矩陣的初等相似變換與初等合同變換

安 軍

(重慶工商大學 數學與統計學院，重慶 400067)

矩陣的初等變換有三種類型：交換某兩行或兩列；將某一行或列乘以一個非零的數；將某一行或列乘以一個數加到另一行或列上去。兩個m×n矩陣A,B等價是指矩陣A可以通過若干次初等變換化成矩陣B，或者說存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B；兩個n階矩陣A,B相似是指存在n階可逆矩陣P(稱為相似變換矩陣)，使得P-1AP=B；兩個n階實對稱矩陣A,B合同是指存在n階可逆矩陣P(稱為合同變換矩陣)，使得PTAP=B[1]。矩陣的等價、相似、合同是矩陣理論中重要的三種等價關系，它們分別具有反身性、對稱性及傳遞性，都可以用于研究矩陣的分類。因此，矩陣的等價標準形、相似標準形及合同標準形是矩陣理論的重要內容之一。

將n階單位矩陣I經過一次初等變換分別得到n階矩陣E(i,j),E(i(k))(k≠0)和E(i,j(k))，統稱為n階初等矩陣，其中特別注意：

任一n階可逆矩陣都可以分解成若干個初等矩陣的乘積，初等矩陣都是可逆矩陣，它們有如下性質[1]：

E(i,j)T=E(i,j)，E(i(k))T=E(i(k))，

E(i,j(k))T=E(j,i(k))；E(i,j)-1=E(i,j)，

E(i(k))-1=E(i(k-1))(k≠0)，

E(i,j(k))-1=E(i,j(-k))。

兩個n階矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子或相同的初等因子；兩個n階實對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的特征值中正、負和零的個數分別相同。

針對兩個方陣相似以及兩個實對稱矩陣合同，本文分別介紹了初等相似變換與初等合同變換的概念，得到求相似變換矩陣及合同變換矩陣的一般方法，并以近年考研試題為例介紹這兩種方法的應用。

1 初等相似變換

(1)交換A的第i,j兩列，同時交換第i,j兩行，即E(i,j)AE(i,j)；

(2)將A的第i列乘以非零數k，同時將A的第i行乘以1/k，即E(i(k-1))AE(i(k))；

(3)將A的第i列乘以數k加到第j列上，同時將第j行乘以數-k加到第i行上，即E(i,j(-k))AE(i,j(k))。

由于矩陣乘法具有結合律，故初等相似變換與先做初等行變換或先做初等列變換的順序無關。

如果兩個n階矩陣A,B相似，即P-1AP=B。將可逆矩陣P分解成若干個初等矩陣的乘積P=P1P2…Ps，其中每個Pi都是某種類型的n階初等矩陣，因而

由此可知，兩個n階矩陣相似的充分必要條件是其中一個矩陣可以經過若干次初等相似變換得到另一個矩陣。

例1(2019年全國考研數學一、二、三試題)：

已知矩陣

相似，(1)求x,y；(2)求可逆矩陣P，使得P-1AP=B。

解(1)因為相似矩陣有相同的跡和相同的特征值，因此

又|A|=-2(4-2x)，|B|=-2y，所以x=3,y=-2。

(2)

因此，所求的

滿足P-1AP=B。

注2由于將可逆矩陣分解成若干個初等矩陣之乘積不是唯一的，所以此類問題的答案往往不唯一。比如，文獻[2]和[3]得到的相似變換矩陣P分別是

它們也滿足P-1AP=B的題設要求。將這兩個矩陣分別記為P1和P2，并將其與例1所得P的關系記為P=P1X1和P=P2X2。容易求得：

的約當標準形是

其相似變換矩陣P和其逆矩陣P-1分別是

2 初等合同變換

(1)交換A的第i,j兩列，同時交換第i,j兩行，即E(i,j)AE(i,j)；

(2)將A的第i列乘以非零數k，同時將A的第i行乘以k，即E(i(k))AE(i(k))；

(3)將A的第i列乘以數k加到第j列上，同時將第j行乘以數k加到第i行上，即E(j,i(k))AE(i,j(k))。

類似地，初等合同變換與先做初等行變換或先做初等列變換的順序亦無關系。

如果兩個n階實對稱矩陣A,B合同，即PTAP=B。將可逆矩陣P分解成若干個初等矩陣的乘積P=P1P2…Ps，其中每個Pi都是某種類型的n階初等矩陣，因而

由此可知，兩個n階實對稱矩陣合同的充分必要條件是其中一個矩陣可以經過若干次初等合同變換得到另一個矩陣。

例2(2020年全國考研數學二試題)：

設二次型

2ax1x2+2ax1x3+2ax2x3

解(1)二次型f和g的矩陣分別是

由題意知R(A)=R(B)，而|B|=0，故R(A)=R(B)<3，有|A|=(2a+1)(a-1)2=0，知a=-1/2。當a=1時，R(A)=1,R(B)=2，不合題意，故a=-1/2。

(2)

因此，所求的可逆矩陣

滿足PTAP=B。

注1用第三種初等合同變換有時要用待定系數法計算k值。

PTE(2,3)AE(2,3)P。

顯然E(2,3)AE(2,3)=A，因此，這兩個答案都符合題目要求。

3 結語

討論兩個n階矩陣合同一般是限定在實數域上的對稱矩陣，即討論n階實對稱矩陣合同。由于初等合同變換比初等相似變換在計算上更容易些，所以有些高等代數教材中會有所介紹[1,5]。不過，教材中通常只講如何將一個實對稱矩陣經過若干次初等合同變換化成一個對角矩陣，幾乎不涉及利用初等合同變換法解決如例2這種題型。