一類具有信息變量和等級(jí)治愈率的SI 傳染病模型的穩(wěn)定性分析

米曉麗

山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西臨汾041000

0 引言

長(zhǎng)期以來，傳染病一直在不斷地困擾著人們的生活，從天花、AIDS 病毒、SARS 病毒到H7N9 病毒再到新型冠狀病毒，每一次傳染病的大爆發(fā)都會(huì)嚴(yán)重影響社會(huì)的發(fā)展，給人類生存和國(guó)計(jì)民生帶來巨大的災(zāi)難.

近年來已經(jīng)有許多學(xué)者研究了各種傳染病模型，見文獻(xiàn)［1 ～3］，為更好地描述傳染病的傳染與控制規(guī)律，在治療過程中，我們常采用如下的信息變量

這里的T 表示的是疾病信息的平均延遲時(shí)間.文獻(xiàn)［4 ～7］就介紹了這種具有信息變量的SIR 模型.

在考慮以上因素的基礎(chǔ)上，本文將人分成了兩大類，分別是易感者、染病者，它們分別用S(t)、I(t)來表示，其中的系數(shù)均為正數(shù).建立如下的SI 傳染病模型:

1 平衡點(diǎn)的存在性、局部穩(wěn)定性

定理1 (1)當(dāng)R0≤1 時(shí)，系統(tǒng)(1)有無病平衡點(diǎn)E0=(1，0，1).

因此從定理的條件可知，P ＞Q，從而A ＞0.當(dāng)T ＜T*時(shí)，f(T)＜0 也就是AB ＞C，這樣我們就可以通過Routh-Hurwitz 得到，該特征方程的特征根均有負(fù)實(shí)部，即地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的;而當(dāng)T ＞T*時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*在系統(tǒng)(1)中在是不穩(wěn)定的.

2 E0 = (1，0，1)和E* = (S* ，I* ，Z* )的全局穩(wěn)定性討論

定理5 無病平衡點(diǎn)E0= (1，0，1)在系統(tǒng)(1)中當(dāng)R0＜1 時(shí)，是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 我們由Lasalle 不變集原理來證明，可以構(gòu)造這樣一個(gè)Lyapunov 函數(shù)，令V(t)= I，則