基于徑向基逼近的KdV方程的無網格辛算法

張勝良

(南京林業大學經濟管理學院,江蘇 南京210037)

1.引言

本文研究一類守恒律型方程的無網格辛算法構造問題,所考慮的守恒方程具有如下形式:

這里Jx是Poisson結構(或辛結構),H是Hamilton函數,是泛函導數.例如,令Jx=?x以及

就可以得到Korteweg-de Vries(KdV)方程:

其中ε和μ都是正常數.KdV模型一直都是學術界研究的熱點問題[12].一些學者研究KdV方程的顯式解,比如文[8].由于顯式解難以推導,因而學者提出了一些數值解法[5?6,9?10].

另一方面,系統(1.1)是一個Hamilton系統,它具有辛結構.因而數值求解Hamilton系統,也需要保持辛結構守恒.在這個指導思想下,學者提出并發展了一些經典辛算法[1?2,11].經典辛算法的構造多是結合傳統的基于網格類方法,如有限差分方法、有限元方法、譜方法等,因而面臨不規則區域求解問題、散亂采集點問題等挑戰.

基于徑向基逼近理論,本文將研究KdV方程的無網格辛算法構造問題,基于徑向基無網格理論構造辛算法是新的研究視角,具有原創性.徑向基方法是一種理想的無網格逼近方法,它不僅在工程技術領域得到廣泛應用,而且被廣泛應用于科學計算領域[3?4,7].

其中?(r)是徑向基函數,向量f= [f(x1),··· ,f(xM)]T以及插值矩陣Φ = (?(∥xi ?xj∥)).另外根據文[13],導數具有逼近形式:

這里γ=(γ1,··· ,γd),γj ∈Z,?是對導數的逼近階.

本文結構如下.在第二節,我們通過徑向基空間離散Hamilton函數以及Poisson結構,將KdV方程轉化為一個有限維的Hamilton系統.在第三節,利用辛積分子時間離散有限維系統,就可以構造出無網格的辛算法.本節進一步討論了所構造辛算法的守恒性和收斂性.第四節給出了一些數值例子來驗證理論.第五節進行簡單總結.

2.KdV方程的Hamilton形式以及徑向基空間離散

一個無窮維的Hamilton 系統具有三個要素:

1)一個相結構空間z ∈Z;

2)一個Hamilton函數H:R;

3)一個Poisson括號{F,G},滿足反對稱條件{F,G}=?{G,F}以及Jacobi等式

則這個系統就有Hamilton形式:

KdV方程(1.3)是無窮維的Hamilton系統的一類,它保持能量(1.2)守恒,這是因為在適合的邊界條件下,

這里表示關于u的泛函導數,其定義為

其中η是緊支柱函數,在邊界點取值為0.如果選取Poisson結構

則KdV方程可以寫成Hamilton系統的形式

更多關于Hamilton偏微分方程的內容可以參考文[2].

本文利用徑向基插值,分別離散Hamilton函數H和Poisson括號.如果令Φ(x)= [?(∥x ?x1∥),··· ,?(∥x ?xM∥)]T,根據式(1.4),可以得到

這里U=[u(x1,t),··· ,u(xM,t)]T.進一步根據徑向基的導數逼近公式(1.5),有

其中Ux=[ux(x1,t),...,ux(xM,t)]T,Uxx=[uxx(x1,t),...,uxx(xM,t)]T,Φ1=(?x(xi ?xj))以及Φ2=(?xx(xi ?xj)).因此,算子‘?x’有逼近形式Φ1Φ?1,算子‘?xx’有逼近形式Φ2Φ?1.

下面從兩個方面來看空間離散方式:

IH(u)的徑向基空間離散

討論離散之前,我們先給出引理.

