基于交比不變性的投影儀標定

楊建柏，趙 建 ，孫 強

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049）

1 引言

數字光柵投影三維測量技術作為主要的非接觸測量方法，因具有精度高、分辨率高、成本低、速度快等優點，在工業檢測、文物重建、逆向工程、輔助醫療等領域得到了廣泛應用[1-4]。光柵投影三維測量技術是將正弦光柵圖案由投影儀投射到場景中并采集相應的變形光柵圖案；然后通過算法處理獲取的調制光柵圖像，提取相位分布；進而用已經標定好的幾何關系在三維空間中重建被測物表面[5-7]。

在光柵投影三維測量過程中，系統的參數標定精度是保證測量精度的關鍵。相機的標定技術已經發展的很成熟[8?11]，而投影儀不能像相機那樣可以找到像素點與世界坐標的準確關系，因此一直是研究的重點。為解決這一問題，研究人員提出了很多有效的方法，包括基于坐標映射的投影儀標定方法[12?15]和基于坐標變換的投影儀標定方法[16?18]。與基于坐標映射的標定方法相比較，基于坐標變換的標定方法因不需投射大量的圖案，操作簡單，易于計算，應用十分廣泛?；谧鴺俗儞Q的投影儀標定方法是將生成的帶有特征點的圖案投射到標定板上，采集到同時帶有標定板特征和投射特征點的圖像，然后提取投射特征點在圖像中的坐標，再使用已標定的相機參數求得投射特征點在標定板上的位置。

然而傳統的基于坐標變換的投影儀標定方法存在兩個主要問題：投射到標定板上的圖案會與已有的標定板圖案發生干擾，影響投射特征點與板上特征點的提??；使用已標定好的相機參數計算投影儀的像素變換，產生了相機參數的誤差傳遞，限制了標定精度。為了解決圖案干擾問題，Audet[16]提出了使用二次投影的方式將特征點投射到標定板空白位置，這樣便可同時采集標定板上的特征點圖案和投射特征點圖案。為了防止相機參數的誤差傳遞，Anwar 等[17]提出了一種固定相機和標定板，移動投影儀進行標定的方法，從而避免了相機的標定誤差轉遞，但是該方法無法計算系統的整體參數。高治華等[18]使用全局單應性矩陣進行坐標變換，避免了相機參數的誤差傳遞，但全局單應性矩陣不能準確反映投影平面與標定板平面的變換關系，需要對誤差使用四次函數進行擬合并補償，計算復雜，操作不便。

為了解決上述問題，本文提出了一種新的投影儀標定方法：采用二次投影技術解決圖案干擾問題；對投射特征點及周圍標定板特征點進行建模，使用交比不變性計算投射特征點在標定板的位置。這種坐標變換方法未使用相機參數，避免了誤差傳遞，有較高的精度。

2 投影儀模型

投影儀可以看作是相機的逆過程，因此，投影儀同樣也可以用針孔模型以及徑向和切向鏡頭畸變來描述[12]。如圖1 所示，為了描述標定板上的特征點與相機成像平面上的像素點以及投影儀平面像素點之間的對應關系，設置3 個坐標系，包括世界坐標系OW?XWYWZW、相機坐標系Oc?XcYcZc、投影儀坐標系Op?XpYpZp。

圖1 測量系統簡化示意圖Fig.1 Schematic diagram of simplified measurement system

圖1 中，P(XW,YW,ZW)表示標定板上特征點的三維坐標，Pp(up,vp)表示投影儀平面投射到該特征點的對應像素點坐標，則Pp(up,vp)與P(XW,YW,ZW)之間的關系為：

其中，sp為尺度因子，Ap為投影儀的內參矩陣，αp=fp/dup，βp=fp/dvp，fp為投影儀鏡頭的焦距，dup和dvp是兩個坐標軸上的像素尺寸，(up0,vp0)為投影儀的主點坐標，γp為兩個坐標軸的傾斜程度。Rp和Tp為投影儀的旋轉矩陣和平移矩陣。如果將世界坐標系設置在標定板的表面，即Z=0，則上式可簡化為：

