運用斜交分解法巧解類拋體運動問題

劉二虎 鄭慧玉

(江蘇省泗洪中學,江蘇 宿遷 223900)

類拋體運動是中學物理中常見問題,主要通過運動的合成與分解來求解。其中,正交分解法是最常用的分解方法,即將速度和加速度分解到兩個相互垂直的方向上,形成各自獨立的直線運動。正交分解法形式固定、易掌握,但計算較為繁雜。斜交分解是將運動依據速度和加速度的特點,分解形成兩個彼此獨立、互不垂直的直線運動,可簡化計算過程,方法更加巧妙，以下探討幾類利用斜交分解法處理的類拋體問題。

1 重力場中的一般拋體運動

例1：如圖1所示,小球以初速度v0在距離地面高度為h的位置向上斜拋，求拋射的最大水平射程。

圖1

解析:這是典型的重力場中拋體運動問題,用正交分解法解題時，將運動分解成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動,通過聯立兩個運動方向上的方程,把水平位移寫成關于拋射角度的函數，進而求極值。

圖2

圖3

小結:利用斜交分解法避開了較為復雜的函數極值求解,將水平位移巧妙過渡到速度的矢量三角形運算上,計算簡潔，在利用斜交分解法時需要透徹理解矢量運算和運動的獨立性。

2 靜電場中的類拋體運動

例2：如圖4所示,在絕緣光滑平面上有與桌面平行,大小恒為E的勻強電場，圖中實線為電場的等勢面，一帶正電、電量為q的小球從A點釋放。已知小球初速度為v0,方向與BC平行,過B點的等勢線與BC的夾角為30°,AB與等勢線垂直,AB=BC，求小球到達C點時間t。

圖4

解析:這是常見的帶電小球在靜電場中做類拋體運動問題,如果運用正交分解法,小球在水平方向上做勻減速直線運動,在豎直方向上做勻加速直線運動,通過聯立兩個方向上的運動方程來求解。

根據小球速度和受力特點,可以將運動分解為沿著初速度方向的勻速直線運動和沿著電場力方向(即AB方向)的初速度為零的勻加速直線運動(圖5)。通過斜交分解后的兩個運動形式更簡單,處理起來也更為簡便。

圖5

圖6

小結:采用正交分解法時，兩個分運動都是初速度不為零的勻變速運動；而利用斜交分解，能將運動分解成兩個更為簡單的運動,結合分運動和合運動的位移關系,能更快解決問題。運用斜交分解法處理這類問題時明顯更為巧妙,避開了較為繁瑣的計算。

3 重力場和靜電場相疊加的類拋體運動

例3：如圖7所示,在水平面上有一個帶負電的小球,電荷量為q,在平面上有平行地面的水平向右、大小為E的勻強電場,小球在空中以水平速度v0拋出,若小球足夠高,求小球落地前的最小速度和時間。

圖7

解析:運用正交分解法，小球的運動可分解為水平方向上的勻減速直線運動和豎直方向上的自由落體運動,利用兩個分速度可求得小球運動過程中速度和時間的關系,再進行臨界值的求解，而運用斜交分解法可以將求解過程簡化。

圖8

圖9

小結:運用斜交分解法后，小球的運動變為勻速直線運動和等效自由落體運動的合成,分運動的形式比用正交分解法更為簡單，從而能更加巧妙地找出速度最小時所對應的物理狀態。

4 變阻力作用下的拋體運動

例4：如圖10所示,質量為m的小球在地面上一定高度水平拋出,平拋的初速度為v0,在重力和空氣阻力的作用下經過一段時間落到地面上,已知落地時速度方向和水平面的夾角為θ,空氣阻力f=kv,求落地時的速度大小v。

圖10

解析:小球在拋射的過程中除了受到恒定的重力的作用外,還受到一個大小隨速度變化的阻力的作用。若運用正交分解法,小球在水平和豎直兩個方向都受到一個變化的阻力作用,導致兩方向上的加速度都不是定值,求解較為復雜，采用斜交分解法可以避開變化的阻力,簡化計算過程。

圖11

圖12

小結：對于這類變阻力問題，在運用斜交分解法構建兩個分運動時,通過補償特定大小的速度，使重力平衡豎直方向上的阻力,從而將這個方向的分運動變成速度大小已知的勻速直線運動，由此來實現對速度矢量的求解,巧妙地將復雜的變加速問題進行簡化處理。

5 結語

從重力場、靜電場、復合場以及變阻力四種情形下類拋體運動的典型問題的解析可以看出：正交分解對運動分解的“門檻”相對較低,但常常要解析兩個方向的運動,處理起來相對繁瑣。而運用斜交分解法時能從速度和加速度兩個角度出發,分解為更易處理的分運動,往往可以分解出一個勻速直線運動或初速度為零的勻變速直線運動。運用斜交分解法，在計算上更多地利用位移、速度矢量三角形,能更加巧妙地解決問題。