高超音速飛行器的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制

游茜, 陳曉鋒, 蘇友峰

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州 350108)

0 引言

高超音速飛行器作為“第三次動力革命”的代表, 其技術(shù)前景在民用和軍事領(lǐng)域被廣泛看好. 近年來, 世界各國陸續(xù)掀起了高超音速技術(shù)研究的熱潮. 在高超音速飛行器動力系統(tǒng)的研究過程中, 解決由升降舵耦合所產(chǎn)生的非最小相位特性是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的研究[1]. 近年來，有學(xué)者提出一種基于輸出調(diào)節(jié)的非線性飛行跟蹤控制框架解決該問題[2], 指出其可解性依賴于調(diào)節(jié)器方程, 該方程是依賴于系統(tǒng)的偏微分方程組[3]. 對于非線性系統(tǒng), 調(diào)節(jié)器方程通常無法求得解析解, 如本研究所分析的高超音速飛行器, 該系統(tǒng)是具有9個狀態(tài)變量、 2個輸入和2個輸出的非最小相位非線性系統(tǒng). 這類問題可使用幾種不同的近似方法來逼近調(diào)節(jié)器方程的解[4-7], 稱為近似輸出調(diào)節(jié)問題.

近似輸出調(diào)節(jié)問題的研究始于多項(xiàng)式逼近, 作為一種基于泰勒級數(shù)展開的近似方法[8]被應(yīng)用到多輸入多輸出非線性非最小相位系統(tǒng)[9]. 隨后, 更有效的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近法在非線性伺服機(jī)制問題[10]中被提出, 用于逼近調(diào)節(jié)器方程的解[11]. 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近方法基于著名的萬能近似定理[12], 該定理表明對于三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò), 只要其隱藏層包含足夠的神經(jīng)元, 該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可以近似任意精度的連續(xù)函數(shù). 使用各種方法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重矩陣, 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近調(diào)節(jié)器方程解的問題可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題. 此方法被用于許多實(shí)際的非線性系統(tǒng)中, 例如球形倒立擺系統(tǒng)[13].

另一種更直接的方法是使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接近似前饋函數(shù)[14], 其僅需同系統(tǒng)輸出一樣維度的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似方程的解. 目前, 該方法已經(jīng)應(yīng)用到推車倒立擺系統(tǒng)[15]、 球形倒立擺系統(tǒng)[16-17]和欠驅(qū)動擺錘系統(tǒng)[18]. 由于不需要逼近調(diào)節(jié)器方程的所有解, 因此適用于復(fù)雜的非線性系統(tǒng).

本研究所分析的高超音速飛行器的縱向動力學(xué)系統(tǒng), 若使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似其調(diào)節(jié)器方程的解, 需要六個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來分別近似六個偏微分方程的解. 而使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來直接近似前饋函數(shù), 僅需逼近兩個偏微分方程的解. 因此, 發(fā)展后者相應(yīng)理論, 可有效降低計(jì)算復(fù)雜度, 提高控制效率.

1 跟蹤控制理論

考慮如下非線性系統(tǒng):

(1)

其中：F(·)∈Ck(Rn×Rm×Rq),H(·)∈Ck(Rn×Rm×Rq),k≥2均為全局定義且在原點(diǎn)附近充分光滑的非線性函數(shù), 同時滿足初始條件F(0,0,0)=0,H(0,0,0)=0.x(t)∈Rn,u(t)∈Rm,y(t)∈Rp分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和輸出.v(t)∈Rq是外部參考信號, 由如下自治系統(tǒng)產(chǎn)生:

(2)

該自治系統(tǒng)的輸出為yd(t), 其中矩陣S滿足如下假設(shè):

假設(shè)1S的所有特征值互異且實(shí)部均為零[3].

假設(shè)4在Rq的原點(diǎn)開鄰域V中定義了兩個充分光滑的函數(shù)x(v)和u(v), 滿足初始條件x(0)=0,u(0)=0且對所有的v∈V有:

(3)

方程(3)稱為調(diào)節(jié)器方程, 其可解性是非線性輸出調(diào)節(jié)問題可解的必要條件. 基于假設(shè)1～4, 使用經(jīng)典理論[3], 可推出如下帶有前饋函數(shù)的輸出反饋控制器:

(4)

其中:c(v)=u(v)-Kx(v)稱為前饋函數(shù), 其前饋增益K和觀測器增益L0使得下式為Hurwitz的矩陣.

