自耦PID 控制器

曾喆昭 劉文玨

半個多世紀以來,經典控制理論(控制論)與現代控制理論(模型論)獨立發展,形成了各自的方法論體系.在實際控制工程中,控制目標與被控對象實際行為之間的誤差是容易獲取的,也是能夠適當加以處理的,因而“基于誤差來消除誤差”的控制策略的原形:比例–積分–微分(Proportional-integral-dif ferential,PID)控制器在實際工業控制領域獲得了廣泛應用[1?6].對于實際控制工程問題,通常難以給出其內部機理的精確描述,因而基于數學模型的現代控制理論給出的控制策略,在實際控制工程領域難以獲得有效應用,這就是控制工程實踐與控制理論之間延續了半個多世紀而難以獲得很好解決的脫節現象[7?9].經典控制理論的精髓就是根據被控對象的實際值與期望值(控制目標)之間的偏差來形成控制策略,只要合理選擇PID控制器的增益參數使閉環系統穩定就能夠實現控制目標,這正是經典PID控制方法獲得廣泛應用的根本原因.然而,科學技術的發展對控制器的控制精度、響應速度和魯棒穩定性提出了更高的要求,導致傳統PID控制器的缺點也逐漸展現出來[9?10]:盡管傳統PID控制系統能夠保證閉環系統穩定,然而,閉環控制系統的動態品質對PID增益參數的變化敏感.正是這個缺點導致了快速性和超調之間不可調和的矛盾[10],因此,當系統運行工況發生變化時,控制器增益也需要隨之變化,因而各種改進型PID控制方法應運而生.在對PID參數進行在線整定的過程中,由于PID增益參數的整定值只是局部優化值,而不是全局性的最優值,因而在線整定PID增益參數的這種控制方法無法從根本上解決動態品質和穩態精度的矛盾[11].因此,PID控制器增益參數的調節與優化一直是控制理論與控制工程領域廣泛關注的問題.二十余年來,PID控制器在理論研究方面取得了長足發展,經典PID控制器與其他控制理論方法相結合形成了一些新型的PID控制器,例如:基于知識推理的專家PID控制[12]、基于神經網絡的PID控制[11,13?17]、模糊PID控制[18]、預測PID控制[19]等.此外,一些現代優化方法也被應用于PID控制器的設計,如采用遺傳算法[20]、粒子群算法[21]以及其他優化方法[22?23]求取滿足設計要求的PID控制器參數.前面這些方法在PID優化控制方面都獲得了不同程度的控制效果,具有良好的跟蹤性能和一定的抗干擾性能,然而都存在計算量大的問題,在實時控制方面存在不同程度的局限性.為了減小PID增益參數在線優化的計算量,曾喆昭提出了非線性PID自學習控制方法[24?25],該方法不僅有效提高了非線性系統的自適應控制能力,而且具有響應速度快、控制精度高、魯棒穩定性好等特點,然而,抗擾動能力仍然欠佳.由于傳統PID控制原理是將誤差的過去(I)、現在(P)和將來(變化趨勢D)進行加權求和來形成控制信號,盡管只要合理選取PID三個增益參數就能使閉環控制系統局部穩定,然而,誤差以及誤差的積分和微分是三個完全不同屬性的物理量,曾喆昭學者認為:將三個不同屬性的物理量獨立加權求和來形成PID控制律模型是不合理的:

1)違背了算術運算的基本規則:不同屬性的物理環節是不能獨立加權求和的,否則難以從物理意義上來準確理解傳統PID控制律的數學模型;

2)傳統PID控制律的數學模型不異于強行將比例、積分和微分等三個不同屬性的物理環節割離開來并獨立對待,由此導致了比例、積分和微分三個環節在控制過程中相互獨立、各自為陣,因而缺乏協同控制的科學思想;

3)正因為傳統PID控制律模型的不合理性,導致PID的增益整定問題成為了控制科學與控制工程領域的世紀難題.

