帶未知模型參數和衰減觀測率系統自校正分布式融合估計

段廣全 孫書利

近年來,多傳感器信息融合技術得到廣泛關注.經典Kalman濾波需要已知模型參數和噪聲統計特性[1].而在實際應用中,系統可能會出現模型參數或噪聲統計特性未知情況.文獻[2?4]研究了帶未知噪聲方差系統的自校正估計問題.文獻[5]和[6]研究了模型參數和噪聲方差未知系統的自校正融合估計問題.文獻[7]針對帶未知模型參數和噪聲統計特性且噪聲相關的多傳感器系統,分別應用RELS算法、Gevers-Wouters算法對未知模型參數和噪聲統計特性進行辨識,并提出了自校正融合估值器.文獻[5?7]中在對未知模型參數進行融合處理時,采用加權平均方法獲得最終融合辨識器.該方法沒有考慮不同傳感器的局部參數辨識的差異,不能保證融合后的參數估計精度都優于每個局部參數估計.上述文獻所提出的辨識和估計算法都是基于完整的傳感器觀測數據,而沒有考慮數據的不完整現象.

在實際的網絡化系統或傳感器網絡中,由于傳感器老化或故障、以及傳感器的觀測數據在通信傳輸過程中由于帶寬有限,可能會出現數據丟失、衰減、延遲等問題,使得估值器所收到的傳感器數據具有不完整現象[8].文獻[9]研究了帶多丟包系統的最優估計問題.文獻[10]將文獻[9]的單傳感器系統推廣到了多傳感器系統,對帶有不同丟包率的多傳感器系統,提出了集中式和分布式融合估值器.文獻[11?14]考慮數據在傳輸過程中存在的丟失和延遲現象,設計了相應的最優估值器.其中文獻[13]在文獻[12]的基礎上研究了帶隨機乘性噪聲、多丟包和滯后系統的最優估計問題.文獻[14]考慮了過程噪聲和觀測噪聲具有一步自相關和互相關的情況.文獻[15]和[16]對帶有數據包丟失的多傳感器系統,應用協方差信息方法設計了分布式融合估值器.在上述文獻[9?17]中數據丟失現象均由一組滿足伯努利分布的隨機變量所描述,這種數據丟失可以看作是觀測數據發生衰減現象的一種特殊情況.文獻[18]和[19]考慮了帶隨機參數矩陣、相關噪聲和衰減觀測系統的最優和次優估計問題.文獻[20]中研究了帶衰減觀測系統的Kalman 濾波估計問題,同時分析了誤差協方差的有界性和穩態特性.文獻[21?22]對帶衰減觀測的隨機不確定系統,分別設計了多傳感器分布式和序貫融合估值器.上述文獻都是在假設觀測丟失率或衰減率已知的情況下得到的最優估計結果.而沒有考慮觀測丟失率或衰減率未知的自校正估計問題.目前,有關同時考慮帶有未知模型參數和未知衰減觀測率多傳感器系統的自校正融合估計問題的報導甚少.

基于以上文獻分析,本文將對帶有未知模型參數和衰減觀測率的多傳感器隨機系統,應用相關函數和遞推增廣最小二乘算法,分別在線辨識衰減觀測的數學期望、方差和模型參數.應用線性無偏最小方差估計準則,分別提出了分布式模型參數融合辨識器和自校正融合狀態濾波器,并分析算法的收斂性.

1 問題闡述

考慮帶衰減觀測的多傳感器隨機系統

其中狀態x(t)∈Rn,觀測yi(t)∈R,過程噪聲www(t)∈Rr,觀測噪聲vi(t)∈R,下標i表示第i個傳感器,L表示傳感器的個數.{μi(t)}為一組在[0,1]區間取值的用來描述第i個傳感器衰減觀測現象的標量隨機變量.其中E[μi(t)]=αi,Cov[μi(t)]=E為數學期望符號,Cov 為協方差符號.{μi(t)}與其他隨機變量不相關.Φ,Γ,hi是適當維數矩陣.

假設1.www(t)和vi(t)為零均值、方差陣分別為Qw和Qvi的不相關白噪聲.

假設2.初值x(0)不相關于w(t)和vi(t),且E{x(0)}=u0,E [x(0)?u0][x(0)?u0]T=P0.其中T為轉置號.

