圓的知識探討

何洪崗

人教版小學六年級上冊第五單元編排了圓的教學內容。教材中，首先以水濺起的漣漪、巨大的風車、北京天壇等精美的圖片導入，讓學生認識到從奇妙的自然界到文明的人類社會，從精致的手工藝品到氣勢宏偉的各種建筑，到處都可以看到大大小小的圓。圓與我們的生活息息相關，圓深深地嵌入中國文化的方方面面。

接著，教材編排讓學生自己想辦法畫一個圓，從教材情境圖編排意圖分析，通過學生動手實踐操作，認識到利用水杯蓋、三角尺等物品畫圓都具有局限性，都是固定的，不能隨心畫出大小變化的圓，而用圓規可以畫出大小變化的圓，標準的圓。

關于圓的定義，前面教材中定義的是一條曲線圍成的封閉圖形。學生到了小學高段六年級，建議對圓的定義細化為：一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。圓心決定了圓的位置，半徑決定了圓的大小，同一圓所有半徑相等。半徑相等的兩個圓，可以作為同圓看，因為圓只有一種形狀，只存在大小的變化，兩個圓半徑相等，是完全重合的，所以可以作為同圓看。同一個圓周長與直徑的比值稱為圓周率，圓周率是一個無限不循環小數，通常計算中取近似值л≈3.14，部分學生在學習過程中誤認為圓周率就是3.14，建議教學中通過相關判斷等習題練習讓學生明確3.14是圓周率的近似值，除了習題練習，可以讓學生寫上十遍л≈3.14這一字母約等式，讓學生加強理解與記憶。

關于圓的周長與面積概念，部分學生容易混淆，圓周長是指圍成圓的封閉曲線的總長，圓面積是指整個圓所占平面的大小，教學中，讓學生拿出鉛筆，順著圓的封閉曲線跑一跑，臨摹三五遍，明確認知，這是圓的周長;讓學生伸出自己的食指和中指，觸摸整個圓面的大小，明確認知，這是圓的面積。通過動手操作，直觀感知，讓學生明晰辨知圓周長與圓面積。整個圓是一條封閉的曲線，在教材習題深化中，需要指導學生明確認知，整個圓曲線的一半不是半圓形，許多同學誤認為是半圓形，求圓曲線一半的長不是指周長，這里不存在周長的概念，因為周長是指封閉圖形一周的總長，而整個圓曲線的一半并未封閉，它不能稱之為圖形，就是一條曲線;而半圓形是整個圓曲線的一半連同直徑，形成的一個封閉圖形。教學中，引導學生明確區分整個圓曲線的一半與半圓形，歸納出公式：圓一半曲線長=лr，半圓形周長=（л+2）r。

教材69頁編排的教學內容是外方內圓與外圓內方，在外方內圓中，兩個圖形之間部分的面積最終為0.86r2，在外圓內方中，兩個圖形之間部分的面積最終為1.14r2。但是，在這里，需要引導學生重點認知，加以強調的是，無論外方內圓還是外圓內方，必須是最大化的情況下，才能運用上述公式求出兩個圖形之間部分的面積。在教材72頁練習十五的第9題，是一枚順治通寶的銅錢，銅錢是一個圓形，直徑是28mm，里面中空部分為邊長是6mm的正方形，求銅錢的面積。該題中，雖然是外圓內方的題型，解題方法都是用圓形面積減去正方形面積，但由于不是最大化，不能用上述外圓內方的最終結論公式1.14進行計算。

在此，簡要交流一下圓的各部分之間的比例關系，同一圓的周長與直徑成正比例關系，字母表示為c：d=л（一定），部分學生由于對л的認知不夠，懷疑是否構成正比例關系。所以，指導學生理解，л是一個固定值，又是一個無限不循環小數至關重要。學生一旦理解了同一圓的周長與直徑成正比例關系，就容易理解同一圓的周長與半徑成正比例關系。部分學生誤認為同一圓的周長與半徑成正比例關系，那么同一圓的面積與半徑也成正比例關系，假如成正比例關系，字母表示為s：r= лr，因圓半徑r不是固定值，лr之積也不是一定的，圓的面積與半徑比值不一定，所以不成正比例關系。但是，圓的面積與半徑的平方成正比例關系，眾多學生又犯疑，圓的面積與半徑不成正比例關系，為何與半徑的平方又成正比例關系？指導學生寫出字母關系式可以看出，s：r2=л（一定），而л是固定值，所以同一圓的面積與半徑的平方成正比例關系。

該單元教材最后的教學內容編排是確定起跑線，該部分教學內容中，對于學生來說，最大的難點是在不同跑道的兩個起跑者，相對而言，計算提前或退后的間隔起跑距離。由于眾多鄉鎮小學是沒有正規的、標準的標示線劃定的跑道，學生們都會跑步，但對于跑道賽制，學生們是不知道的。該部分教學，展示跑道圖，讓學生仔細觀察，清楚認識跑道結構，播放跑步比賽的視頻，讓學生理解賽制的公平性。該部分教學需要處理的一個重要知識點是把兩個起跑者跑步的線路看作，或者說簡化為構成同一圈跑道的標示線，要么同時看跑道內側線，要么同時看跑道外側線，不同的跑道線，周長不同，為了保證賽制的公平，產生了提前或退后起跑距離。計算起跑間隔距離時，直道總長相同，差距在于彎道，相對應的彎道線合成一個圓，道寬看為相對而言增加或減少的半徑，據圓周長公式求出間隔距離，道寬×2×л，這只是常規相鄰跑道跑一圈的間隔距離，根據題意不同，還要考慮不同跑道的差距及圈數，由此引導學生歸納出計算跑道賽制間隔距離的公式：確定起跑線提前（或退后）起跑距離=道寬×2×л×跑道差×圈數。

關于解決圓的問題的眾多數學方法中，我們學校數學教研活動中，有老師提出，替代法即是一種很重要的方法。實際上，學生在解決問題時，很想用替代法，但又不會用，替代法體現了學生在解決問題中思維的漸進性、遷移性甚至是思維跳躍式的發展，教學中，教師應該鼓勵學生獨立、自主思考，積極大膽運用替代法解決圓的相關問題。我們學校數學教研組印發的教研題中，其中一題就需要用替代法解決：

這是一道計算圖形陰影面積的題，一個圓形和一個平行四邊形部分重合，平行四邊形面積是35c㎡，求陰影部分的面積。從該題圖形分析，圓的直徑即是平行四邊形的一條底邊，這條底邊對應的高即是圓的半徑，所求陰影部分面積是一個扇形，學生解決該題時，第一思考方向可能是想通過求出圓的面積再進而求出陰影部分面積，這一思路是沒有問題的，但接下來求圓的面積需要知道圓的半徑，很多同學可能冥思苦想也不能求出圓的半徑，遇到瓶頸了，卡住不能前進了。