隨機振動疲勞試驗的小裂紋擴展分析方法

張允濤，宋少偉，王 珺

(液體火箭發動機技術重點實驗室，陜西 西安 710100)

0 引言

振動環境下的疲勞失效是液體火箭發動機推進劑管路等結構的一種典型失效模式，其主要特征是共振疲勞及累積疲勞損傷。目前，工程領域處理振動疲勞問題以疲勞分析方法為主，鮮有采用斷裂力學方法進行分析的完整范例。基于斷裂力學的裂紋擴展分析方法是結構疲勞耐久性分析的另一種途徑，在飛機結構的壽命評估和損傷評定方面取得了顯著成效，為液體火箭發動機管路等結構的振動疲勞分析提供了很好的借鑒。

工程結構的裂紋擴展分析以線彈性斷裂力學應用最為廣泛，該方法以裂紋頂端的應力強度因子(stress intensity factor，SIF)

K

為主要表征參量，適用于小范圍屈服條件下的宏觀長裂紋問題。根據實驗室經驗，液體火箭發動機管路等結構的振動疲勞總壽命受裂紋萌生階段的小裂紋(也稱為短裂紋)主導。小裂紋通常指長度小于1～2 mm的裂紋，眾多研究表明，裂紋長度在10 μm～1 mm的小裂紋階段的擴展行為與同種材料的長裂紋擴展行為存在明顯的差異。在相同的名義應力強度因子范圍Δ

K

的作用下，小裂紋的擴展速率高于長裂紋，并且在低于長裂紋擴展門檻值Δ

K

的情況下小裂紋仍能擴展，即所謂的“小裂紋效應”。因此，使用長裂紋試驗得出的裂紋擴展數據對小裂紋階段的壽命作預測會導致偏危險的結果。Newman和吳學仁等的研究發現，裂紋閉合現象是導致長裂紋與小裂紋擴展行為差異的主要原因。采用Newman塑性致閉模型，通過考慮裂紋尖端后方尾跡區的殘留塑性變形，并引入裂紋尖端前緣的三維約束效應，用等效應力強度因子Δ

K

對長裂紋d

a

/d

N

-Δ

K

進行修正后可拓展應用到自然萌生的小裂紋擴展階段。

本文對某型液體火箭發動機管路接頭模擬件的隨機振動疲勞試驗進行研究，基于小裂紋理論進行了疲勞裂紋擴展分析，開展了小裂紋三維有限元應力強度因子計算、疲勞應力譜、裂紋擴展速率曲線修正以及裂紋擴展計算程序等內容研究，初步形成了隨機振動疲勞的小裂紋擴展分析方法和流程。

1 試驗簡介

某型發動機降溫器燃料出口管路接頭隨機振動疲勞試驗的試驗件形式見圖1和圖2所示，考核部位在管路外壁

R

區，倒角半徑15 mm，倒角前后管路壁厚分別為1.25 mm和1.75 mm，管路材料為1Cr18Ni9Ti，試驗件一階固有頻率約375 Hz，隨機振動試驗的頻率范圍320～430 Hz，激勵譜型為白譜，控制響應譜的RMS(均方根值)見表1。試驗件底部與連接底板焊接而成，底板通過螺栓與振動臺固定連接。試驗時，在

R

區附近沿軸向黏貼了應變片，并在試驗件頂部布置加速度傳感器。根據加速度傳感器的響應確定隨機振動輸入量級，試驗中監測傳感器的響應變化，當加速度RMS出現明顯下降時，停止試驗。試驗結束后，在

R

區進行著色，通過目視檢查可觀察到沿管路周向擴展的裂紋，如圖3所示。表1給出了本次試驗的主要結果。

圖1 試驗件結構形式Fig.1 Geometric structure of test specimen

圖2 疲勞試驗考核部位Fig.2 Assessment site in fatigue test

圖3 試驗件典型開裂模式Fig.3 Typical cracking mode of test specimen

表1 試驗結果

2 裂紋擴展分析

2.1 應力強度因子

小裂紋擴展分析的首要條件是高精度的應力強度因子求解。應力強度因子

(1)

式中:

β

為無量綱因子，與結構形式、載荷類型以及裂紋的幾何形狀有關；

σ

為遠場應力，文中根據試驗測量結果得到，詳見下節；

a

為裂紋長度。小裂紋沿深度和長度方向均處于明顯的三維應力狀態，需要進行三維應力強度因子求解。采用常規的有限元方法計算時，裂紋尖端的網格細化程度要求很高，單元尺寸從結構整體網格向裂紋尖端局部網格過渡時變化劇烈，為了保證計算精度，劃分網格時需要剖切細化區域或者減小整體網格尺寸大小，網格劃分難度較大。本文使用FRANC3D三維斷裂力學分析軟件(試用版)進行應力強度因子計算，該軟件可以模擬任意類型的裂紋和載荷形式，采用了