(5)

前饋函數(shù)c(v)依賴于調(diào)節(jié)器方程的解, 然而, 對復(fù)雜非線性系統(tǒng), 調(diào)節(jié)器方程的解析解往往無法求得. 在本研究中將直接使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似此前饋函數(shù). 基于著名的萬能近似定理[12], 可歸納如下定理:

定理1設(shè)Φ∈Ck(R)為雙曲正切函數(shù). 令Γ為Rn中的緊子集. 那么對于任意ε>0, 存在一個三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(6)

滿足：

其中：整數(shù)N為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱藏層的神經(jīng)元個數(shù)；W1∈R(n+1)×N是輸入層與隱藏層間的權(quán)重矩陣,W2∈R(N+1)×m是隱藏層與輸出層間的權(quán)重矩陣.

(7)

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤控制問題可以描述為設(shè)計(jì)一個形如式(7)的控制器, 使得對于充分小的x0,ξ0,v0, 聯(lián)立式(1)～(2)及(7)所得閉環(huán)系統(tǒng)有如下性質(zhì):

1) 上述閉環(huán)系統(tǒng)的解xω(t,x0,ξ0,v0)存在, 且對所有t≥0均有界.

2 高超音速飛行器系統(tǒng)

2.1 縱向動力學(xué)模型

(8)

該系統(tǒng)的特點(diǎn)是控制輸入不直接出現(xiàn)在系統(tǒng)的狀態(tài)方程中, 而是通過相關(guān)物理量的復(fù)雜非線性復(fù)合表達(dá)式呈現(xiàn). 此處, 系統(tǒng)的系數(shù)參照Parker等人建立的高超音速飛行器數(shù)學(xué)模型[19].

2.2 解耦

為了表述高超音速飛行器的跟蹤控制問題, 將系統(tǒng)變量做如下的坐標(biāo)變換:

于是, 高超音速飛行器的動力學(xué)方程可以寫成以下標(biāo)準(zhǔn)模式:

(9)

2.3 外系統(tǒng)

高超音速飛行器速度跟蹤和高度跟蹤的兩個參考信號都是正弦函數(shù), 通過以下自治系統(tǒng)生成, 稱為外系統(tǒng).

(10)

3 高超音速飛行器的跟蹤控制問題

3.1 證明調(diào)節(jié)器方程存在局部解

(11)

3.2 近似前饋函數(shù)

表1 Hooke-Jeeves法

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本研究高超音速飛行器仿真實(shí)驗(yàn)的參數(shù)初始化如下:T0=46, num=240,ρ=0.2,α=0.1, 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重矩陣均初始化為(-1, 1)間的隨機(jī)矩陣. 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱藏層神經(jīng)元的個數(shù)采用對比實(shí)驗(yàn)來確定, 在N=20時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有較好的近似能力和較高的計(jì)算效率. 令參考軌跡yd(t)=[0.5 sin(1.5t), 0.5 sin(1.5t)]T. 經(jīng)過對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練, 發(fā)現(xiàn)當(dāng)J(W)<0.014時, 系統(tǒng)已經(jīng)有了較好的跟蹤效果, 圖1～2顯示了此時高超音速飛行器系統(tǒng)輸出對參考軌跡的動態(tài)響應(yīng). 圖3～4分別顯示了相應(yīng)的跟蹤誤差.

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制的速度響應(yīng)

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制的高度響應(yīng)

圖3 速度響應(yīng)的誤差

圖4 高度響應(yīng)的誤差

5 結(jié)語

本研究分析了高超音速飛行器縱向動力學(xué)系統(tǒng)的跟蹤控制問題. 針對耦合引起的非最小相位特性, 給出合理的解耦策略. 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接逼近前饋函數(shù), 進(jìn)而得到基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出反饋控制器, 使得所研究閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定且漸近跟蹤參考信號.