多孔介質(zhì)中的Brinkman-Forchheimer模型的收斂性

石金誠(chéng),李遠(yuǎn)飛

(廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州511300)

1.引言

偏微分方程的穩(wěn)定性研究是近年來(lái)偏微分方程中的一個(gè)重要研究方向,其中連續(xù)依賴性(或收斂性)的研究依賴于模型本身的變化,而不是初始數(shù)據(jù)的變化.Ames和Straughan在專著[1]中多次提到了相關(guān)的工作,強(qiáng)調(diào)了模型本身的變化對(duì)模型解的影響.偏微分方程中本構(gòu)方程的參數(shù)的變化可以在物理上反映出來(lái),通過(guò)數(shù)學(xué)上的分析,有助于了解模型在物理中的適用性.連續(xù)依賴性(或收斂性)的結(jié)果很重要,因?yàn)樵跀?shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)測(cè)量過(guò)程中,不可避免地會(huì)出現(xiàn)誤差,我們需要知道一個(gè)微小的誤差能否引起解的急劇變化.

多孔介質(zhì)中流體方程組的研究是當(dāng)前數(shù)學(xué)與力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題,其研究主要集中在Brinkman,Darcy和Forchheimer方程組上.Nield和Beijan[2]以及Straughan[3]討論了多孔介質(zhì)中的這些模型.參考文獻(xiàn)中有一些論文討論了Brinkman,Darcy,Forchheimer和其他多孔介質(zhì)方程的Saint-Venant原則,但主要是研究多孔介質(zhì)中流體方程組的空間衰減估計(jì)結(jié)果[4].關(guān)于多孔介質(zhì)中流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,Franchi和Straughan[5]、Payne和Straughan[6]、LIN和Payne[7]等人已有一些研究進(jìn)展.近年來(lái),文[8–21]取得了一些新的結(jié)果,但這些文獻(xiàn)大多只研究了方程的連續(xù)依賴性,而忽略了方程的收斂性.當(dāng)流速過(guò)大時(shí),Darcy定律將不成立,此時(shí)Brinkman模型被認(rèn)為是準(zhǔn)確的,如果采用Forchheimer逼近,我們就能得到如下Brinkman-Forchheimer方程組[3]:

其中ui,p,T,C分別表示為速度,壓強(qiáng),溫度和鹽濃度,gi(x)和hi(x)為重力函數(shù),?為拉普拉斯算子.σ是Soret系數(shù),此外v和b分別是Brinkman系數(shù)和Forchheimer系數(shù).在方程組(1.1)中v,b,σ,k1,k2都是大于零的常數(shù).一般來(lái)說(shuō),熱擴(kuò)散系數(shù)k1和鹽擴(kuò)散系數(shù)k2相差很大,因此,不妨假設(shè)k1k2.方程組(1.1)是一種基于動(dòng)量守恒,質(zhì)量守恒,能量守恒以及鹽濃度守恒的方程組,并在動(dòng)量方程中采用了Forchheimer逼近.LIN等人在文[7]中首先研究了這類多孔介質(zhì)中含有鹽濃度的流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,他們?cè)跍囟扰c鹽濃度滿足齊次Neumman邊界條件下得到解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)果.接著文[8,21]在此基礎(chǔ)上將σ?T換成一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(T),也得到一些類似的結(jié)果.本文我們將繼續(xù)文[7]的研究,假設(shè)溫度與鹽濃度滿足與文[7]中不同的邊界條件,通過(guò)一些新的方法,得到解的收斂性結(jié)果.

方程組(1.1)在?×[0,τ]區(qū)域內(nèi)成立,其中?是R3中的一個(gè)有界單連通的星形區(qū)域,τ是給定的常數(shù)且0≤τ <∞.

邊界條件為

此外，初始條件為

本文研究了方程組(1.1)的解對(duì)Brinkman系數(shù)v的收斂性.當(dāng)v趨于0時(shí),速度梯度的估計(jì)將會(huì)有困難,同時(shí),由于鹽濃度C的方程中含有σ?T項(xiàng),從而導(dǎo)致鹽濃度C的估計(jì)難度加大,本文能夠較好解決這些難題.目前我們尚未發(fā)現(xiàn)有研究此類問(wèn)題的文獻(xiàn).