假設3.Φ為穩定矩陣,(Φ,hi)是完全可觀對,(Φ,Γ)是完全可控對.

假設4.Φ中部分參數未知,{μi(t)}的數學期望αi和方差未知.

問題是基于觀測(yi(1),···,yi(t)),i=1,2,···,L,辨識Φ中未知參數、{μi(t)}的數學期望αi和方差并求Φ中未知參數的融合辨識器和狀態x(t)的自校正融合濾波器

注1.為了閱讀方便,這里對后文中經常遇到一些術語給予解釋.局部濾波器,即基于單個傳感器的觀測數據所獲得的濾波器;最優濾波器,即系統的模型參數以及衰減觀測期望和方差已知情況下,獲得的線性最小方差意義下的濾波器;自校正濾波器,即系統模型含有未知參數,以及衰減觀測期望和方差未知情況下,通過辨識這些未知參數,然后代入最優濾波算法中獲得的濾波器.分布式融合濾波器,即基于各個傳感器的局部濾波器,應用線性無偏最小方差矩陣加權融合估計算法[23]獲得的融合濾波器.

2 分布式最優融合濾波

當系統模型參數、{μi(t)}的數學期望αi和方差已知時,應用線性無偏最小方差意義下的矩陣加權融合估計算法[23]可獲得分布式最優融合濾波器.下面給出實現過程.

由式(2)可得

其中

可計算其方差陣為

狀態二階矩X(t)=E[x(t)xT(t)]可遞推計算如下:

下面引理1 給出了最優局部濾波器算法;引理2給出了互協方差計算公式;引理3給出了分布式最優加權融合濾波算法.

引理1[24].在假設1～3 下,隨機系統(1)和(3)基于每個傳感器的觀測有最優局部濾波器

初值為Pij(0|0)=P0.

引理3[23].基于引理1的各局部濾波器和引理2的任意兩個局部濾波誤差之間的互協方差陣,分布式最優矩陣加權融合濾波器可計算如下:

加權矩陣計算為

其中e=[In,···,In]T,P(t|t)=[Pij(t|t)]nL×nL是以Pij(t|t)為第(i,j)元素的分塊矩陣.融合濾波器的估計誤差方差陣計算為

且有Po(t|t)≤Pi(t|t),i=1,···,L.

3 未知模型參數融合辨識器

上一節我們針對系統模型精確已知時給出了分布式最優融合估計算法.而在實際應用中,系統模型可能含有未知參數.當Φ中含有未知參數時,本節采用RELS算法辨識未知模型參數,并對辨識得到的L組參數估值進行加權融合,獲得模型參數的分布式融合辨識器.下面給出具體實現過程.

由式(1)可得

式中q?1為單位滯后算子,即q?1x(t)=x(t?1).將式(16)代入式(3)得

將式(17)進一步化簡得

其中A(q?1)=det(In?q?1Φ),Bi(q?1)=hiadj(In?q?1Φ)q?1Γ,式中det和adj分別表示矩陣行列式和伴隨矩陣.A(q?1)和Bi(q?1)具有如下多項式形式:

其中ak,k=1,···,na和Bik,k=1,···,nBi是多項式系數.nA,nBi分別為A(q?1)和Bi(q?1)的階次.式(18)等號右側兩個滑動平均過程可以等價為一個穩定的滑動平均過程Di(q?1)εi(t)[24],即

其中εi(t)是零均值且帶有未知噪聲方差σ2εi的白噪聲,Di(q?1)具有如下多項式形式:

其中dik,k=1,···,nDi是多項式Di(q?1)的系數,nDi是Di(q?1)的階次.

將式(18)重寫為

參數ak,k=1,···,na;dik,k=1,···,nDi未知.

基于每個單傳感器的觀測數據,應用RELS算法[24]可得到局部參數估計為

當i=j時,P?ii(t)即為局部參數估計誤差方差陣P?i(t).εi(t)與εj(t)之間的互協方差可近似計算如下:

它可遞推地計算為

令?A=[a1,···,ana]T,則有?Ai=[Ina,0]?i.于是,我們有參數?A基于傳感器i的局部估計和估計誤差協方差陣如下:

當i=j時,P?Aii(t)即為局部參數?A的估計誤差方差陣P?Ai(t).