曾喆昭學者發現:盡管誤差的比例、積分和微分是三個不同屬性的物理環節,然而這三個環節都與誤差有關,三者之間一定存在某種內在的必然關系,因此不應該將比例、積分和微分等三個不同屬性的環節割離開來并獨立對待,而應該將三個不同屬性的環節作為一個不可分割且有機統一的整體來對待.近十年來,曾喆昭學者在吸取PID控制、滑模控制(Sliding mode control,SMC)以及自抗擾控制(Auto disturbance rejection controller,ADRC)三大主流控制器優點的同時,主要圍繞其各自存在的局限性開展了相關改進性的研究工作,特別是受跟蹤微分器(Tracking dif ferentiator,TD)模型思想的啟發,先后提出了SC-PID控制方法和ASF模型.本文的理論研究結果與數值仿真實驗都驗證了SC-PID控制思想的正確性.

1 問題描述

考慮到PID包括PI和PD等三種控制器類型,因此本文要研究的SC-PID也包括相應的三種類型,即SC-PI、SC-PID和SC-PD.考慮到PI控制器的廣泛應用,下面先研究SC-PI 控制方法,然后再研究SC-PID和SC-PD控制方法.

1.1 一階非仿射非線性不確定系統

考慮一階非仿射非線性不確定系統:

其中,x∈R是可測量狀態,u∈R是控制輸入,y∈R是系統輸出,f(x,u)是未知不確定函數,d1是未知外部有界擾動.

由于系統(1)是一類一階非仿射非線性不確定系統,因此本文將系統未知不確定動態和外部擾動定義為總和擾動,即

其中,b0=0是控制增益的估計值(不要求精確估計).

因此,系統(1)改寫為

顯然,系統(3)是一類一階線性不確定仿射系統,而且與系統(1)是等價的.

1.2 二階非仿射非線性不確定系統

考慮二階非仿射非線性系統為:

其中,x1,x2∈R是可測量的兩個狀態,u∈R是控制輸入,y∈R是系統輸出,f(x1,x2,u)是未知不確定函數,d1是未知外部有界擾動.

由于系統(4)是一類二階非仿射非線性不確定系統,因此本文將系統未知不確定動態和外部擾動定義為總和擾動,即

其中,b0=0是控制增益的估計值(不要求精確估計).

因此,系統(4)改寫為

顯然,系統(6)是一類二階線性不確定仿射系統,而且與系統(4)是等價的.

本節的主要思想是:將一類非仿射非線性不確定系統轉換為一類線性不確定仿射系統.其主要特色是:淡化了線性與非線性、時變與時不變性、確定與不確定、仿射與非仿射等系統分類的概念或界定,將一類復雜非線性系統的控制問題轉化為一類線性不確定仿射系統的控制問題.盡管系統(1)和系統(4)沒有顯含時變參數,但是可以將系統的時變性歸類于系統內部的不確定性.

2 SC-PID控制器研究

針對一階和二階線性不確定仿射系統的控制問題,分別進行相應的SC-PID控制器設計.

2.1 SC-PI控制器設計

設被控系統的期望軌跡為r,針對一階非仿射非線性不確定系統(1)或其等價的線性不確定仿射系統(3)的控制問題,定義跟蹤控制誤差為:

定義誤差的積分:

結合系統(3)可得:

根據式(7)～(9)可得受控誤差系統:

由受控誤差系統(10)定義SC-PI 控制器模型為:

其中,zc >0是SC-PI控制器的速度因子.

基于SC-PI 的閉環控制系統如圖1所示.

與傳統PI 控制器相比,SC-PI控制器(11)的主要創新點在于只有一個速度因子zc;其主要特色是:通過zc將比例和積分兩個不同屬性的物理環節緊密耦合在一起形成協同控制信號,因此,SC-PI的增益整定規則為:

傳統PI控制器將kp和ki兩者分離開來并獨立對待,是否存在合理性問題,作者不予過多評價.然而,PI控制器的增益整定問題一直是個世紀難題.

2.2 SC-PID控制器設計

被控系統的期望軌跡為r,針對二階非仿射非線性不確定系統(4)或與其等價的線性不確定仿射系統(6)的控制問題,定義跟蹤控制誤差為:

定義誤差的積分:

結合系統(6)可得:

根據式(13)～(15)可得受控誤差系統:

由受控誤差系統(16)定義SC-PID控制器模型為:

圖1 基于SC-PI 的閉環控制系統模型Fig.1 Closed loop control system based on SC-PI

其中,zc>0是SC-PID控制器的速度因子.

