“至簡數學”研究的可能性與可行性

鄧凱

筆者在數學教學中一直努力探索并實踐“讓學生學簡單的數學，讓學生簡單地學數學，讓學生數學學得不簡單”，并在此基礎上提出“至簡數學”的教學主張。但是有何證據表明數學能變簡單？有何證據表明能讓學生簡單地學數學？基于對這兩個問題的追問，筆者在“中國知網”以“至簡數學”“簡單數學”“簡易數學”“簡約數學”為主題詞分別檢索到382篇、96360篇、3182篇和3486篇文獻，從中篩選出與“至簡數學”相關的189篇文獻泛讀后，再從中選出36篇重要文獻精讀，然后根據這些文獻及被引文獻追蹤研究重要作者的著作，結果發現多位數學家和數學教育家均對“至簡數學”的必要性和可行性有相關的論述。

一、“讓學生學簡單的數學”是可能的

當代著名數學家阿蒂亞在1976年就任倫敦數學會主席時曾說：“如果我們積累起來的經驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統一。”“過去曾經使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解。”?阿蒂亞的這兩句話表明數學家的使命不僅在于研究數學，還在于努力將數學簡化和統一，讓數學變得更容易理解，這是數學發展的必然。

英國數學家、邏輯學家、哲學家懷特海在著作《教育的目的》的第六章“數學課程”中指出：“我們的數學課程，應該被設計得能夠簡單明了地對具有明顯重要性的概念進行舉例說明。”他還指出：“數學的一般用處，應該是簡單地研究一些一般定理，通過實例來給這些定理以有力的說明。”懷特海的這兩個觀點一方面強調抓住數學的本質，另一方面強調內容簡單明了。

著名數學家、物理學家牛頓曾說：“幾何學之所以堪稱輝煌，就在于它只從很少的幾條公理出發，而最終卻得到了如此之多的結果。歐幾里得只用了5條公理就把千頭萬緒的幾何素材組織起來，組成了一個有機的整體。”?牛頓這段經典的名言表明，數學本身是“簡潔”的，不僅內容簡潔，而且結構簡潔、邏輯簡潔、形式簡潔。事實上，數學就是人們在不斷試圖用簡潔的方式揭示隱藏著的自然奧秘，并在“求簡”目標驅動下興起和發展起來的。

數學家莫里斯·克萊因在《數學與知識的探求》中寫道：“如果沒有符號體系，數學將迷失在文字的荒原中。”?這句話不僅表明數學通過符號語言變得更簡單，而且表明符號化是讓數學變簡單的一種方法。

因此，數學變簡單，既是數學自身的特點，也是數學發展的需求。隨著時代的發展，根據學生的認知心理特點，讓學生學簡單的數學不僅是可能的，而且是未來的趨勢。

二、“讓學生學簡單的數學”是可行的

中國科學院院士、數學家、計算機科學家張景中先生寫過《把數學變得更容易》《把數學變得容易一些》《把高等數學變得更容易》《從數學難學談起》等多篇文章舉例論證了“數學變簡單是可行的”這一論點。

他在《把數學變得更容易》一文中不僅提出了“教育數學就是要把數學變得更容易”，而且以“重建三角（筆者注：用單位菱形面積表示正弦及推廣）”在無錫、寧波、廣州等地實驗的數據，論證通過“重建三角”能讓初中生學習數學變得更簡單。

他在《把數學變得容易一些》一文中提出“把數學變容易一些”主要有3個途徑：想想哪些難點是人為制造的，不必要的規定要改掉，制造點人為的“容易”（對學生來說就是具體、熟悉，而不是抽象、陌生）;引進新的概念時，必須適合學生的思想，符合學生的生活經驗（要返璞歸真，要把條件變得較少、較簡單;盡可能對一些定理少加附加條件）;教給學生比較一般的解題方法。

與此相應地，人教版數學教材在近年的修訂過程中，多處數學知識點變得比原來更簡單了，有兩處變化是典型的例證。第一處是七年級下冊第10章“10.1統計調查”這一節中對“總體”“個體”“樣本”的描述定義。現行教材中寫道：“全校學生是要考察的全體對象，稱為總體，組成總體的每一個學生稱為個體，而被抽取調查的那部分學生構成總體的一個樣本。”這段話有一段旁白：“為了強調調查目的，人們有時也把全校學生喜愛的電視節目作為總體，每一個學生喜愛的電視節目作為個體。”該教材這樣處理就是為了淡化和簡化概念，學生更容易理解。第二處是八年級下冊第15章“15.3分式方程”這一節關于分式方程應用題的檢驗，跟檢驗分式方程的解一樣，只需檢驗解方程的結果是否為該分式方程的解，不需要檢驗是否符合實際。其原因是《義務教育數學課程標準（2011年版）》只要求“能解化為一元一次方程的分式方程”，所得結果只要不是增根都符合實際，因此可省去這個環節。

遵循張景中院士提出的3個途徑，在教學中可以對教材中的一些概念、定理、例題等進行科學合理的處理，可以讓學生先簡單地了解，然后通過“螺旋式上升”的教學讓學生在后續學習中完整地理解與掌握，也可以讓數學變得簡單一些，讓更多的學生有興趣、有信心學習數學。