本文采取以下符號(hào)約定,用逗號(hào)表示求偏導(dǎo),用,i表示對(duì)xi求偏導(dǎo),如:u,i表示為,重復(fù)指標(biāo)表示求和,表示Lp范數(shù).

2.溫度T和鹽濃度C的先驗(yàn)界

為了得到本文的主要結(jié)果,我們給出以下引理:

引理2.1溫度T和鹽濃度C滿足以下最大值估計(jì):

證在文[22]中,Payne,Rodrigues和Straughan得出了下面的結(jié)果

定義一個(gè)新函數(shù)

方程(1.1)4變形為

則方程組(1.1)可重新寫為

函數(shù)N滿足的邊界條件為

此外，初始條件為

由于N滿足與T相同的方程，所以

引理2.2設(shè)(u?i,p?,T?,C?)是方程組(3.4)的解,則溫度T?的梯度和鹽濃度C?的梯度范數(shù)滿足以下估計(jì):

其中m2(t)=2K1(t)+2ˉk2m1(t),m3(t)是可計(jì)算的大于零的函數(shù).

證為了得到的界，引入滿足下列條件的函數(shù)φ(x,t)

顯然,有

顯然,有

聯(lián)合(2.13)式和(2.15)式,可得

在方程(2.17)1兩邊同時(shí)乘以φ ?ψ,并且在?上積分,可得

因?yàn)樵谶吔??上T0?ψ(x,0)=0,所以

其中λ是大于零的常數(shù).

對(duì)于(2.20)式,由分部積分,可得

顯然,有

其中n和s分別是邊界??上的法向量和切向量,?sψ是切向?qū)?shù),我們可以得出

將(2.24)式和(2.25)代入到(2.22)式,可得

由(2.27)式,可知

因此,我們得到?[T0?ψ(x,0)]2dx的界.由(2.18)式,(2.19)式和(2.28)式,可得

因此,有

由(2.28)式,同樣可得

聯(lián)立上兩式,可得

因此,有

我們得到以下方程

由φ的最大值原理,可得

方程(3.4)1兩邊同時(shí)乘以u(píng)?,并在?×[0,t]上積分,可得

由(2.36)式和(2.37)式,可得

聯(lián)合(2.33)式和(2.38)式,可得

其中m3(t)是可計(jì)算的大于零的函數(shù).

3.Brinkman系數(shù)υ的收斂性結(jié)果

在這一節(jié)中,我們建立了對(duì)Brinkman系數(shù)υ的收斂關(guān)系.設(shè)(ui,p,T,C)為下列邊界初值問(wèn)題的解

邊界條件為

初始條件為

設(shè)(u?i,p?,T?,C?)為下列邊界初值問(wèn)題的解

邊界條件為

初始條件為

假設(shè)ωi=ui ?u?i,θ=T ?T?,S=C ?C?,π=p ?p?,則(ωi,θ,S,π)滿足下列方程組

邊界條件為

此外,初始條件為

引理3.1對(duì)于速度u?i,有以下估計(jì):

其中m4(t)是大于零的函數(shù).

證為了得到的界,構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)

結(jié)合方程(3.4)1,可得

聯(lián)合(2.39)式,(2.40)式和(3.13)式,可得

我們將得到以下主要結(jié)果:

定理3.1設(shè)(ui,T,C,p)為初邊值問(wèn)題(3.1)-(3.3)式的經(jīng)典解,(u?i,T?,C?,p?)為初邊值問(wèn)題(3.4)式-(3.6)式的經(jīng)典解,(ωi,θ,S,π)是這兩個(gè)解的差.當(dāng)Brinkman系數(shù)v趨于0時(shí),解(ui,T,C,p)收斂于解(u?i,T?,C?,p?).解的差(ωi,θ,S,π)滿足

證將方程(3.7)1乘以ωi,并在?上積分,可得

將方程(3.7)3乘以θ,并在?上積分,可得

其中ε1是大于零的任意常數(shù).

將方程(3.7)4乘以S,并在?上積分,可得

其中ε2,ε3是大于零的任意常數(shù).

設(shè)

對(duì)(3.20)式兩邊同時(shí)在[0,t]上積分,可得

不等式(3.21)表明了在指定測(cè)度下當(dāng)Brinkman系數(shù)v趨于0時(shí),ui收斂到u?i,T收斂到T?,C收斂到C?.