基于SC-PID的閉環控制系統如圖2所示.

與傳統PID控制器相比,SC-PID控制器(17)的主要創新點在于只有一個速度因子zc;其主要特色是通過zc將比例、積分和微分等三個不同屬性的物理環節緊密耦合在一起來形成控制信號,因此,SC-PID的增益整定規則為:

就控制論而言,PID及其各種改進型PID控制器都是多參數的控制器.從目前已有的研究成果來看,這些控制器的各參數之間是完全獨立的,而且與被控對象有關:對于不同的被控對象,PID控制器的增益千差萬別;即便是同一個對象,當系統模型參數發生變化或工況狀態發生變化時,必須重新整定PID的三個增益參數.顯然,盡管PID的控制律不依賴于被控對象,然而,PID的三個增益參數卻與被控對象相關,因此,傳統PID的增益整定方法背離了控制論的精髓,從而導致了增益整定的世紀難題.從理論上來說,獨立的多參數控制器確實增加了可行域的選擇范圍,然而從實際控制工程而言,卻顯著增加了各參數的整定難度.

作者發現:盡管比例、積分和微分是三個不同屬性的物理環節,然而卻都與誤差有關,因此,三個不同屬性的環節之間一定存在內在的必然聯系,而且一定是一個不可分割且有機統一的整體.SC-PID控制器中的速度因子zc >0正是將比例–積分–微分等三個不同屬性環節緊密耦合在一起的內在關鍵因子.

2.3 SC-PD控制器設計

如果不考慮積分環節,根據式(14)和(15)可得受控誤差系統為:

由受控誤差系統(19)定義SC-PD控制器模型為:

其中,zc >0是SC-PD控制器的速度因子.

基于SC-PD的閉環控制系統如圖3所示.

與傳統PD控制器相比,SC-PD控制器(20)的主要創新點在于只有一個速度因子zc;其主要特色是通過zc將比例和微分兩個不同屬性的物理環節緊密耦合在一起來形成控制信號,因此,SC-PD的增益整定規則為:

3 控制系統分析與自適應速度因子

本文設計了SC-PI、SC-PID和SC-PD等三類自耦PID控制器,由這三類控制器分別構成的閉環控制系統是否穩定正是本文要重點研究的主要內容之一.

圖2 基于SC-PID的閉環控制系統模型Fig.2 Closed loop control system based on SC-PID

圖3 基于SC-PD的閉環控制系統模型Fig.3 Closed loop control system based on SC-PD

3.1 控制系統分析

定理1.假設式(2)定義的總和擾動有界:|d|<∞,則當且僅當速度因子zc>0時,由式(11)定義的SC-PI 控制器組成的閉環控制系統是大范圍穩定的,而且SC-PI 控制系統具有良好的抗總和擾動魯棒性.

證明.

1)穩定性分析

將式(11)定義的SC-PI 控制器代入式(10)所示的受控誤差系統,可得閉環控制系統:

顯然,閉環控制系統(22)是一個在總和擾動d反相激勵下的誤差動態系統.考慮到初始狀態:=0,對系統(22)取單邊拉普拉斯變換,并整理得:

其中,系統(23)的第一項是零輸入響應,第二項是零狀態響應.

由系統(23)可得閉環控制系統的傳輸函數為:

相應的單位沖激響應為:

當zc >0時,則有:limt→∞h(t)=0.顯然,參數zc越大,h(t)→0的速度則越快,因此稱zc為速度因子,下同.當zc >0時,由于閉環控制系統的傳輸函數唯一的雙重極點sp=?zc <0在S左半平面,因此,閉環控制系統(22)或(23)是大范圍穩定的.

2)抗擾動魯棒性分析

閉環控制系統(23)的時域解為:

當zc >0時,由于limt→∞h(t)=0,因此,只要|d|<∞,則必有下式成立:

理論分析表明,在式(11)定義的SC-PI 控制器作用下,被控系統(1)或(3)的跟蹤控制誤差e1=r?y可以從任意不為零的初始狀態e?1=0向穩定的平衡點零點趨近,理論上可以實現精確控制.當zc>0時,由于e1(t)→0只與|d|<∞有關,而與總和擾動d的具體模型無關,因此,SC-PI控制器具有良好的抗總和擾動魯棒性.