由式(18)可知,參數?A=[a1,···,ana]T是Φ中未知參數的函數.假設Φ中未知模型參數組成的列向量為Λ[Φ]∈RnΦ,nΦ≤na,且可由?A唯一確定.設Λ[Φ]與?A之間滿足如下關系:

其中f(?A)為關于?A的線性或非線性函數.

1)如果f(?A)是線性函數,我們將式(35)重寫為

式中S,γ為適當維數的系數陣.

那么,基于傳感器i的數據獲得的Φ中未知模型參數在t時刻的局部估計為

2)如果f(?A)是非線性函數,我們將f(?A)在點處進行線性化,有

那么,基于傳感器i的數據獲得的Φ中未知模型參數在t時刻的局部估計為

其中i,j=1,···,L.通過以上算法,基于L個傳感器的數據可獲得Φ中未知參數在時刻t處的局部估值i,j=1,···,L.由于對Φ中未知參數估計了L次,因此我們可應用線性無偏最小方差加權融合估計算法[23]將它們進行融合處理.下面定理1給出了未知參數分布式融合估計的結果.

定理1.基于局部參數估計局部參數估計誤差方差陣以及參數估計誤差互協方差可得在線性無偏最小方差意義下的矩陣加權參數融合辨識器如下:

參數融合加權矩陣計算為

參數融合辨識器的估計誤差方差陣計算為

注2.文獻[5?7,24]在進行模型參數融合辨識時,將各傳感器辨識得到的模型參數采用加權平均方法進行融合處理.該方法不能保證所獲得的參數融合辨識器的估計精度不低于所有的局部參數估計.而本文采用線性無偏最小方差分布式矩陣加權融合算法[23]對各傳感器辨識得到的參數進行融合處理.所獲得的參數融合辨識器的估計精度不低于所有的局部參數估計.因此,本文的矩陣加權融合的參數估計精度高于加權平均融合的參數估計精度.這在后面的仿真研究中也能看到.

4 μμi(t)的數學期望與方差辨識

當各傳感器的衰減觀測率未知時,為了能應用第2節中的算法獲得狀態估計,我們需要辨識描述衰減觀測的隨機變量{μi(t)}的均值和方差.下面我們采用相關函數來辨識它們.

由式(2)可計算零步相關函數Ri(t,0)=E[y2i(t)]為

一步相關函數Ri(t,1)=E[yi(t)yi(t?1)]為

零階和一階相關函數陣Ri(t,r),r=0,1可通過如下采樣相關函數逼近:

最后,由式(47)可求出隨機變量{μi(t)}的數學期望為

將式(49)代入式(46)可得隨機變量{μi(t)}的方差為

5 自校正濾波器的收斂性分析

下面的引理4給出了DESA方法,應用DESA方法可證明自校正融合狀態濾波器的收斂性.

引理4[24].考慮動態誤差系統

其中t≥0,輸出δ(t)∈Rn,輸入u(t)∈Rn,并且矩陣T(t)∈Rn×n是一致漸近穩定的.若u(t)是有界的,則δ(t)是有界的.當t→∞時,若u(t)→0,則δ(t)→0.

定理2.在假設1～4下,自校正局部濾波器收斂于最優局部濾波器即

證明.由式(7)可得自校正濾波器為

6 仿真例子

在仿真中假設未知模型參數a11=0.6,a12=?0.2,μi(t),i=1,2,3,的概率分布分別為P{μ1(t)=0.3}=0.3,P{μ1(t)=0.5}=0.2,P{μ1(t)=1}=0.5,P{μ2(t)=0.4}=0.4,P{μ2(t)=0.7}=0.3,P{μ2(t)=0.9}=0.3,P{μ3(t)=0.1}=0.2,P{μ3(t)=0.6}=0.6,P{μ3(t)=0.9}=0.2.我們可以計算μi(t),i=1,2,3的數學期望和方差分別為

為了與文獻[5?7,24]中的參數加權平均融合算法相比較.如下給出了模型參數a11和a12的局部估計誤差方差、加權平均估計誤差方差以及分布式加權融合估計誤差方差算法.

a)局部參數估計和分布式加權融合估計:

根據前面的第3節,可知未知模型參數與?A=[a1,a2]T有如下線性關系

b)參數的加權平均融合估計:

Λ[Φ]的加權平均估值為

圖1給出了應用部分3參數融合辨識算法獲得的未知模型參數融合辨識結果.由圖可知隨著時間的增長,辨識結果收斂于真值.

