一類時滯分數階計算機病毒模型的穩定性研究

石劍平,阮麗媛

(昆明理工大學理學院系統科學與應用數學系,云南 昆明650500)

1.引言

計算機病毒傳播是網絡安全中最為常見的問題,其傳播速度快、范圍廣,帶來的破壞性也非常大,不加以及時控制就會造成重大的經濟損失,嚴重干擾社會生產的正常進行.因此,對計算機病毒傳播機理問題進行研究非常必要,其中對于病毒傳播模型的研究具有重要的理論和現實意義.1991年Kephart和White[1]注意到生物病毒傳播與計算機病毒傳播存在很多共性,首次將流行病學數學模型引入到計算機病毒傳播的研究中.此后,眾多學者也陸續使用生物學中的一些模型和分析方法對計算機病毒進行深入的研究.

分數階模型最初是在數學基礎理論的研究中提出的[2],因其計算的復雜性,在很長一段時間沒有得到廣泛的應用.隨著計算機技術的發展,復雜的計算過程可以通過各種軟件程序來完成,分數階模型重新進入研究者的視野.由于分數階微積分可以描述帶有遺傳屬性的演化過程,其所具有的記憶特征不僅可以描述相關系統過去的狀態,還會影響系統現在和未來的狀態.近年來,數學、物理學、生物學、金融學等領域的研究者在各自的研究工作中均發現,某些問題采用分數階模型來描述更能恰當的反映問題的真實情形.

“生態記憶”是生物種群模型的重要特征,它指的是“過去的狀態或經驗影響群落目前或未來反應的能力”[3],這一特征與分數階微積分所能表現的特性不謀而合.很多研究者將分數階微積分方法引入生物數學的各種模型中,獲得了一批有理論價值和實際意義的結果.例如,Djordjevic等[4]采用分數階常微分方程對一類細胞問題建模,模型與實際數據的吻合度比整數階的模型更為準確;EI-Saka等[5]研究分數階變動人口SIS 流行病模型,分析了平衡點的穩定性及一致穩態解的存在性條件;原三領等[6]則研究了一類分數階SIR流行病模型的穩定性問題.基于流行病學的計算機病毒模型,因其演化過程和控制策略具有很強的“記憶”屬性,采用分數階微積分理論進行研究,可以獲得諸如混沌等新的動力學特征[7].

本文將分數階導數引入一類計算機病毒模型[8],考慮了三個因素對模型進行改進,且基于感染過程中病毒的潛伏性,提出了一個改進的時滯分數階計算機病毒模型.采用文[9]總結的結論,從理論上分析模型的正平衡點處出現Hopf分支與時滯之間的聯系.為了驗證理論分析的合理性,選擇恰當的系統參數進行數值模擬,并通過數值模擬獲得分數階變化的情況下時滯臨界值的變化趨勢.

2.模型描述

文[8]研究了一類計算機病毒模型(SIR模型)：

其中,S(t),I(t),R(t)分別表示易感染節點、已感染節點和免疫節點的個數,0<α,β,γ,μ,θ <1是各種節點之間相互轉化的概率.文[8]從信息傳播機理出發,以上述系統作為信息傳播的模型給出了信息傳播的規則,建立了相應的平均場方程,并通過計算平衡點和基本再生數R0,從理論上證明了平衡點的漸近穩定性.

為了更準確地描述計算機網絡系統病毒感染演化的過程,本文將分數階導數引入模型(2.1),并進一步考慮三個因素對模型進行改進：第一,某些感染節點因系統的差異性,被感染后無法正常工作,因而退出整個網絡系統；第二,有些易感節點因為軟件的差異而具有先天免疫;第三,網絡系統根據需要按一定的比例添加新的節點.由于某些計算機病毒的發作存在潛伏期,本文在易感染節點被感染的過程加入了時滯項.基于上述分析,我們建立以下時滯分數階SIR模型：

其中,q(0

模型(2.2)的平衡點為：

其中

根據上述模型假設,系統(2.2)是一個開放模型,在系統演化過程中有新的節點加入并有節點退出,所有的系統參數均取正值.顯然平衡點E2的分量均不為零,此改進模型除了零平衡點和正平衡點外不存在無病平衡點,由于零平衡點的情況無實際意義,故下文僅研究正平衡點.為敘述方便,不妨假設正平衡點為E?=(x?,y?,z?),在E?點對系統(2.2)做平移變換,變換公式為：

代入模型(2.2)得

研究分數階微分方程系統的穩定性和Hopf分支問題,目前主要是基于其對應的線性化近似系統在平衡點處的穩定性來進行的.文[9]給出定義,說明系統的時滯τ滿足以下三個條件,則在平衡點處會出現Hopf分支,即平衡點的穩定性可以由τ值來確定.

