剪彎梁宏細(xì)觀多尺度非線性有限元分析

胡 彪，王憲杰,2,3，王思文，李承玥，王兆毅，翁振江

(1.云南大學(xué)建筑與規(guī)劃學(xué)院，昆明 650500；2.浙江大學(xué)建筑與工程學(xué)院，杭州 310058；3.浙江東南網(wǎng)架集團(tuán)有限公司，杭州 311209)

0 引 言

混凝土的多尺度研究，有利于充分了解其損傷機(jī)理[1]、非線性行為[2]、動(dòng)力響應(yīng)[3]、可靠度[4]等?；炷梁暧^非線性力學(xué)行為及尺寸效應(yīng)源于其細(xì)觀非均質(zhì)性[5]，其內(nèi)部粗骨料、細(xì)骨料、水泥等材料及孔隙裂縫的不均勻分布導(dǎo)致了這種細(xì)觀的非均質(zhì)性。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者從多個(gè)角度研究了混凝土細(xì)微觀結(jié)構(gòu)變化對宏觀構(gòu)件性能機(jī)理的影響。金瀏等[6-8]從細(xì)觀角度出發(fā)，提出了反映尺寸效應(yīng)的混凝土力學(xué)性質(zhì)的修正公式，并進(jìn)行了數(shù)值模擬和論證。Escoda等[9]研究了骨料形狀對混凝土有效剪切模量和有效體積模量的影響，指出當(dāng)骨料力學(xué)性能與周圍的水泥砂漿相差較大時(shí)，骨料形狀對局部應(yīng)力場有較大的影響。許文祥等[10]以橢圓形骨料為依托，分析了骨料的最大粒徑和面積占比對混凝土邊界效應(yīng)的作用。以上相關(guān)研究一致認(rèn)為，骨料粒徑、形狀及其分布對宏觀力學(xué)性能起著至關(guān)重要的作用。王飛陽等[11]采用一致多尺度方法對混凝土結(jié)構(gòu)模擬得到了帶裂縫服役三點(diǎn)彎梁在不同裂縫深度條件下的彎矩-撓度曲線。Bin等[12]通過對混凝土非關(guān)鍵區(qū)、關(guān)鍵區(qū)、損傷區(qū)采用不同單元尺寸和理論建立了三級模型，模擬了在地震作用下細(xì)觀損傷到結(jié)構(gòu)破壞的跨尺度過程。Huang等[13]基于原位X射線得到了混凝土試樣的電子計(jì)算機(jī)斷層掃描(CT)圖像，將二維模型自下向上疊加生成三維模型，并模擬試件拉伸斷裂行為。然而，以上混凝土損傷研究主要集中于斷裂現(xiàn)象與宏觀力學(xué)行為關(guān)系的探究，并未考慮細(xì)觀骨料級配中最大粒徑的變化對宏觀構(gòu)件裂縫展開的影響。

為揭示混凝土尺度相關(guān)性與材料非線性損傷關(guān)系，本文通過生成多組符合Fuller級配的等面積占比細(xì)觀骨料模型，選用不同的最大粒徑，依據(jù)等效化理論求出混凝土細(xì)觀單元等效化參數(shù)，并通過均勻化方法建立混凝土宏細(xì)觀跨尺度關(guān)聯(lián)。在此基礎(chǔ)上建立混凝土宏觀梁構(gòu)件，模擬其在受力作用下的裂縫開展及損傷情況，使得混凝土細(xì)觀層面上的變化在宏觀力學(xué)性能上得到體現(xiàn)。

1 細(xì)觀骨料級配生成

1.1 細(xì)觀骨料Fuller級配

為使生成的混凝土模型具有較好的密實(shí)度和宏觀強(qiáng)度，選用Fuller級配曲線確定其骨料粒徑[5]?？紤]實(shí)際工程中使用骨料的最小粒徑，潘子超等[14]將Fuller級配下骨料質(zhì)量累積分布函數(shù)表達(dá)式改寫為：

