數(shù)學(xué)命題教學(xué)中的問題鏈設(shè)計

任燕巧

摘要：數(shù)學(xué)命題教學(xué)可以利用數(shù)學(xué)問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)命題的探究發(fā)現(xiàn)過程，同時，體會其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。具體設(shè)計問題鏈時，應(yīng)該注意從猜想到證明、從特殊到一般（有時還包括從直觀到抽象）、從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用的一般研究過程。此外，還應(yīng)特別關(guān)注有關(guān)概念和命題及其形成和發(fā)現(xiàn)過程中可以類比遷移的重要思想方法，助力學(xué)生猜想和證明結(jié)論。以“平面與平面平行的判定定理”教學(xué)的問題鏈設(shè)計為例來說明。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)命題教學(xué);問題鏈設(shè)計;面面平行的判定定理

數(shù)學(xué)命題（包括定理、公式等結(jié)論）是數(shù)學(xué)知識的重要組成，是數(shù)學(xué)思維的重要節(jié)點。自然地，數(shù)學(xué)命題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要類型。同為數(shù)學(xué)知識教學(xué)，數(shù)學(xué)命題教學(xué)與數(shù)學(xué)概念教學(xué)類似，也存在“一個結(jié)論（對數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，是一個定義），幾點注意，大量練習(xí)”的現(xiàn)象。這樣的教學(xué)忽視了命題的探究發(fā)現(xiàn)過程，直接影響了學(xué)生對命題的完整認(rèn)知和深度理解。

數(shù)學(xué)問題鏈?zhǔn)墙處熢谡n外預(yù)設(shè)并在課上以多種方式呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干數(shù)學(xué)問題序列，可以驅(qū)動學(xué)生的數(shù)學(xué)探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的脈絡(luò)。數(shù)學(xué)命題教學(xué)可以利用數(shù)學(xué)問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)命題的探究發(fā)現(xiàn)過程，同時，體會其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。具體設(shè)計問題鏈時，應(yīng)該注意從猜想到證明、從特殊到一般（有時還包括從直觀到抽象）、從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用的一般研究過程。此外，還應(yīng)特別關(guān)注有關(guān)概念和命題及其形成和發(fā)現(xiàn)過程中可以類比遷移的重要思想方法，助力學(xué)生猜想和證明結(jié)論。

下面，以“平面與平面平行的判定定理”教學(xué)的問題鏈設(shè)計為例來說明。

一、總體教學(xué)思路

“平面與平面平行的判定定理”是人教A版高中數(shù)學(xué)教材（2019年版）必修第二冊“8.5.3平面與平面平行”中的內(nèi)容。教學(xué)這一內(nèi)容時，除了體現(xiàn)從猜想到證明再到應(yīng)用、從特殊平面（比如長方體中的平面）到一般平面、從直觀（實物）到抽象（模型）的基本研究框架之外，分析知識的前后關(guān)聯(lián)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)困難可知，還要引導(dǎo)學(xué)生類比遷移直線與平面平行判定定理發(fā)現(xiàn)過程中的降維轉(zhuǎn)化思想和反證法，猜想和證明平面與平面平行的判定定理;并且，特別注意引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用平面與平面平行的判定定理，尋找與已知平面平行的平面。

二、具體問題鏈設(shè)計

問題1如圖1，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點，判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系？你的依據(jù)是什么？

問題1旨在喚醒學(xué)生對線面平行判定定理（方法）的記憶：連接BD，交AC于O，連接OE，通過面外線BD1與面內(nèi)線OE平行證明線面平行。對此，引導(dǎo)學(xué)生體會把線面平行問題轉(zhuǎn)化為線線平行問題過程中的降維思想。進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生回顧依據(jù)定義和判定定理判定線面平行這兩種方法，并且體會判定定理方法的便捷性。這是學(xué)生后續(xù)類比探究面面平行判定定理的基礎(chǔ)。