定義2.1[9]對于以下n-維分數階時滯系統:

0<α ≤1 和τ ≥0.如果系統(2.4)滿足以下三個條件:

1)當τ= 0,(2.4)在平衡點x?= (x?1,x?2,...,x?n)處的線性化系統的系數矩陣記為A,A的所有特征根λj(j=1,2,...,n)必須都滿足

2)當τ=τ0時,(2.4)在平衡點x?= (x?1,x?2,...,x?n)處的線性化系統的特征方程存在一對純虛根s(τ0)=±iω0；

3)橫截條件

成立,其中s(τ)是(2.4)在平衡點x?=(x?1,x?2,...,x?n)處的線性化系統的特征方程的根,Re[·]指提取復數的實部.

則當時滯τ=τ0時,系統(2.4)在平衡點x?=(x?1,x?2,...,x?n)處出現Hopf分支.

注1定義2.1中,條件1)說明當時滯τ=0時,分數階微分方程系統(2.4)在0<α<1時,分數階數α可擴大模型的穩定區域,即當特征值穿過虛軸時,系統仍然可能穩定[10?11].

下面將按照上述三個條件分析系統(2.2)正平衡點的穩定性.

3.Hopf分支分析

將系統(2.3)在平衡點(0,0,0)處線性化,得到對應的線性化系統：

其中：

Ⅰ 時滯為零時系數矩陣的特征根分析

當τ=0時,線性化系統(3.1)的系數矩陣對應的特征方程為

若特征方程(3.2)式滿足Routh-Hurwritz條件,則所有的特征根均有負實部,因此,在給定參數條件下,只需驗證以下三個不等式成立,即可保證定義2.1中的條件1)成立：

Ⅱ 確定出現Hopf分支的時滯臨界值

對(3.1)式做拉普拉斯變換[12]得到以下方程組：

(3.4)式的特征方程為：

分離(3.5)式的時滯項和非時滯項可得：

其中

定義2.1的條件2)指出,要使分數階系統在時滯臨界值τ0處出現Hopf分支,其特征方程的根s必須是純虛根.為了找到τ0,不妨假設s= iω=ω(cos(π/2)+i sin(π/2)),代入(3.6)式,分離實部與虛部可得到以下方程組：

其中M1,M2,N1和N2如下所示：

易求出

聯立公式sin2(τω)+cos2(τω)=1可得到：

求解上式可得ω.設ωi(i=0,1,2,...)為ω中所有的正值,代入(3.9)式計算sin(τω)和cos(τω),可得到τ的計算公式如下所示：

(I)如果W1(ωi)>0,W2(ωi)>0,則

(II)如果W1(ωi)<0,W2(ωi)>0,則

(III)如果W1(ωi)>0,W2(ωi)<0,則

(IV)如果W1(ωi)<0,W2(ωi)<0,則

按照時滯的實際意義,我們僅考慮其最小正值,取

根據定義,τ=τ?0即為系統(2.3)出現Hopf分支的時滯臨界值,對應于τ?0的ω值記為ω?0=ωi.

Ⅲ 驗證橫截條件

在文[9]中,通過對特征方程兩邊求τ的一階偏導數,推導了的計算公式,但此公式比較復雜,由此給出的判斷橫截條件的假設較為嚴格.文[13]通過構造輔助函數,提出了一種更為恰當的判斷方法,下面采用文[13]提出的判別方法驗證橫截條件.

將s=iω帶入(3.6)式,則不妨令

構造以下的輔助函數：

定義Jacobi行列式為：

綜上分析,我們得到以下結果：

定理3.1對于系統(2.3),在給定參數組(α,β,γ,μ,θ,a,b,c)的情況下,如果以下假設成立:

(H1)(3.3)式成立；

(H2)當τ=τ?0時,系統(2.3)在平衡點(0,0,0)處的線性化系統的特征方程(3.5)存在一對純虛根s=±iω?0；

(H3)J(ω?0,τ?0)>0,J(ω,τ)為(3.11)式和(3.12)式所定義的Jacobi行列式.則當時滯τ=τ?0時,系統(2.3)在平衡點(0,0,0)處出現Hopf分支.