圖2和圖3分別給出了未知模型參數a11和a12的局部估計誤差方差、加權平均估計誤差方差和分布式融合估計誤差方差的比較結果.由圖可知分布式加權融合辨識誤差方差小于各局部辨識誤差方差和加權平均辨識誤差方差.圖中Si,i=1,2,3表示第i個傳感器的局部辨識的誤差方差,DWF表示分布式加權融合辨識的誤差方差,WAEV表示加權平均融合辨識的誤差方差.

圖1 Φ中未知參數估計Fig.1 Identif ication of parameters of Φ

圖2 a11估計誤差方差Fig.2 Estimation error variance of a11

圖3 a12估計誤差方差Fig.3 Estimation error variance of a12

圖4和圖5給出了應用部分4中辨識算法分別對不同傳感器的隨機變量{μi(t)},i=1,2,3的數學期望和方差進行辨識的結果.曲線表示辨識結果,直線表示相應的真值.由圖可知隨著時間的增長,辨識結果收斂于真值.圖6和圖7 給出了自校正融合狀態濾波器,可見自校正融合估計具有有效性.

圖4 μi(t)的數學期望辨識Fig.4 Identif ication of Mathematical expectation of μi(t)

圖5 μi(t)的方差辨識Fig.5 Identif ication of variance of μi(t)

圖6 自校正狀態分量1融合濾波器Fig.6 The first state component of self-tuning fusion filter

圖8和圖9給出了局部和融合的最優與自校正狀態估計誤差方差圖.由圖可見,各局部自校正誤差方差收斂于局部最優誤差方差,自校正融合誤差方差收斂于最優融合誤差方差,即自校正濾波器具有漸近最優性.而且自校正融合濾波器比各局部自校正濾波器具有更高精度.圖中Si,i=1,2,3表示第i個傳感器的局部自校正估計誤差方差,SF表示自校正融合估計誤差方差,直線表示相應的最優方差.

圖7 自校正狀態分量2融合濾波器Fig.7 The second state component of self-tuning fusion filter

圖8 局部、融合最優與自校正狀態分量1的濾波誤差方差Fig.8 Variance of the first state component of local,fusion optimal and self-tuning flters

目前參考文獻[5?7,24]中的自校正濾波算法大都沒有考慮傳感器的衰減觀測現象.圖10給出了傳感器存在衰減觀測而沒有給予考慮的自校正融合濾波器與本文考慮衰減觀測的自校正融合濾波器在30次蒙特卡洛實驗下均方誤差跡的比較.可見,在傳感器存在衰減觀測時,本文考慮衰減觀測的自校正融合濾波器具有更高的精度.

7 結論

對帶未知模型參數和衰減觀測率的多傳感器隨機系統,應用RELS算法和相關函數分別對未知模型參數、描述衰減觀測現象的隨機變量的數學期望和方差進行在線實時辨識,提出了線性無偏最小方差矩陣加權融合模型參數辨識器.與已有文獻的加權平均融合模型參數辨識算法相比,本文所提出的線性無偏最小方差矩陣加權融合參數辨識算法具有更高的估計精度.將實時辨識的模型參數、數學期望和方差代入到最優局部和融合狀態估計算法中獲得了相應的自校正狀態濾波算法.利用DESA方法證明了自校正狀態濾波器收斂于最優狀態濾波器.與現有文獻的帶未知模型參數的自校正估計算法相比,本文還考慮了傳感器的衰減觀測現象,并給出了采用相關函數辨識衰減觀測的數學期望和方差的算法.

圖9 局部、融合最優與自校正狀態分量2的濾波誤差方差Fig.9 Variance of the second state component of local,fusion optimal and self-tuning filters

圖10 考慮衰減觀測與沒有考慮衰減觀測自校正融合濾波器的均方誤差的跡Fig.10 Trace of mean square error of the self-tuning fusion flters with/without considering fading measurements