P3M(D)=Dn-DnminDnmax-Dnmin

(1)

式中：P3M(D)為小于指定粒徑Di的骨料占所有骨料的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；D為選用的目標(biāo)骨料粒徑；Dmax為骨料最大粒徑；Dmin為骨料最小粒徑；n為與顆粒形狀特性相關(guān)的指數(shù)，常取0.45～0.7。

基于式(1)推導(dǎo)得到骨料粒徑公式：

D=[P3M(D)·(Dnmax-Dnmin)+Dnmin]1/n

(2)

顯然當(dāng)已知骨料最大、最小粒徑時(shí)，通過唯一確定隨機(jī)變量P3M(D)即可求得符合Fuller級配的骨料直徑D。

1.2 多邊形骨料生成

已有科研成果中部分二維細(xì)觀模型骨料為橢圓形或者圓形，相關(guān)模型比較貼合卵石骨料的截面形狀，但實(shí)際工程中碎石骨料的使用更為普遍。因此本文擬生成邊數(shù)為4～12的凸多邊形碎石骨料模型[15]。建模過程如圖1所示，基本步驟為：

(1)在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)生成直徑符合式(2)的圓形，并確定圓心坐標(biāo)。

(2)隨機(jī)生成4～12的一個(gè)數(shù)字記為m，以圓心為極點(diǎn)，橫坐標(biāo)方向?yàn)闃O軸，隨機(jī)生成m個(gè)值為0°～360°的角度，按從小到大順序排列并記為θ1，θ2,…,θm，分別計(jì)算：

xi=Dcosθi2

(3)

圖1 多邊形骨料模型生成過程Fig.1 Generation process of polygon aggregate model

(4)

式中：i為1～m之間的整數(shù)；xi、yi分別為多邊形上第i個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)值和縱坐標(biāo)值，得到m組坐標(biāo)(xi,yi)，并將其依次連接，得到符合預(yù)期的多邊形。

(3)對多邊形內(nèi)部上色，計(jì)算多邊形面積。

(4)重復(fù)步驟(1)～(3)，直至生成的多邊形總面積達(dá)到限值要求，并記錄多邊形總數(shù)。

(5)將多邊形按面積從大到小排列，依次放置于目標(biāo)區(qū)域內(nèi)，通過識別放置位置像素的RGB(紅綠藍(lán))值判斷多邊形是否重合，例如白色RGB值為(255，255，255)，黑色RGB值為(0，0，0)，比較RGB值，即可判斷此處材料情況。

(6)導(dǎo)出生成的多邊形模型。

2 細(xì)觀-宏觀跨尺度關(guān)聯(lián)

2.1 等效化思想

考慮骨料在單胞內(nèi)隨機(jī)分布，為準(zhǔn)確反映單胞內(nèi)各個(gè)位置的性質(zhì)，將單胞內(nèi)部進(jìn)一步劃分為多個(gè)單元，在確保計(jì)算效率的條件下，盡可能劃分更多的單元以提高計(jì)算精度[5]。同樣采用像素色彩RGB識別方法，計(jì)算單元中骨料和砂漿的面積占比，求得每個(gè)單元的平均彈性模量和泊松比，并在有限元模型對應(yīng)位置賦予相應(yīng)的材料屬性，再運(yùn)用均勻化理論進(jìn)行求解。模型等效化過程如圖2所示。