上述復頻域分析和時域分析表明,當速度因子zc >0時,不僅由SC-PI 控制器組成的閉環控制系統是大范圍穩定的,而且只要|d|<∞,跟蹤控制誤差可以從任意不為零的初始狀態向穩定的平衡點零點趨近,因而具有良好的抗總和擾動魯棒性.

定理2.假設式(5)定義的總和擾動有界:|d|<∞,則當且僅當速度因子zc >0時,由式(17)定義的SC-PID控制器組成的閉環控制系統是大范圍穩定的,而且SC-PID控制器具有良好的抗總和擾動魯棒性.

證明.

1)穩定性分析

將式(17)定義的SC-PID控制器代入式(16)所示的受控誤差系統,可得閉環控制系統:

顯然,閉環控制系統(24)是一個在總和擾動d反相激勵下的誤差動態系統.考慮到初始狀態:

其中,系統(25)的第一項是零輸入響應,第二項是零狀態響應.

且閉環控制系統的傳輸函數為:

其單位沖激響應為:

且

由于zc >0時,閉環控制系統傳輸函數唯一的三重極點sp=?zc <0在S左半平面,因此,閉環控制系統(24)或(25)是全局漸近穩定的.

2)抗擾動魯棒性分析

閉環控制系統(24)或(25)的時域解為:

當zc >0時,由于:

因此,只要|d|<∞,則必有下式成立:

理論分析表明,在式(17)定義的SC-PID控制器作用下,被控系統(4)或(6)的跟蹤控制誤差e1=r?y及其微分可以從任意不為零的初始狀態向穩定的平衡點原點(0,0)趨近,理論上可以實現精確控制.當zc >0時,由于(e1,e2)→(0,0)只與|d|<∞有關,而與總和擾動d的具體模型無關,因此,SC-PID控制器具有良好的抗總和擾動魯棒性.

上述復頻域分析和時域分析表明,當速度因子zc >0時,不僅由SC-PID控制器組成的閉環控制系統是大范圍穩定的,而且只要|d|<∞,跟蹤誤差及其微分可以從任意不為零的初始狀態向穩定的平衡點原點(0,0)趨近,因而具有良好的抗總和擾動魯棒性.

定理3.假設式(5)定義的總和擾動有界:|d|<∞,則當且僅當速度因子zc>0時,由式(20)定義的SC-PD控制器組成的閉環控制系統是大范圍穩定的,且SC-PD控制系統具有良好的抗總和擾動魯棒性.

證明.

1)穩定性分析

將式(20)定義的SC-PD控制器代入式(19)所示的受控誤差系統,可得閉環控制系統:

顯然,閉環控制系統(26)是一個在總和擾動d反相激勵下的誤差動態系統.考慮到初始狀態:對系統(26)取單邊拉普拉斯變換,并整理得:

其中,誤差系統(27)的第一項是零輸入響應,第二項是零狀態響應.

且閉環控制系統的傳輸函數為:

其單位沖激響應為:

且

由于zc >0時,閉環控制系統傳輸函數唯一的二重極點sp=?zc <0在S左半平面,因此,閉環控制系統(26)或(27)是大范圍穩定的.

2)抗擾動魯棒性分析

閉環控制系統(26)或(27)的時域解為:

當zc >0時,由于:

因此,只要|d|<∞,則必有下式成立:

理論分析表明,在式(20)定義的SC-PD控制器作用下,被控系統(4)或(6)的跟蹤控制誤差e1=r?y及其微分可以從任意不為零的初始狀態向穩定的平衡點原點(0,0)趨近,理論上可以實現精確控制.當zc >0時,由于(e1,e2)→(0,0)只與|d|<∞有關,而與總和擾動d的具體模型無關,因此,SC-PID控制系統具有良好的抗總和擾動魯棒性.

上述復頻域分析和時域分析表明,當速度因子zc >0時,不僅由SC-PD控制器組成的閉環控制系統是大范圍穩定的,而且只要|d|<∞,跟蹤誤差及其微分可以從任意不為零的初始狀態向穩定的平衡點原點(0,0)趨近,具有良好的抗總和擾動魯棒性.