問題2如果要判定平面α與平面β平行，你會怎么想？

問題2是一個開放性問題，旨在激活學(xué)生對面面平行判定定理（方法）的猜想。課堂上，學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗，借助長方體模型，類比線面平行判定定理的猜想，首先指出了定義方法（判定兩個平面沒有公共點）操作上的麻煩;接著想到了將面面平行問題降維轉(zhuǎn)化為線面平行問題的方法，提出了“若一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想;之后又發(fā)散思維，提出了“垂直于同一條直線的兩個平面平行”“平行于同一個平面的兩個平面平行”等猜想。

對此，教師肯定了降維轉(zhuǎn)化的思路，同時引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合長方體模型，否定了“若一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想;肯定了“垂直于同一條直線的兩個平面平行”“平行于同一個平面的兩個平面平行”等猜想的正確性，同時指出線面垂直的判定方法還沒有學(xué)習(xí)，面面平行的判定正是目前需要解決的問題，從而否定了這兩個猜想作為面面平行判定定理的合理性。由此，自然引出問題3。

問題3類比線面平行判定定理的猜想，要把面面平行問題降維轉(zhuǎn)化為線面平行問題，該如何操作？

問題3是一個聚焦性問題，旨在明確學(xué)生對面面平行判定定理（方法）的猜想。課堂上，學(xué)生在否定“若一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”猜想的基礎(chǔ)上，自然聯(lián)想提出了“若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想。由此，教師分平行和相交兩種情況，提出了兩個子問題：

問題31如圖2，矩形硬紙片兩條對邊所在直線a、b與桌面平行，矩形硬紙片所在平面與桌面平行嗎？

問題32如圖3，三角尺兩邊所在直線c、d與桌面平行，三角尺所在平面與桌面平行嗎？

這兩個子問題旨在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察實物，獲得對面面平行判定定理（方法）充分的直觀感知，明確提出“若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行”的猜想。

問題4如圖4，請證明：若平面β內(nèi)的兩條相交直線a、b與平面α平行，那么α與β平行。

問題41如圖5，你能結(jié)合長方體模型證明上述結(jié)論嗎？

有了猜想，問題4自然要求學(xué)生證明面面平行的判定定理（方法）。當(dāng)然，學(xué)生即使類比線面平行判定定理的證明，想到反證法，實際證明也會感到困難。因此，設(shè)計了問題41這個輔助性的子問題，讓學(xué)生借助長方體模型，嘗試證明上底面內(nèi)的兩條相交直線與下底面平行時上下兩個底面平行。由此深化，學(xué)生能借助圖6，完成一般情況的證明。

問題5面面平行的判定是通過將面面平行降維轉(zhuǎn)化為線面平行來解決的，那么是否存在進(jìn)一步降維轉(zhuǎn)化為線線平行的方法呢？

問題5是對問題3的進(jìn)一步延伸，即進(jìn)一步把面面平行問題降維轉(zhuǎn)化為線線平行問題來探討，可以引導(dǎo)學(xué)生得到面面平行判定定理的推論;也是對問題4探究過程，即線面平行情況證明過程中所使用的思路與方法的進(jìn)一步應(yīng)用與鞏固，因為這里如何尋找可以用來判定面面平行的直線、如何借助反證法證明等問題的解決過程都與問題4中的一致。

問題6判斷對錯，并說明原因。

（1）如果一個平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

（2）如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

（3）如果一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

問題7如圖7，現(xiàn)實生活中，建筑工人、木工師傅等會將氣泡式水平儀在桌面上交叉放置兩次，通過水平儀的氣泡是否都在中央，判定桌面與水平面是否平行。你能解釋其背后的數(shù)學(xué)原理嗎？

問題6是對面面平行判定定理條件的進(jìn)一步辨析，幫助學(xué)生把握面面平行判定定理的本質(zhì)。問題7是面面平行判定定理的實際應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用面面平行的判定定理解釋生活現(xiàn)象，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，提高解決問題的能力。