投影儀的鏡頭也存在畸變，需要對其進行校正。存在畸變的情況下，理想的投影儀平面像素坐標(up,vp)和畸變后像素坐標(upd,vpd)之間的關系為：

3 投影儀標定

3.1 二次投影技術

在二次投影方法中，首先需要找到相機和標定板之間的單應性，

也可以寫成，

圖2 基于二次投影的防圖案干擾方法Fig.2 Method for preventing pattern interference based on secondary projection

相對于其他防圖案干擾方法，這種方法操作簡單，空間利用率高，一張圖即可包含兩種模式的特征點，對于相應特征點的提取更加有效、準確，應用十分廣泛。

3.2 交比不變性

如果忽略相機畸變，則相機成像即為標定板平面的射影變換，可以利用射影變換的性質來計算成像平面與標定板平面的變換關系。其中，交比是射影變換中最重要的不變量之一[19]。如果平面中A，B，C，D為共線的4 個點，則它們的交比可以寫成：

射影變換示意圖如圖3 所示。

圖3 射影變換示意圖Fig.3 Schematic diagram of projective transformation

如圖3 所示，由射影變換將直線L1上共線的4 個點a，b，c，d映射到L2上的4 個共線點A，B，C，D，則有：

在標定板平面和成像平面分別找到滿足上式對應關系的共線點。使用投影儀標定算法時，最重要的便是找到標定板上特征點與投影儀圖像上相應點的對應關系。在標定過程中，投影儀投射出的特征點坐標是已知的，因此如何找到特征點在標定板上的對應位置是投影儀標定能否準確的關鍵。在采集到的有投射特征點的標定板圖像中，通過圖像處理可以獲得較高精度的標定板特征點的像素位置和投射特征點的像素位置。而在標定板平面坐標系中，特征點的位置已知，這樣只要找到其中共線點的對應關系，即可通過射影幾何中的交比不變性求得在標定板平面上投射特征點的位置，進而完成投影儀的標定。

3.3 基于交比不變性的投影儀標定方法

利用交比不變性求取投射特征點在標定板坐標系中的坐標值，首先需要構造出4 個共線點，其中包含所要求取的位置[14]。如圖4 所示，AW,BW,CW,DW為標定板上相鄰的4 個已知位置的標志點，EW為直線AWCW與BWDW的交點，PW為投影儀投射的特征點在標定板上的位置。使用二次投影技術時，投影特征點的位置范圍基本可以確定。假設PW點位置如圖4 所示，BWPW與直線AWCW交于點FW，AWPW與直線BWDW交于點GW。

圖4 交比構成示意圖Fig.4 Schematic diagram of cross-ratio construction

AW,BW,CW,DW通過射影變換在圖像平面的對應點為AC,BC,CC,DC，如圖4 所示。由于鏡頭存在畸變，所有連線都會有一定的失真，但是，由于AW,BW,CW,DW包圍的區域較小，因此可以近似認為該區域與AC,BC,CC,DC所包圍的區域為一個平面，形成沒有畸變影響的射影變換。點EC，FC，GC，PC對應圖中的EW，FW，GW，PW。這樣，共線的兩組點AW、EW、FW、CW和BW、EW、GW、DW的交比不變性可表示為：

設向量a=AW，b=EW?AW，c=BW，d=EW?BW，則

根據采集到的圖像提取的特征點坐標可以求得交比(AC,EC;FC,CC)及(BC,EC;GC,DC)，也就是交比(AW,EW;FW,CW)及(BW,EW;GW,DW)的值，不妨分別設為k和k′，則可求得