三、“讓學生簡單地學數學”是可能的

祖丹和孔凡哲從28位數學家（亞里士多德、畢達哥拉斯等）對數學品格的相關論述中，歸納統計得到數學必備品格的七個要素，按其重要性排序為：數學興趣、創新、自強不息、嚴謹、勇于質疑、化繁為簡、獨立思考。這個統計結果說明，化繁為簡是數學教師作為數學人“先天”的品格，讓學生簡單地學數學不僅是數學教師必備的品格，也是其教學該有的自發行為。統計結果還說明要培養學生“化繁為簡”的數學學習必備品格，通過讓學生簡單地學數學是最直接的方式。

華羅庚運用講授法傳授知識主張“深入淺出見功夫”，在教學內容的處理上，他主張：“高的內容放低了，難的內容改易了，繁的內容化簡了。”他還曾對他的助教說：“高水平的教師總能把復雜的東西講簡單，把難的東西講容易;反之，如果把簡單的東西講復雜了，把容易的東西講難了，那就是低水平的表現。”?華羅庚先生不僅這樣說，而且自己上課時堅持讓學生簡單地學數學，他的學生回憶道：“他講課時先把枝節的地方很快講完，馬上就進入主題，讓人很容易理解。”?華羅庚先生身體力行地證明了讓學生簡單地學數學是可能的，但需要教師具有較高的教學水平。

德國著名數學家克萊因則指出了一種具體的方法，他在其著作《高觀點下的初等數學》中提到：“基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視、理解數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單。”

人教版初中數學教材主編章建躍撰寫了多篇論文如《數學教學要“準”“精”“簡”》《追求本質、簡單、自然的數學教學》等都提出數學教學要追求“簡”。當然，章建躍表達言語中不止“簡”和“簡單”，還包含“準”“精”“本質”“自然”等內容。數學課真正實現了“簡”和“簡單”的目標，同時就能實現“準”“精”“本質”“自然”的目標，它們之間是相輔相成的。

因此，讓學生簡單地學數學不僅是可能的，而且是必須的。數學教師必須提高自己的數學專業能力，努力讓學生簡單地學數學。

四、“讓學生簡單地學數學”是可行的

不少數學家、數學教育家、科普工作者以及廣大教師都努力探索過讓學生簡單地學數學，因此相關文獻十分豐富，而且各自從不同的角度提出了讓學生簡單地學數學的具體措施與方法。

華羅庚說：“退到最原始而不失去重要性的地方，把簡單的、特殊的問題弄清楚了，并從這些簡單的問題的解決中，或者獲得解題思路，或者提示解題方向，或者發現一般問題的結論，或者得到化歸為簡單問題的途徑，從而再‘進到一般性問題上來。”這是讓學生簡單地學數學的基本原理。

英國史里斯·韋林（Chris?Waring）著有《極簡數學》，作者通過實例將代數、幾何、概率、統計等學科的知識分解為生活中的場景，將看似抽象、復雜的運算用實物表現出來。這是“具身數學”“手工數學”“測量數學”的源頭。

美國賽·太蒙尼（Cy?Tymony）著有《數學本來很簡單》，作者富有創意地將數學符號用易于理解和記憶的方式書寫，比如在表示速率的R中畫一個正在跑步的人像，在表示時間的T中畫一個計時的表等，作者還創設了一些數學實驗，通過讓學生動手做實驗理解數學符號和數學運算。這是“實驗數學”的基本思想。

英國理查德·埃爾威斯（Richard?Elwes）著有《數學簡單學——化繁為簡“學數學”》，作者試圖用一些小故事、小游戲和簡潔的語言表述從小學到高中的數學核心概念和運算法則等內容。這是“故事數學”和“游戲數學”的基本思想。

斯坦福大學教授喬·博勒（Jo?Boaler）的著作《這才是數學》，該書提出將數學可視化，設計開放性數學作業，不留家庭作業等觀點。這是“視頻數學”的源頭。

在研究上述著作的基礎上，筆者還研讀了大量與“至簡數學”相關的心理學、教育學、信息學、數學及數學教育等文獻，發現“讓學生簡單地學數學”主要有以下策略：通過“具身數學”讓數學具身化、通過“圖畫數學”讓數學圖片化、通過“視頻數學”讓數學可視化、通過“游戲數學”讓數學娛樂化、通過“手工數學”讓數學模型化、通過“故事數學”讓數學情境化、通過“史料數學”讓數學文化化、通過“測量數學”讓數學數量化、通過“列舉數學”讓數學數字化、通過“實驗數學”讓數學實驗化，等等。這些形式都能實現讓學生簡單地學數學的目標，都能讓學生在數學課堂上輕松地理解數學概念、掌握運算法則、理清數學關系以及建構數學模型，學生通過具身認知、圖像感知及建立聯結等方式自然而然地獲得數學認知與發展。

注：本文系中山市教育科研2020年度重點立項課題“‘至簡數學的理論與實踐研究”（課題編號：A2020019）的階段性成果。

責任編輯 羅 峰