注2由定理3.1即可推出,當時滯τ=τ?0時,系統(2.2)在正平衡點E?= (x?,y?,z?)處出現Hopf分支.

4.數值模擬

Ⅰ 平衡點的穩定性模擬

為了驗證上述理論分析結果的正確性,選擇一組恰當的參數α=0.2,β=0.2,γ=0.4,μ=0.6,θ= 0.3,a= 0.05,b= 0.06,c= 0.05代入模型(2.2),正平衡點E?= (0.75,1.65,1.865625),分數階取值為q= 0.9,計算得時滯臨界值為τ?0= 0.981197,對應的ω?0= 1.620917262,容易驗證(3.3)式成立,且J(ω?0,τ?0)>0.為了更好的展示理論分析的結果,我們選擇兩種情況,借助于文[14]給出的預估校正法做數值模擬.一種情況為τ= 0.99>τ?0= 0.981197,模擬結果見圖4.1和圖4.2,此時正平衡點出現Hopf分支,是不穩定的.另一種情況為τ= 0.93<τ?0=0.981197,模擬結果見圖4.3和圖4.4,顯然此時正平衡點是漸近穩定的.

圖4.1 模型(2.2)狀態變量的波形圖,初值為(1.5,0.8,1.75), q =0.9, τ =0.99>0.981197,正平衡點不穩定

圖4.2 初值為(1.5,0.8,1.75), q =0.9, τ =0.99>0.981197,模型(2.2)在正平衡點處出現Hopf分支

圖4.3 模型(2.2)狀態變量的波形圖,初值為(0.822,1.25,2.1), q = 0.9, τ = 0.93 < 0.981197,正平衡點是漸近穩定的

圖4.4 初值為(0.822,1.25,2.1), q =0.9, τ =0.93<0.981197,模型(2.2)的正平衡點是漸近穩定的

Ⅱ 分數階對時滯臨界值的影響

通過上述理論分析和數值模擬可知,對于有病毒傳染的計算機網絡系統,在模型參數給定的情況下,系統從不穩定狀態進入穩定狀態,病毒潛伏到發作的時間需要控制在一定的時間范圍τ <τ?0.反之,在知道病毒的潛伏期,即已知τ的情況下,如果需要控制系統的穩定狀態,就需要對系統進行干擾以改變時滯臨界值τ?0,即改變穩定域的大小.此時,需要對影響τ?0的因素進行分析.

影響時滯臨界值的因素非常多,從時滯臨界值的計算公式來看,模型參數、分數階都是影響時滯臨界值大小,繼而影響系統穩定性的直接因素.本文以分數階為參數,不改變前面模型(2.2)參數的取值,通過數值模擬獲得模型導數從整數階到分數階、分數階不斷減小的過程中,時滯臨界值的具體變化情況,詳見表4.1.

表4.1說明,模型的導數從1到0.8的變化過程中,時滯臨界值τ?0隨著q值的減小不斷增加.在0.8至0.75之間的某一點處,τ?0的變化發生轉折,不再隨著q值的減小而增加,反而隨著q值的減小而不斷變小.由此可見,通過改變分數階的大小改變時滯臨界值,是可以影響系統的穩定域的.

表4.1 分數階的變化對ω?0 和τ?0 的影響

5.結語

本文根據病毒的演變特征和潛伏特征,引入分數階導數和時滯項對一類計算機病毒模型進行了推廣.采用線性化方法和拉普拉斯變換對模型進行轉換,通過分析線性化系統的系數矩陣特征方程和系統特征方程,分析了時滯和分數階系統平衡點穩定性之間的關系,推導了Hopf分支出現時時滯臨界值的計算公式.為了驗證理論分析的合理性,選擇恰當的系統參數進行數值模擬,模擬結果不僅驗證了結論的正確性,還揭示了分數階對時滯臨界值的影響趨勢.本文的研究結果一定程度上推廣了計算機病毒模型的研究范圍和方法.