由此可求得點FW，GW，即可得到直線AWGW和BWFW，它們的交點即為所要求的投射到標定板上的位置PW。這樣就可以求得投影儀特征點與標定板位置之間的對應關系。再利用張正友提出的相機標定方法，即可對投影儀進行精確標定。投射特征點在標定板位置的計算是通過對相機采集圖像進行特征點提取，計算出來的，因此與相機標定結果無關，不會受它的誤差干擾。與全局單應性矩陣方法相比，構造交比的區域更符合射影變換的性質，因此精度更高，且整體實驗不用復雜的操作即可完成，更簡單準確。

4 實驗過程及結果

根據上述的基于交比不變性的投影儀標定方法，標定過程可歸納為以下幾個步驟：

（1）將投影儀和相機固定在實驗臺上，標定板放置在相機視野內，將帶有已知位置十字標記的圖案輸入到投影儀中，并投射到標定板上，保證4 個十字圖案均在標定板上呈現且十字中心盡量沒有遮擋，用相機采集圖像并保存。

（4）將新的投影圖案輸入到投影儀，投射到標定板上，并用相機采集圖像并保存。

（5）步驟（4）采集的二次投影圖像中，投射標志點為白色圓點，將圖像進行灰度翻轉，使用OPENCV 中用于相機標定的函數findCirclesGrid提取出這些投射標志點在圖像中的中心像素坐標，并找到其對應的鄰近的標定板標志點的坐標，在標定板坐標系中找到這些標志點的位置，使用3.3 節所提出的交比不變性法計算出投射標志點在標定板坐標系中的位置。

（6）變換標定板的姿態，并重復（1）到（5）的步驟，至少需要3 種不同的姿態。

（7）用張正友相機標定方法[8]估計投影儀的內部參數和畸變系數。

為驗證本文提出方法的正確性，搭建了實驗系統，根據上述步驟對提出方法的有效性進行驗證。圖5 為搭建的實驗系統圖，由相機、投影儀及標定板構成。本實驗所用相機為大恒水星系列MER-131-210，分辨率為1 280×1 024；投影儀為DLP6500，分辨率為1 920×1 080；標定板為白色底板，黑色圓形標志點作為特征點，這樣在空白位置投射標志點，更加清晰，易于提取。投射的標志點為圓形，這樣從圖像中提取的標志點中心更加準確。

圖5 實驗系統Fig.5 Experimental system

根據上述步驟，在每個姿態下采集一幅帶有投射十字標志的標定板圖像，如圖6 所示，本實驗將標定板放置了9 個不同的姿態，選取其中3 個姿態來示意說明。

圖6 第一次投影并采集的圖像：（a）姿態1，（b）姿態2，（c）姿態3Fig.6 The acquired images for the first projection:(a)gesture 1,(b)gesture 2,(c)gesture 3

圖7 投射位置示意圖Fig.7 Schematic diagram of the projection position

投射位置示意圖和生成的二次投影圖像如圖8 和圖9 所示。第一次投影處理完畢，將得到的二次投影圖案輸入到投影儀中，投射到標定板并采集，如圖10 所示。從二次采集的圖像中提取出投射標志點的像素坐標，即可根據3.3 小節中的方法計算出在標定板坐標系下，投射標志點的坐標，完成標定。

圖8 各姿態投射位置圖：（a）姿態1，（b）姿態2，（c）姿態3Fig.8 Projection positions of each gesture:(a)gesture 1,(b)gesture 2,(c)gesture 3

圖9 各姿態生成投射標志點圖案：（a）姿態1，（b）姿態2，（c）姿態3Fig.9 The generated projection point patterns of each gesture:(a)gesture 1,(b)gesture 2,(c)gesture 3

圖10 二次投影后采集的標定板圖案：（a）姿態1，（b）姿態2，（c）姿態3Fig.10 Calibration plate patterns acquired after the second projection:(a)gesture 1,(b)gesture 2,(c)gesture 3