圖2 多邊形骨料模型等效化過程Fig.2 Equivalent process of polygonal aggregate model

2.2 均勻化理論

均勻化理論以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)為基礎(chǔ)建立了從材料細(xì)觀組成特性到宏觀性質(zhì)的聯(lián)系[16-18]，它假定材料的細(xì)觀單胞結(jié)構(gòu)具有空間周期性，利用單胞具備簡化復(fù)合材料等效性能分析的能力[19]，將宏觀尺度上一點(diǎn)的位移、應(yīng)力等物理量展開為與細(xì)觀結(jié)構(gòu)尺度相關(guān)的攝動(dòng)量的漸近級數(shù)[20]。在二維彈性問題中，進(jìn)一步引入單胞的靜力平衡方程、幾何方程和物理方程，并結(jié)合應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件，以此求得宏觀結(jié)構(gòu)的等效彈性參數(shù)?；诰鶆蚧碚搶ι傻幕炷炼S細(xì)觀模型進(jìn)行分析：首先由骨料最大粒徑確定單胞內(nèi)劃分小單元的最大尺寸[20]；其次計(jì)算每個(gè)小單元內(nèi)的等效化力學(xué)參數(shù)；再次通過有限元軟件分別求解單胞在單位橫向、縱向、剪切應(yīng)變及對應(yīng)邊界條件下的位移場；最后帶入式(5)得到該模型的等效彈性模量矩陣，由此構(gòu)建跨尺度關(guān)聯(lián)。

EH=1|Y|∫Y(E-ETBχ)dY

(5)

式中：EH、E、ET分別為等效彈性模量矩陣、彈性模量矩陣和彈性模量矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣；Y為周期；B為節(jié)點(diǎn)位移向量至應(yīng)變向量的變換矩陣；χ為位移場。

3 宏觀混凝土損傷分析

3.1 混凝土本構(gòu)關(guān)系

在確定混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)規(guī)律和實(shí)現(xiàn)跨尺度關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，建立相應(yīng)的宏觀模型有助于理解其力學(xué)行為。為使模擬貼近實(shí)際工程中的表現(xiàn)，將細(xì)觀模型所推導(dǎo)的等效力學(xué)參數(shù)帶入混凝土受壓、受拉力學(xué)性能統(tǒng)一計(jì)算方法[21-22]確定本構(gòu)關(guān)系。相關(guān)公式及計(jì)算步驟為：

近似取受拉彈性模量(Et)與受壓彈性模量(Ec)相等，并反推導(dǎo)混凝土立方體抗壓強(qiáng)度可得：

fcu=(Ec9 500)3=(Et9 500)3

(6)

單軸抗拉、抗壓強(qiáng)度統(tǒng)一計(jì)算式：

ft=0.24f2/3cu

(7)

fc=0.76fcu

(8)

單軸抗拉、抗壓峰值應(yīng)變統(tǒng)一計(jì)算式：

εtp=67f1/2t×10-6

(9)

εcp=520f1/3c×10-6

(10)

受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線公式為：

yc=Acxc-x2c1+(Ac-2)xc, (xc≤1)

(11)

yc=xcαc(xc-1)2+xc, (xc>1)

(12)

受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線公式為：

yt=Atxt-x2t1+(At-2)xt， (xt≤1)

(13)

yt=xtαt(xt-1)1.7+xt, (xt>1)

(14)

式中：xc、yc、Ac、αc分別為受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、上升段參數(shù)、下降段參數(shù)，分別滿足xc=ε/εcp、yc=σc/fc、Ac=9.1f-4/9cu、αc=2.5×10-5f3cu；xt、yt、At、αt分別為受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、上升段參數(shù)、下降段參數(shù)，分別滿足xt=ε/εtp、yt=σt/ft、At=Etεtp/ft、αt=1+3.4f2cu×10-4；ft、fc分別為混凝土單軸抗拉、抗壓強(qiáng)度；εtp、εcp分別為混凝土單軸受拉、受壓峰值應(yīng)變；fcu為混凝土立方體抗壓強(qiáng)度。

3.2 損傷因子

混凝土構(gòu)件在服役過程中產(chǎn)生的裂縫會導(dǎo)致其性能的改變，為描述卸載時(shí)材料的剛度退化現(xiàn)象，將損傷因子帶入混凝土本構(gòu)關(guān)系[23]，用于構(gòu)件進(jìn)入非線性階段后的裂縫展開分析。

未受損材料彈性余能Wε0：

Wε0=σ22E0

(15)

受損材料等效彈性余能Wεd：

Wεd=22Ed

(16)