問題8如圖8，已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證：平面B1AD1∥平面BC1D。

問題9如圖9，已知正方體ABCDA1B1C1D1，點E、F、M分別為A1B1、AA1、B1C1的中點。在此正方體中，是否存在過點E、M且與平面BFD1平行的平面？若存在，請作出并證明;若不存在，請說明理由。

問題8是面面平行判定定理的直接應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用面面平行的判定定理及推論證明數(shù)學(xué)結(jié)論，體會定理運(yùn)用的關(guān)鍵，掌握規(guī)范的解題過程。問題9引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用面面平行的判定定理，尋找與已知平面平行的平面（結(jié)合已知條件，這里還需找到一個點，可取BB1靠近B1的一個四等分點），然后證明，具有開放探索性，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。此題需要留給學(xué)生足夠的思考時間，幫助學(xué)生形成完整、清晰的解題思路。

問題10平面與平面平行有哪些判定方法？這些方法之間有什么聯(lián)系？我們已經(jīng)知道平面與平面平行的判定方法，反之，還能研究什么？

問題10對本節(jié)課的回顧總結(jié)與拓展延伸，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧面面平行的判定定理，體會類比遷移、降維轉(zhuǎn)化的思想方法和“猜想—證明—應(yīng)用”的研究過程，并進(jìn)一步體會“判定—性質(zhì)”的研究拓展。

三、幾點教學(xué)反思

縱觀本節(jié)課的教學(xué)，有這樣幾個特點：

（一）層層遞進(jìn)，給予脈絡(luò)化思考

問題鏈中的主干問題是有序的、層進(jìn)的，不僅能夠驅(qū)動學(xué)生探究，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)思維的脈絡(luò)。本節(jié)課中，問題1為學(xué)生類比遷移探索線面平行判定定理的思路與方法提供了支架;問題2—問題5引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想的自由發(fā)散與合理聚焦、證明的嚴(yán)謹(jǐn)推理與深化推論，體驗定理及推論的發(fā)現(xiàn)過程;問題6—問題9引導(dǎo)學(xué)生體驗定理及推論的各類應(yīng)用，真正獲得完整認(rèn)知和深度理解;問題10則是對全課的總結(jié)延伸。層層遞進(jìn)的問題給予學(xué)生脈絡(luò)化的思考，促進(jìn)學(xué)生掌握解決一類問題、學(xué)習(xí)一類知識的基本框架。

（二）直觀感知，賦予情境性理解

美國著名教育心理學(xué)家布魯納說過，當(dāng)基本概念以正規(guī)形式出現(xiàn)在兒童面前時，他們?nèi)绻麤]有事先從直覺上加以理解，對這些概念則將無能為力。本節(jié)課中，問題31、問題32、問題41等子問題從實物到長方體模型，為探究抽象的一般性問題提供直觀感知的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生形成情境性理解。

（三）留有余地，指向深度的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)教學(xué)要設(shè)置具有一定挑戰(zhàn)性的問題，為學(xué)生的思考留有余地（空間），激發(fā)學(xué)生的探究欲望，發(fā)展學(xué)生高水平的數(shù)學(xué)思考。本節(jié)課中，有關(guān)定理猜想、證明、應(yīng)用的問題2、問題4、問題9便是如此，學(xué)生在思考中很容易出現(xiàn)錯誤、缺憾、求而不得、懸而未決等情況。相應(yīng)的教學(xué)處理則是延遲解決，促使學(xué)生努力尋求解決方案，得到完整、清晰的思路，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

*本文系全國教育科學(xué)規(guī)劃課題教育部重點課題“指向深度理解的‘問題鏈教學(xué)研究”（編號：DHA200318）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 唐恒鈞，黃輝.數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)設(shè)計與實施的三個關(guān)鍵[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（5）.

[2] 周丕芬.類比為橋自然生成——“平面向量的實際背景及基本概念”教學(xué)設(shè)計、實踐與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（1/2）.

[3] 丁益民.以立體幾何教學(xué)為例談理性精神的培育[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（10）.