根據上述實驗步驟，獲得了較精確的標定結果。表1 和表2 列出了本方法和需要相機參數標定法以及全局單應性標定法的實驗結果。

表1 標定的投影儀內部參數Tab.1 Calibrated intrinsic parameters of the projector

表2 標定的投影儀鏡頭畸變系數Tab.2 Calibrated lens distortion coefficients of the projector

為了驗證該方法的有效性，對3 種方法的反投影誤差進行了評估，得到的反投影誤差如圖11 所示。表3 列出了反投影誤差在各軸上的標準差（STD）和最大值（MAX）。

從圖11 和表3 可以明顯看出，需要相機參數輔助計算的標定方法，因為引入了相機的標定誤差，因此反投影誤差最大，其標準差是（0.227 5,0.226 4）像素，誤差的最大值是1.222 像素。而使用全局單應性變換的標定方法，避免了相機標定誤差的傳遞，反投影誤差有所降低，其標準差是（0.139 7,0.099 7）像素，誤差的最大值是0.561 7 像素。本文提出的基于交比不變性的投影儀標定方法，采用二次投影技術解決了圖案干擾問題，利用交比不變性求取投射在標定板上的特征點位置，避免了相機標定誤差的引入，而且構造交比的區域更符合射影變換的性質，反投影誤差最低，其標準差是（0.064 5,0.060 1）像素，其最大值是0.242 1 像素。

圖11 幾種方法的反投影誤差結果。（a）需要相機參數法；（b）全局單應性變換法；（c）本文方法Fig.11 Reprojection error distribution of different methods.(a)Method requiring camera parameters;(b)the global homography transformation method;(c)the method proposed in this paper

表3 幾種方法的反投影誤差Tab.3 Reprojection errors of different methods(pixel)

采用本方法可以同時直接標定相機，獲得整個三維測量系統的參數。相機內部參數標定結果如表4 所示。

表4 相機內部參數和畸變系數標定結果Tab.4 Calibration results of camera intrinsic parameters and distortion coefficients

相機的反投影誤差的標準差在x，y兩坐標軸分別為0.065 8 和0.053 9 像素，與投影儀的反投影誤差的標準差在同一個量級。誤差示意圖如圖12 所示。

同時標定相機和投影儀之后，以投影儀作為參考，可得到兩設備的相對外部參數矩陣，如式（20）和式（21）所示。

得到外部參數后，結合內部參數即可獲得整體測量系統的參數，從而完成系統標定。根據標定的內外參數，以投影儀作為世界坐標系原點，標定后的三維測量系統示意圖如圖13（彩圖見期刊電子版）所示。其中左側為投影儀，右側為相機，不同顏色的特征點代表不同的標定板姿態。從圖中可以看出相機和投影儀的空間相對位置關系，以及標定過程中每個姿態下標定板上各個特征點的世界坐標。

圖12 相機標定反投影誤差示意圖Fig.12 Schematic diagram of reprojection error in camera calibration

圖13 整體系統三維示意圖Fig.13 3 D schematic diagram of the system

5 結論

在數字光柵投影三維測量系統中，投影儀的參數標定直接影響著整個系統的測量精度。為了提高投影儀的標定精度，使用二次投影方法解決了投射圖案與標定板圖案的干擾問題，使用交比不變性求取標定板上投射標志點的位置，避免了相機標定參數的誤差傳遞，并且交比的構造區域更符合射影變換的性質，因此具有更高的精度。與需要相機參數的傳統標定方法以及使用全局單應性變換的標定方法進行了實驗對比。結果表明，采用本方法，其反投影誤差的最大值分別從1.222 像素和0.561 7 像素降到了0.242 1 像素，標準差分別從（0.227 5，0.226 4）像素和（0.139 7，0.099 7）像素降到了（0.064 5，0.060 1）像素。另外，采用本文的方法，在標定投影儀的同時可以直接標定相機，從而獲得整個三維測量系統的標定參數。