M

積分等高精度后處理計算方法，適用于小裂紋的應力強度因子計算。FRANC3D采用整體模型與局部模型結合的方法劃分單元網格，能夠有效控制整體網格大小，使裂尖局部網格尺寸滿足計算精度要求。根據本文試驗結果，假設裂紋萌生于

R

區與管路外表面相切處，初始裂紋形式為半圓形表面裂紋，裂紋長度

a

和深度

c

均為0.01 mm。為簡化計算，假設裂紋擴展長度和深度方向尺寸比值

a

/

c

=1保持不變。裂紋幾何模型如圖4所示，圖4中

φ

為給定裂紋長度和深度時裂紋面上第

i

個計算點到管路外表面的角度，

θ

為裂紋面總的展開角度。裂紋穿透管路壁厚以后變為穿透型裂紋。圖5給出了裂紋長度為1 mm時的有限元模型，在裂紋擴展區域有限元網格明顯細化，裂紋面為半圓形，裂紋前緣劃分了51個計算點，假定遠場名義應力為100 MPa進行計算，得到了裂紋前緣各計算點的應力強度因子隨裂紋長度

a

的變化結果，如圖6所示。可以看出，靠近管壁表面的應力強度因子比管壁內部的應力強度因子要大，同時，隨著裂紋長度的增加，裂紋越深，應力強度因子沿前緣各點的這種規律越明顯。

圖4 裂紋幾何模型Fig.4 Geometric model of crack

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

圖6 表面裂紋前緣的應力強度因子Fig.6 Stress intensity factor at the front edge of surface crack

試驗中各試件的裂紋擴展最終長度約30 mm，因此，給定裂紋擴展范圍從0.01 mm到15 mm計算應力強度因子。圖7給出了裂紋面最外層計算點(

φ

=0)的應力強度因子隨裂紋長度

a

的變化曲線，該點的應力強度因子參與最終計算。試驗應力強度因子的具體實現過程是將有限元計算的應力強度因子

K

和計算中施加的遠場名義應力

σ

代入式(1)，得到各裂紋長度下的無量綱因子

β

，該無量綱因子與試驗測量的循環應力再次代入式(1)得到試驗應力強度因子。

2.2 疲勞應力譜

試驗應力強度因子計算的另一關鍵環節是疲勞應力譜，也就是應力循環的確定。選取試驗的實測應變數據，對時域應變數據進行雨流計數(rain-flow cycle counting method)得到疲勞應變循環，將應變循環轉換為應力循環后進行應力強度因子和裂紋擴展壽命計算。本試驗的應變采樣頻率為4 096 Hz，對每個試驗件，截取10 s的采樣數據作為原始應變譜，共40 960個數據點，雨流后得到應變循環形成一個載荷譜塊。假設考核部位的場應力為單向應力狀態，忽略剪應力和彎曲應力的影響，則考核部位應力

σ

=

Eε

式中：

E

為材料彈性模量；

ε

為實測軸向應變，即得到疲勞應力譜塊。

圖7 應力強度因子隨裂紋長度的變化曲線Fig.7 Stress intensity factor with crack length

圖8給出了疲勞應變循環均值

ε

=(

ε

+

ε

)/2及幅值

ε

=(

ε

-

ε

)/2的分布圖，色譜代表出現次數。整體來看，各試件的疲勞應變循環集中在零均值附近，非對稱循環的出現次數較少。圖9和圖10分別給出了各級疲勞應變循環的峰值和幅值的發生頻次，可看作應變峰值和幅值的概率密度，由圖可見，對于本試驗的窄帶隨機激勵，應變循環的峰值呈現為倒鐘形的正態分布，而應變循環的幅值則近似服從瑞利分布。疲勞損傷主要取決于疲勞循環載荷的幅值，結構在隨機激勵下的應力或應變響應的幅值概率分布必然與外激勵、結構動特性等有關，因此，不能簡單地假設某一種概率分布作為結構隨機振動疲勞分析的通用模型。

試驗中各試件疲勞試驗時間(即疲勞裂紋擴展壽命)相對于10 s采樣數據足夠長，且認為10 s采樣數據能夠較充分地描述整個裂紋擴展壽命內的疲勞應力的隨機特征，因此，本文將10 s采樣數據經雨流后的疲勞應力循環作為一個平均譜塊施加在整個裂紋擴展范圍內進行計算，不再考慮譜塊內各級應力循環的先后次序對裂紋擴展壽命影響。

圖8 應變循環均值與幅值分布圖Fig.8 Mean value and amplitude distribution of strain cycle

圖9 應變循環峰值發生頻次Fig.9 Occurrence number of strain cycle peak

圖10 應變循環幅值發生頻次Fig.10 Occurrence number of strain cycle amplitude

2.3 da/dN-ΔK裂紋擴展速率曲線

使用應力強度因子進行小裂紋擴展壽命計算時，必須選擇合適的裂紋擴展速率曲線，并對裂紋擴展速率曲線進行參數修正以適用于小裂紋擴展計算。金屬材料裂紋擴展速率曲線d

a

/d

N

-Δ

K

的典型形式如圖11所示，通常將曲線劃分為三個區域：近門檻區、穩態擴展區和失穩擴展區。在長裂紋擴展的近門檻值區，小裂紋的擴展速率會比長裂紋的相應速率高很多，因此，使用長裂紋d

a

/d

N

-Δ

K

進行小裂紋裂紋擴展分析時，必須對近門檻值擴展曲線進行修正，以避免非保守的計算結果。本文采用NASGRO裂紋擴展速率公式進行計算，其表達式為

(2)