3.2 自適應速度因子

盡管上述三個定理都表明了只要總和擾動有界:|d|<∞,且速度因子zc >0時,分別由SC-PI、SCPID和SC-PD組成的閉環控制系統都是大范圍穩定的,而且SC-PI、SC-PID和SC-PD等控制系統分別具有良好的抗擾動魯棒性,同時也表明了三類控制器的速度因子zc具有很大的整定裕度.為了提高控制系統的動態響應速度和抗擾動能力,要求zc越大越好.然而,如果zc太大,會使積分環節的增益權重很大,在動態響應初期,可能會因積分飽和而出現超調與振蕩現象.因此,在保證響應速度快和抗擾動能力強的同時,為了避免因積分飽和問題出現超調與振蕩現象,本文設計了一種自適應速度因子模型,即:

其中,0<α<100,β=1/Tt,Tt是由動態過渡到穩態的過渡過程時間.

為了便于實際應用,對于快系統而言,通常在10<α<100范圍內任意取值;對于慢系統而言,通常在1≤α≤10范圍內任意取值.α越大,則響應速度越快,抗擾動能力越強;否則反之.過渡過程時間Tt則由被控系統的時間尺度特性來確定:如果實際要求在1 s時間內實現穩態跟蹤控制,則取Tt=1 s,依次類推.

3.3 SC-PID控制器合理性分析

由式(29)可知,由于過渡過程時間Tt的量綱是秒(s),因此,速度因子zc的量綱是:s?1.以被控對象(6)為例,假設x1和x2分別表示位移(米:m)和速度(米/秒:ms?1),因而其量綱分別為:m和ms?1.設期望輸出為r,其量綱為:m,則有誤差及其積分和微分分別為:

誤差:e1=r?y,量綱:m;

積分:e0=e1dτ,量綱:ms;

下面定性分析SC-PID中4個不同環節的物理屬性:

顯然,SC-PID控制器中各個不同環節通過速度因子轉換后都成為相同的物理量綱:ms?2,即加速度量綱.假設系統增益系數b0的量綱為:kg?1,那么,控制信號u的量綱就是牛頓,因而控制信號u相當于力的地位,或者說,也稱控制信號u為控制力.

上述僅是以位移運動系統為例進行類比定性分析,同樣,也可以使用轉動系統進行類比定性分析,在此不再一一列舉.

總之,本文提出的SC-PID控制器模型,明確了各個不同屬性的環節通過速度因子進行量綱轉換后,都成為了力的屬性單元,并通過加權求和來形成控制器的合力.本文指出傳統PID控制律模型的不合理性,主要是針對三個獨立增益而言的,并不是否定PID的歷史地位及其歷史功績,而是作者近年來心存以下質疑:

1)比例增益、積分增益和微分增益究竟是什么屬性？

2)三者之間是否存在必然的關系？

3)如何整定三個增益？

4)控制信號u是什么屬性？

如何解決上述系列質疑問題,正是作者近年來一直思考的問題.在控制過程中,由于比例、積分和微分等三個不同環節之間互相影響,不明確解決上述問題,增益參數的整定永遠都是一個難題.本文提出的SC-PID控制器正是為了解決這些質疑問題而問世的,它能夠使沒有任何控制理論基礎或沒有任何控制工程經驗的人都可以對陌生的被控對象進行控制,因而也可稱之為傻瓜型控制理論方法.

4 數值仿真實驗與分析

為了驗證本文提出的SC-PI、SC-PID和SCPD等三類控制方法的有效性,分別進行下列仿真實驗.在仿真實驗中,設期望軌跡分別為正弦信號和單位階躍信號.考慮到SC-PID和SC-PD控制器都涉及到期望信號的微分信息,因此,針對期望軌跡為單位階躍信號的情況,使用如下過渡過程:

4.1 考慮一階非仿射非線性不確定系統[26?27]

其中,系統未知動態為:

d1是幅值為±1的方波振蕩外部擾動.設總和擾動為:d=f(x,u)+d1?b0u,給定初始狀態為x(0)=0.5,設α=63,β=1,則SC-PI控制器的自適應速度為:

下列三個仿真實驗都使用相同的控制器參數:

仿真實驗1.SC-PI的正弦跟蹤控制

當期望軌跡為正弦信號時,即r(t)=0.5 sin(2t),使用SC-PI控制器的仿真結果如圖4所示.