=σ1-d

(17)

式中:E0為材料未受損彈性模量；Ed為材料受損后彈性模量；d為損傷因子。

根據(jù)Sidoroff[24]的能量等價(jià)原理，因應(yīng)力作用在受損材料和未受損材料上所產(chǎn)生的彈性余能具有相同的表達(dá)形式，所以可將應(yīng)力替換為有效應(yīng)力，或是將彈性模量替換為損傷時(shí)的彈性模量，即通過式(15)～(17)可求得材料應(yīng)力(σ)應(yīng)變(ε)與損傷因子(d)的關(guān)系式：

d=1-σεE0

(18)

將式(11)～(14)所求得混凝土材料在受拉、受壓不同階段下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系帶入式(18)中即可計(jì)算相應(yīng)情況的損傷因子。

大多數(shù)民辦高校教工黨支部的組織生活仍然停留于傳達(dá)上級的有關(guān)精神內(nèi)容和完成上級的有關(guān)布置任務(wù)，組織生活活動(dòng)方法陳舊或形式化，內(nèi)容單一，缺乏創(chuàng)新意識，在民主生活會上的批評和自我批評時(shí)常流于形式而難出實(shí)際效果，這些都在一定程度上削弱了教工黨支部的政治影響力。

4 算 例

4.1 細(xì)觀骨料模型

本文建立了4組不同級配的混凝土二維細(xì)觀模型，單胞尺寸均為300 mm×300 mm，每組均生成20個(gè)樣本，骨料面積占比為40.00%～40.50%，混凝土中骨料和砂漿的材料參數(shù)按文獻(xiàn)[25]選用，如表1所示。選取每組中較有代表性的細(xì)觀模型如圖3所示，組別編號1～4分別表示骨料級配為5～30 mm、5～40 mm、5～50 mm、5～60 mm。

表1 混凝土二相材料參數(shù)Table 1 Two-phase material parameters of concrete

圖3 1～4組骨料級配細(xì)觀模型Fig.3 No.1 to No.4 of aggregate grading mesoscopic model

處理1組細(xì)觀模型并求解損傷因子的相關(guān)步驟為：

(1)對每個(gè)模型進(jìn)行等效化處理，均劃分成2 500個(gè)6 mm×6 mm的小單元；

(2)基于均勻化理論求得每個(gè)模型樣本的等效彈性模量，并取平均值作為該組的彈性模量；

(3)將彈性模量帶入式(6)計(jì)算混凝土立方體抗壓強(qiáng)度；

(4)將混凝土立方體抗壓強(qiáng)度帶入式(7)～(10)求得混凝土單軸抗拉、抗壓強(qiáng)度和峰值應(yīng)變；

(5)取材料的四分之一峰值應(yīng)變作為其進(jìn)入塑性階段后的應(yīng)變增量，由式(11)～(14)求解相應(yīng)的應(yīng)力;

(6)將多對應(yīng)變應(yīng)力帶入式(18)得到對應(yīng)的損傷因子。

經(jīng)上述步驟計(jì)算得到各組的數(shù)據(jù)，第一組結(jié)果如表2所示(因篇幅有限，取前10個(gè)數(shù)據(jù))。各組抗壓強(qiáng)度與受壓損傷因子如圖4所示，抗拉強(qiáng)度與受拉損傷因子關(guān)系如圖5所示(選取具有代表性的10個(gè)點(diǎn))。不難看出在混凝土進(jìn)入塑性階段之前，骨料最大粒徑越小，抗壓、抗拉強(qiáng)度越大；進(jìn)入塑性階段后，若達(dá)到相同的損傷因子，骨料最大粒徑越小，所能承受的拉應(yīng)力、壓應(yīng)力越大，即抗拉、抗壓能力越強(qiáng)。觀察不同骨料級配的差值變化可知，組別間抗拉強(qiáng)度的差值會隨著損傷因子的增大而逐漸減小，抗拉強(qiáng)度降低至同一水平值；而組別間抗壓強(qiáng)度的差值隨損傷因子的增大，在達(dá)到極限抗壓強(qiáng)度之前逐漸增大，在達(dá)到極限抗壓強(qiáng)度之后，逐漸減小，抗壓強(qiáng)度降低至同一水平值。