式中：

C

、

n

、

p

、

q

為材料常數；

f

為裂紋張開函數；

R

為應力比；Δ

K

=

K

—

K

為應力強度因子變程；Δ

K

為應力強度因子門檻值；

K

為材料斷裂韌度。

f

函數由Newman裂紋閉合理論給出，具體公式見文獻[18]。

圖11 小裂紋及長裂紋擴展行為[19]Fig.11 Growth behavior of small crack and long crack[19]

對疲勞小裂紋，在NASGRO裂紋擴展速率公式中通過修正應力強度因子門檻值Δ

K

予以考慮。對不同的應力比，Δ

K

的表達式為

(3)

(4)

其中

根據文獻[20]數據，并通過參數修正，本文使用的材料裂紋擴展參數如表2所示。

表2 裂紋擴展速率參數

2.4 裂紋擴展計算程序

從d

a

/d

N

-Δ

K

的表達式可見，裂紋擴展壽命計算是一個積分過程。實際計算中，將裂紋擴展增量設置為一個步長小量Δ

a

，在每個步長內計算裂紋擴展壽命Δ

N

，對從初始裂紋到臨界裂紋的整個擴展長度內的Δ

N

進行累加就得到總的裂紋擴展壽命，通常按循環接循環的方法進行計算。本文使用一種快速裂紋擴展計算方法，具體流程如圖12所示，在Excel中輸入計算公式即可實現。

圖12 裂紋擴展計算流程Fig.12 Calculation process of crack growth

首先，將給定的裂紋擴展長度范圍

a

到

a

分成

n

個區間，對每一個裂紋長度

a

，依次計算應力譜塊(共有

m

個循環應力)中第

j

個循環應力對應的裂紋擴展速率d

a

/d

N

,，得到

m

×

n

個裂紋擴展速率值；然后，將每一個裂紋長度下

m

個裂紋擴展速率相加，得到裂紋長度

a

對整個應力譜塊的裂紋擴展速率d

a

/d

N

，并計算每一個裂紋擴展增量區間[

a

-1,

a

]對整個應力譜塊的平均循環次數

N

；最后，將

a

到

a

的

n

個裂紋擴展區間的平均循環次數相加，得到總的循環次數

N

，即為最終總的裂紋擴展壽命。本文計算中，一個應力譜塊代表10 s時間，應力譜塊共循環了

N

次，則裂紋擴展壽命按時間表示為10

N

s。對本次試驗6個有效斷裂試驗件按上述方法進行計算，裂紋擴展壽命結果見表3，可以看出，試驗件的應變響應(以RMS為表征)越大，裂紋擴展壽命越短，這與經典的Miner疲勞損傷累積理論是一致的，即結構承受的疲勞應力水平越高，其疲勞損傷越嚴重，因而壽命越短。不同的是，在疲勞計算的Miner方程中，壽命

N

直接根據損傷計算得到，而在裂紋擴展計算中，壽命

N

由裂紋循環擴展并累加得到。

表3 裂紋擴展壽命計算結果

圖13給出了裂紋擴展長度隨裂紋擴展壽命(時間)的變化曲線，顯然，裂紋擴展壽命的絕大部分時間為小于1 mm的小裂紋擴展階段，長裂紋階段的穩定擴展壽命很短，因此，對該類管路結構進行疲勞和損傷容限設計時，重點考慮使用疲勞極限強度較高、裂紋擴展速率較低的材料，使結構在小裂紋階段有足夠長的緩慢擴展壽命，從而保證結構在隨機振動環境下的疲勞強度更好地滿足設計使用要求。

圖13 裂紋擴展長度隨時間的變化Fig.13 Crack growth length with time

3 結論

通過對某型發動機管路接頭的隨機振動疲勞試驗開展基于小裂紋的裂紋擴展分析，主要結論如下：

1)采用FRANC3D(試用版)可實現小裂紋的有限元網格劃分和三維應力強度因子的精確計算。

2)使用NASGRO裂紋擴展公式計算壽命時，通過對長裂紋的d

a

/d

N

-Δ

K

曲線的門檻值進行修正，可用于小裂紋的裂紋擴展分析。

3)本試驗窄帶隨機激勵下的應變和應力響應視為零均值過程，疲勞應變循環的雨流峰值和雨流幅值分別近似服從正態分布和瑞利分布。

4)使用一種疲勞應力譜塊平均施加方法進行了裂紋擴展壽命的快速計算，計算結果與試驗值吻合較好。本文方法可作為液體火箭發動機管路等結構振動疲勞分析的工程參考。