圖4 SC-PI 的正弦跟蹤控制結果Fig.4 Sinusoidal tracking control results of SC-PI

下列所有仿真實驗中的外部擾動都與圖4(e)完全相同,為了節省篇幅,不再一一列出.

仿真實驗2.SC-PI的階躍跟蹤控制

當期望軌跡為單位階躍信號時,使用SC-PI控制器的仿真結果如圖5所示.由圖4和圖5可知,同一個SC-PI控制器可以實現正弦跟蹤和階躍跟蹤兩種不同工況狀態的有效控制,不僅響應速度快、控制精度高、無超調、無波動、無抖振,而且具有很強的抗擾動能力,理論研究結果和仿真實驗結果都表明了本文研究的SC-PI控制器是有效的.與文獻[26]和[27]相比,本文的SC-PI控制方法因免除了擾動觀測器,使得控制器結構更為簡單,實時性更好.此外,文獻[26]和[27]只做了正弦跟蹤控制實驗,沒有進行階躍跟蹤控制實驗.

圖5 SC-PI 的階躍跟蹤控制結果Fig.5 Step tracking control results of SC-PI

仿真實驗3.時變系統的SC-PI階躍跟蹤控制

被控對象(30)中有三個模型參數1、0.1和0.5.假設這三個模型參數是時變的,且分別設為:

則一階非仿射非線性不確定系統(30)變為非仿射非線性時變不確定系統(31)

使用同一套SC-PI控制器對時變系統(31)進行階躍跟蹤控制實驗,結果如圖6所示.由圖6可知,使用同一套SC-PI控制器對時變系統(31)進行階躍跟蹤控制實驗,仍然獲得了很好的控制效果,進一步表明了本文研究的SC-PI控制器對系統時變性和外部擾動具有很好的魯棒性.

4.2 考慮二階非仿射非線性不確定系統[26?27]

其中,d1為外部有界擾動.系統未知動態為:

設總和擾動為:d=f(x1,x2,u)+d1?b0u.給定初始狀態為x1(0)=x2(0)=0.5,設α=63,β=1,則SC-PID控制器的自適應速度為:

(與SC-PI的自適應速度完全相同).

下列三個仿真實驗都使用同一套控制器參數:

仿真實驗4.SC-PID的正弦跟蹤控制

設期望的正弦軌跡與仿真實驗1的完全相同,使用SC-PID控制器的仿真結果如圖7 所示.

仿真實驗5.SC-PID的階躍跟蹤控制

設期望的階躍軌跡與仿真實驗2的完全相同,使用SC-PID控制器的仿真結果如圖8所示.由圖7 和圖8可知,同一套參數的SC-PID控制器可以實現正弦跟蹤和階躍跟蹤兩種不同工況狀態的有效控制,不僅響應速度快、控制精度高、無超調、無波動、無抖振,而且具有很強的抗擾動能力,理論研究結果和仿真實驗結果都表明了本文研究的SC-PID控制器是有效的.與文獻[26]和[27]相比,本文的SC-PID控制方法因免除了擾動觀測器,使得控制器結構更為簡單,實時性顯著提高.

仿真實驗6.時變系統的SC-PID階躍跟蹤控制實驗

被控對象(32)中未知動態函數:

圖6 時變系統的SC-PI 控制結果Fig.6 SC-PI control results for time-varying systems

圖7 SC-PID的正弦跟蹤控制結果Fig.7 Sinusoidal tracking control results of SC-PID

圖8 SC-PID的階躍跟蹤控制結果Fig.8 Step tracking control results of SC-PID

有5個系統模型參數1、1、0.1、0.15和1.假設這5個系統模型參數是時變的,且分別設為:

則二階非仿射非線性不確定系統(32)的未知動態函數變為時變動態函數:

因而二階非仿射非線性不確定系統(32)變為二階非仿射非線性時變不確定系統.使用同一套SCPID控制器參數對時變系統(32)進行階躍跟蹤控制實驗,結果如圖9所示.由圖9可知,使用同一套SC-PID控制器對時變系統(32)進行階躍跟蹤控制實驗,仍然獲得了很好的控制效果,進一步表明了本文研究的SC-PID控制器對系統時變性和外部擾動具有很好的魯棒性.

