∪t≥0t(K∞+εB(0,1)).

定理4.2設K為Rn中的非空閉凸子集,K∞具有良好基.對任一i ∈{1,...,m},設Ai ∈Rn×n是K∞ε-余正+矩陣.設H是Rm+-凸,Rm+-下半連續映射,且有

則MAVVI(A;H;K)的弱有效解集S(A;H;K)為非空緊致集.

證首先證明S(A;H;K)為非空集.假設S(A;H;K)=?.

由(4.1)知,存在i0∈{1,...,m},存在{xr}r>0的子序列,不失一般性,仍記為{xr}r>0,使得

兩側除以∥xr∥2,得

兩邊取下極限,且因hi0為凸函數,有從而有

在(4.2)式中除以∥xr∥,得

因為Ai0是K∞ε-余正+矩陣,故當r充分大時,有從而

(4.3)式可寫為

故有

令r →∞,上式兩邊取下極限,則有又因為u ∈KerAi0,故

與已知條件矛盾,故S(A;H;K)為非空集.

利用定理3.2的證明方法,可得S(A;H;K)為非空有界閉集,故為Rn中非空緊致集.

例4.1設X= R2,Y= R2.H= (h1,h2),其中則H為R2+-凸,R2+-下半連續映射,A1,A2是K-余正矩陣,且K∞={(x1,x2)∈R2+:且K∞有緊凸基{(x1,x2)∈R2+:故K∞具有良好基.T(x)= (A1x,A2x),對任一x ∈K,對任意u ∈K∞{θ},有h∞1(u)=h∞2(u)=+∞.滿足定理3.2,定理4.1,定理4.2的條件.