引理2.1[14]如果以及積分dw存在.令Φ(·)=?(∥·∥),假設當w →0.取核函數Φc(x)=Φ(1/c)/c,則成立不等式

根據引理2.1,Φ?1≈?.再由上文分析Φ2Φ?1U ≈Uxx,因此可以按下列方式離散Hamilton函數H:

其中向量1=[1,··· ,1]T.因而

這里?H?=[...,?uiH?,...]T.

II Poisson括號的徑向基空間離散

相應的Poisson括號可以離散為

這里?F?= [...,?uiF?,...]T以及?G?= [...,?uiG?,...]T.因為Φ1是反對稱矩陣(徑向基核函數Φ(x)通常是正定的,它的導數是反對稱的).容易驗證{F?,G?}?=?{G?,F?}以及成立Jacobi等式

因而得到KdV方程的徑向基空間離散形式

這是一個有限維的Hamilton系統.

接下來證明離散的Poisson括號{F?,G?}?是連續{F,G}的一個逼近.

定理2.1令h=maxx∈?minj ∥x ?xj∥表示數據點的密度,當h →0,則有

證首先,根據泛函導數的定義以及數值積分公式

可以得到

注意到?x ≈Φ1Φ?1,Φ?1≈?(引理2.1),因此,當h →0時,離散Poisson括號

成立.

3.辛積分子空間離散以及辛算法

在時間方向上,利用Euler中點格式離散方程(2.2),就可以得到KdV方程的無網格辛算法:

這里,Uk={u(xj,tk)},tk=t0+k?t.定義截斷誤差

令∥·∥表示L2范數,則有如下定理.

定理3.1假設u(x,t)∈H10(R)∩H2(R),?t ∈[0,T],u(x,t)∈C4(R),?x.則Tk有估計式

這里?是徑向基逼近兩階導數的誤差階.

證根據Taylor展開,下式成立

以及

因此,有

注意到Φ1Φ?1和Φ2Φ?1是?x和?xx的逼近,逼近階是?.因此

4.數值例子

本節給出兩個例子來說明所構造無網格辛算法的精度和效率.例4.1給出一個單孤立波,用來驗證,無論配置點是等距還是非等距的,所構造辛算法都是高精度的.例4.1也驗證所構造辛算法具有長時間跟蹤能力.例4.2用來說明,當求解兩列波交叉的例子,算法效果依然很好.

例4.1考慮具有單孤立波的KdV方程(1.3)這里ε=6,μ=1.初始條件

此時解析解為

定義均方誤差L2以及最大誤差L∞分別為

選擇Gaussian 徑向基函數(GS?(x)=exp(?r2/2c2)),取形狀參數c=0.6.首先在區間[0,40]內取M個均勻分布點,以及t=1做精度測試,數值計算結果列在表4.1.表4.1說明,所構造的辛算法具有較高的逼近度(逼近階為4.27).

圖4.1 t=1時真實解(實線)和數值解(圓圈)比較(非等據點,單孤立波)

圖4.2驗證了所構造辛算法具有長期跟蹤能力,當我們計算到t= 30,在30000步(?t=0.001)之后,數值依然精確的模擬出真實解.所需時間不超過5秒,說明該方法是高效率的.

圖4.2 t=30時真實解(實線)和數值解(圓圈)比較(等據點,單孤立波)

例4.2考慮交叉孤立波方程(1.3),仍取ε=6以及μ=1.給定精確解為

所需初邊值條件可以從精確解中提取.在數值程序中,選擇逆multiquadric徑向基函數(IMQs形狀參數c= 1.2,以及在區間[?20,60]選擇400個等據點做模擬.數值模擬結果如圖4.3.

圖4.3 數值解(圓圈)和真實解(實線)比較(等據點,兩列波交叉)

5.結論

基于徑向基逼近理論,本文為KdV方程構造了一個高精度的無網格辛算法.理論分析了該算法的收斂性,并給出了誤差界估計.數值例子驗證了理論結果,表明所構造的辛算法是高精度的、無網格的、具有長期跟蹤能力.