上述6個仿真實驗表明,SC-PI 控制器和SC-PID控制器使用完全相同的自適應速度因子zc=63[1?0.9 exp(?t)]分別控制兩類不同模型、不同屬性的被控對象,都獲得了很好的控制效果.不僅如此,本文研究的控制方法,控制律和控制器增益都與被控對象無關,而PID控制器增益卻完全與被控對象相關,對于不同的工況和不同的被控對象,PID及其各種改進型PID的增益千差萬別.

為了驗證SC-PD控制器的有效性,針對二階非仿射非線性不確定系統(32)分別進行下列仿真實驗.

考慮到SC-PD缺少積分環節,因此SC-PD的增益參數應該取大一點,即設α=83、β=1,則SCPD的自適應速度因子為:zc=83[1?0.9 exp(?t)].

期望的正弦軌跡和階躍軌跡與上述實驗的也完全相同.

仿真實驗7.SC-PD的正弦跟蹤控制

使用SC-PD的正弦跟蹤控制結果如圖10所示.

仿真實驗8.SC-PD的階躍跟蹤控制

使用SC-PD控制器的階躍跟蹤控制結果如圖11所示.

仿真實驗9.時變系統的SC-PD階躍跟蹤控制

圖9 時變系統的階躍跟蹤控制結果Fig.9 Step tracking control results for TVS

圖10 SC-PD的正弦跟蹤控制結果Fig.10 Sinusoidal tracking control results of the SC-PD

為了驗證SC-PD控制器對時變系統(TVS)控制的有效性,使用與仿真實驗6完全相同的5個時變參數,對非線性非仿射時變系統(32)進行控制實驗,結果如圖12所示.由圖12可知,使用同一套SC-PD控制器參數對時變系統(32)進行階躍跟蹤控制實驗,仍然獲得了很好的控制效果,進一步表明了本文研究的SC-PD控制器對系統時變性和外部擾動具有很好的魯棒性.

為了體現本文SC-PID控制器的創新性,下面分別使用在線自學習PID(包括PI)控制方法、在線自學習SMC控制方法以及ADRC方法進行對比分析.其中,在線自學習PID控制方法參照文獻[16?17]進行仿真實驗;在線自學習SMC控制方法參照文獻[26]進行仿真實驗;ADRC方法則使用在線自學習PID+ESO來實現.為了便于比較,四種控制器及其相關參數分別介紹如下:

1)SC-PI控制器:

其中,zc=63[1?0.9 exp(?t)];

2)在線自學習SMC控制器:

滑模函數:s=e1;

ESO增益:β01=1 000,β02=6 000;

c1和c2在線更新算法如下:

其中,yu為雅可比信息[26?27],下同.

3)在線自學習PI控制器:

圖11 SC-PD的階躍跟蹤控制結果Fig.11 Step tracking control results of the SC-PD

kp和ki在線更新算法為:

4)在線自學習ADRC:

其中,

u0=kpe1+kie0,z2是總和擾動估計值;

ESO增益:β01=1 000,β02=6 000;

kp和ki在線更新算法為:

仿真實驗10.一階非仿射非線性系統的對比控制分析

針對被控系統(30),在初始狀態完全相同、單位階躍軌跡和外部擾動也完全相同,b0=1,分別使用SC-PI控制器、在線自學習SMC、在線自學習PI控制器以及在線自學習ADRC等四種控制器的控制結果如圖13所示.由圖13可知,在控制精度和抗擾動魯棒性方面,SC-PI、SMC和ADRC相當,而自學習PI 控制器存在明顯的差距.然而,與SMC和ADRC相比,SC-PI結構簡單、計算量小,在實時性方面具有明顯優勢,由于自學習SMC和ADRC的抗擾動魯棒性是依賴于ESO對總和擾動的估計來實現的,如果缺少ESO功能部件,與自學習PI控制器一樣,它們的抗擾動能力會明顯降低.

仿真實驗11.二階非仿射非線性系統的對比控制分析

針對被控系統(32),在初始狀態完全相同、單位階躍軌跡和外部擾動也完全相同.SC-PID、SMC、在線自學習PID以及在線自學習ADRC等四個控制器及其相關參數分別如下:

圖12 時變系統的階躍跟蹤控制結果Fig.12 Step tracking control results for TVS

1)SC-PID控制器:

其中,zc=63[1?0.9 exp(?t)];

2)SMC控制器:

且

3)在線自學習PID控制器:

在線更新算法如下:

其中,yu為雅可比信息[16?17],下同.