表2 混凝土計(jì)算參數(shù)Table 2 Concrete calculation parameters

圖4 抗壓強(qiáng)度-受壓損傷因子曲線Fig.4 Curves of compressive strength and compression damage factor

圖5 抗拉強(qiáng)度-受拉損傷因子曲線Fig.5 Curves of tensile strength and strain damage factor

4.2 宏觀剪彎梁模型

圖6 剪彎梁計(jì)算簡圖(單位：mm)Fig.6 Calculation diagram of shear-flexural beam (unit: mm)

從圖7中可以看出，每根梁中同時(shí)存在由彎矩引起的豎向裂縫和剪力引起的斜向裂縫，因梁在集中荷載作用點(diǎn)附近同時(shí)受到剪力和較大彎矩的影響，擴(kuò)展最深裂縫均位于此處的彎剪斜裂縫，且裂縫整體分布較為對稱，符合在兩點(diǎn)集中荷載作用下，剪彎梁上剪力及彎矩的分布規(guī)律。

4根梁中，1號梁兩側(cè)斜向裂縫和跨中豎向裂縫發(fā)展最為明顯，且裂縫分布范圍最廣，較長裂縫(超過截面高度40%的裂縫，下同)條數(shù)為17，但最大塑性應(yīng)變值最小，為8.333×10-3，出現(xiàn)在集中荷載附近豎向裂縫的底部，呈現(xiàn)出正截面適筋破壞特征。2～4號梁中裂縫分布范圍無明顯差別，兩側(cè)斜向裂縫的延伸依次增強(qiáng)，較長裂縫條數(shù)依次為16、14、14，最大塑性應(yīng)變值均出現(xiàn)在彎剪斜裂縫的中部，分別為1.114×10-2、1.147×10-2、1.222×10-2，呈現(xiàn)出斜截面剪壓破壞特征，較1號梁脆性更為明顯。

圖7 剪彎梁最大塑性應(yīng)變云圖Fig.7 Maximum plastic strain diagram of shear-flexural beam

進(jìn)一步分析模擬結(jié)果可知，在一定范圍內(nèi)選用的骨料最大粒徑越大，混凝土梁構(gòu)件出現(xiàn)較長裂縫條數(shù)越少，梁跨中部裂縫整體擴(kuò)展深度越淺，即消耗應(yīng)變能的能力越弱，因而導(dǎo)致最大塑性應(yīng)變值越大。

5 結(jié) 論

(1)混凝土二維隨機(jī)多邊形骨料細(xì)觀模型滿足骨料面積占比相同且骨料級配均符合Fuller級配的條件時(shí)，在本文模擬尺寸范圍內(nèi)，混凝土骨料最大粒徑越小，抗拉、抗壓強(qiáng)度越大。不同骨料級配間抗拉強(qiáng)度的差值在進(jìn)入塑性階段后逐漸減小，而抗壓強(qiáng)度的差值在達(dá)到極限抗壓強(qiáng)度之前逐漸增大，在達(dá)到極限抗壓強(qiáng)度之后，逐漸減小。

(2)宏觀混凝土梁相同幾何尺寸、鋼筋配比和加載下，在本文模擬尺寸范圍內(nèi)，選用的混凝土骨料最大粒徑越小，較長裂縫條數(shù)越多，最大塑性應(yīng)變值越小，抗彎能力越強(qiáng)。

(3)混凝土梁構(gòu)件選用的骨料級配最大粒徑不同，有可能導(dǎo)致延性破壞向脆性破壞轉(zhuǎn)變，即造成破壞模式發(fā)生根本性的變化，因此在施工過程中，嚴(yán)格控制骨料級配尤為重要。