線性時變周期系統(tǒng)的保性能控制

朱燦，焦淑云*

1. 山西師范大學(xué)現(xiàn)代文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，山西 臨汾041000;

2. 山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾041000

在物理以及工程技術(shù)中，很多問題都可以最終轉(zhuǎn)化為具有周期系數(shù)的線性微分方程組.例如，激光物理以及天體力學(xué)的數(shù)值問題、衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題、直升飛機的傳動系統(tǒng)以及經(jīng)濟系統(tǒng)與生態(tài)系統(tǒng)中的周期環(huán)境競爭平衡等問題［1］.

線性時變周期(LTVP)系統(tǒng)是一類復(fù)雜而又重要的系統(tǒng)，該系統(tǒng)近些年來，引起了眾多的關(guān)注. 文獻［2］研究了離散周期系統(tǒng)模型匹配的問題，而Vicente［3］研究了離散周期系統(tǒng)的極點配置的問題，并且成功地利用周期輸出反饋來配置出周期系統(tǒng)的單值矩陣的極點.張雪峰［4］研究了線性時變周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒控制，并給出了LTVP 系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件以及相應(yīng)的LTVP 系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計.

盡管近年來，國內(nèi)外學(xué)者對LTVP 系統(tǒng)展開了多方面的研究，其中，不乏許多重要且獨特的見解. 但是，在設(shè)計LTVP 系統(tǒng)的控制器時，關(guān)于保性能控器問題的研究并不多見.

保性能控制［5］的主要思想針對系統(tǒng)中的不確定性，設(shè)計出一種保性能控制器，使得該系統(tǒng)在保性能控制律的調(diào)節(jié)下，不僅可以保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，還可以使得系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足一定的上界.

因此，本文在研究保性能控制器的設(shè)計時，就考慮到了系統(tǒng)需要滿足的一些性能指標(biāo). 本文致力于LTVP 系統(tǒng)的保性能控制的研究，并且成功地給出了LTVP 系統(tǒng)相應(yīng)的保性能控制器的設(shè)計方法.

1 LTVP 系統(tǒng)簡介

考慮一個LTVP 系統(tǒng)［6］

容易得出結(jié)論:Φ·(t + T，τ +T)= A(t +T)Φ(t + T，τ + T)= A(t)Φ(t + T，τ + T)且Φ(τ + T，τ + T)=I，即Φ(t + T，τ + T)也滿足式(2).

故有Φ(t + T，τ + T)= Φ(t，τ)，而矩陣Φ(T，0)被稱為單值矩陣，該矩陣在LTVP 系統(tǒng)中非常重要.利用魯棒控制的相關(guān)思想，可以把LTVP 系統(tǒng)簡化成一種范數(shù)有界的魯棒擾動形式.

其中，Q，R 是給定的加權(quán)對稱正定矩陣.

定義1［8］對LTVP 系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(3)，如果存在一個控制律u(t)和一個正數(shù)J*，使得對所有允許的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并且，閉環(huán)性能指標(biāo)滿足J ≤J*，則J*被稱為LTVP 系統(tǒng)(1)的一個性能上界，u(t)被稱為LTVP 系統(tǒng)(1)的一個保性能控制律.

下面給出幾個必要的引理.

2 保性能控制器的設(shè)計

由Lyapunov 穩(wěn)定性定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)(6)是漸近穩(wěn)定的.

進一步，對(7)式兩邊同時做如下積分，并由系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性質(zhì)，可得

不過，定理1 雖然給出系統(tǒng)(6)的保性能控制器的設(shè)計方法，但是定理1 所得條件不是基于LMI 的.因此，下面本文將定理1 進一步改進，給出基于LMI 形式的保性能控制器的設(shè)計方法.

定理2 對于系統(tǒng)(6)和性能指標(biāo)函數(shù)(3)以及給定對稱正定矩陣Q，若存在適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣X 和矩陣W 以及正常數(shù)ε1＞0，ε2＞0，使得對于所有的ΔTi(t)Δi(t)≤I，i = 1，2，有以下矩陣不等式成立

其中，Ω = XAT+AX +WTBT+BW +(ε1+ε2)MMT，I 為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣，“* ”表示矩陣的對稱部分，則u(t)= Kx(t)是LTVP 系統(tǒng)(1)一個保性能控制器，并且，相應(yīng)的一個系統(tǒng)性能上界為

其中，Σ = ATP +PA +KTBTP +PBK + (ε1+ε2)PMMTP，I 為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣，“* ”表示矩陣的對稱部分.再對(10)式兩邊同乘以diag［P-1I I I I］，再令X = P-1，W = KX.最后，再使用一次引理1，即可得到(8)式.定理2 的其余證明部分，與定理1 相同.定理2 證畢.

3 仿真算例

其中

ε1= 253.363 9，ε2= 348.795 7，經(jīng)過計算可得K = ［- 19.824 4 4.059 2］. 因此，由定理2 知，可選擇u(t)= ［-19.824 4 4.059 2］x(t)作為LTVP 系統(tǒng)(1)的保性能狀態(tài)反饋控制器.

4 結(jié)論

本文針對線性時變周期系統(tǒng)，給出了該類系統(tǒng)的保性能控制器的設(shè)計方法. 并且對結(jié)果進行了基于LMI 的優(yōu)化.本文的結(jié)論，對傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的一些性能指標(biāo)的優(yōu)化問題，提供了可行解決方案.最后，本文給出數(shù)值仿真的算例，驗證了所提出的方法的有效性.當(dāng)然，其他相關(guān)問題還需要進一步的研究.