4)在線自學習ADRC:

其中,

u0=kpe1+kie0+kde2,z3是總和擾動估計值;

ESO增益:

β01=1 000,β02=6 000,β03=30 000;

圖13 四種控制器的控制結果Fig.13 Control results of the four controllers

在線更新算法如下:

針對非線性非仿射不確定被控對象(32),SCPID、SMC、在線自學習PID以及在線自學習ADRC等四個控制器的仿真結果如圖14所示.

由圖14可知,在線自學習PID和ADRC都存在明顯的超調和波動現象,而且由動態進入穩態的過渡過程時間較長.由圖14(h)的外部擾動可知,外部擾動在6.284 s時刻發生從+1到?1的跳變.假設擾動出現時刻,四種控制系統都處于穩定狀態,根據圖14(d)和圖14(e)的誤差局部放大圖可知,與其他三種方法相比,SC-PID具有高得多的穩態精度(穩態絕對誤差不超過5×10?8),而SMC、自學習PID以及ADRC的穩態精度相當(絕對誤差分別不超過2.8×10?3、5.1×10?3、2.4×10?3).顯然,SC-PID控制方法的穩態精度是現有其他方法的十萬倍.

圖14 四種控制器的控制結果Fig.14 Control results of the four controllers

此外,當擾動出現以后,與其他三種方法相比,SC-PID在抗擾動能力方面也同樣具有明顯的優勢,只需要約0.47 s即可快速恢復到穩定狀態;而ADRC則需要約3.22 s才能恢復到穩定狀態;自學習PID則需要約5.72 s才能恢復到穩定狀態.盡管SMC抗擾動能力較強,而且恢復時間只需要0.82 s左右,然而卻一直存在約?6×10?4的固有靜態偏差.

通過實驗結果的對比分析可知,與現有的PID、SMC和ADRC等三種控制方法相比,本文提出的SC-PID控制方法在響應速度、穩態精度以及抗擾動能力等方面都具有明顯的優勢.

5 結論

本文提出的SC-PID控制器的主要思想是:

1)借鑒了韓京清先生的思想:將系統動態不確定性(包括模型不確定性和參數不確定性)以及外部擾動作為總和擾動,使非線性不確定系統轉化為線性不確定系統,因而淡化了線性與非線性、確定與不確定性、時變與時不變性、耦合與非耦合、仿射與非仿射等系統分類的概念;

2)借鑒了跟蹤微分器的模型思想,提出了SCPID控制器模型,進而將一個非線性不確定系統或其等價的線性不確定系統的閉環控制系統轉換為總和擾動反相激勵下的誤差動態系統;

3)分別從復頻域和時域分析了由SC-PID控制器組成的閉環控制系統不僅具有大范圍穩定性能,而且SC-PID還具有良好的抗總和擾動魯棒性,因而從理論上保證了SC-PID(包括SC-PI 和SC-PD)控制器的有效性.

為了有效解決快速性與超調之間的矛盾,提出了自適應速度因子模型,從而使SC-PID成為ASCPID.系列仿真實驗不僅驗證了SC-PID控制方法的有效性,而且也驗證了理論分析的正確性.此外,還與現有改進型PID、改進型SMC以及ADRC進行了比較分析,進一步表明了SC-PID在模型結構、響應速度、控制精度以及抗擾動魯棒性等方面的突出優勢.本文研究的不依賴于被控對象模型的SC-PID控制器的主要特色是:不僅控制器結構簡單(只有一個速度因子)、計算量小(不需要在線優化增益參數、不需要擾動觀測器實時估計擾動狀態)、響應速度快、控制精度高、抗擾動能力強、無超調、無振蕩、無抖振,而且對系統內部不確定性、參數時變性以及外部擾動都具有很好的魯棒性等突出優勢.SC-PI、SC-PID和SC-PD控制器的增益整定規則分別為現有運行中PI、PID和PD控制器的增益整定結果進行技術評估與技術升級提供了科學的理論依據.