基于改進(jìn)最小二乘法永磁同步電機(jī)多參量辨識(shí)*

宋建國(guó), 張振路, 李向誠(chéng)

(北京工業(yè)大學(xué) 信息學(xué)部，北京 100124)

0 引 言

由于溫升、磁路飽和負(fù)載擾動(dòng)等因素，永磁同步電機(jī)(PMSM)在實(shí)際運(yùn)行過程中往往會(huì)出現(xiàn)電磁參數(shù)不匹配的情況，導(dǎo)致控制效果不佳甚至電機(jī)故障。因此，實(shí)時(shí)精確獲取電機(jī)參數(shù)可以有效保障電機(jī)高性能的安全運(yùn)行[1-2]。

PMSM參數(shù)在線辨識(shí)的難點(diǎn)主要集中在多參數(shù)同時(shí)辨識(shí)上，由于電機(jī)數(shù)學(xué)模型方程數(shù)小于待辨識(shí)參量數(shù)，其結(jié)果的收斂性和唯一性會(huì)因電機(jī)工況變化而缺乏理論支撐。為此，國(guó)內(nèi)外研究提出了諸多解決辦法。文獻(xiàn)[3-4]通過注入擾動(dòng)信號(hào)增加方程的秩從而建立滿秩方程組。文獻(xiàn)[5-6]通過測(cè)量額外的電氣參量，構(gòu)建其他的方程納入到辨識(shí)模型中。

根據(jù)電機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)可以構(gòu)建電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型基于PMSM的動(dòng)態(tài)電壓方程，需要采集足夠多不同狀態(tài)時(shí)的辨識(shí)數(shù)據(jù)，但因?yàn)槲⒎制饕氲母哳l分量需要濾波處理，所以難以保證辨識(shí)數(shù)據(jù)輸入辨識(shí)算法的時(shí)效性[7]。電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型基于PMSM的穩(wěn)態(tài)電壓方程建立，方程中不含電流微分項(xiàng)，數(shù)據(jù)集相位延遲導(dǎo)致的錯(cuò)拍輸入問題得以解決[8-9]。因此，本文構(gòu)建穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型，利用遺忘因子遞推最小二乘法分步迭代辨識(shí)，無需外部信號(hào)注入，解決了PMSM同時(shí)辨識(shí)多個(gè)參數(shù)的問題。

1 數(shù)學(xué)模型及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 PMSM的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型

在實(shí)際的PMSM控制應(yīng)用中，PMSM是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)。為了便于研究，先假定PMSM三相對(duì)稱平衡，反電動(dòng)勢(shì)為正弦波形，忽略磁滯和渦流損耗的影響，忽略諧波因素等[10-11]。從而得到PMSM在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下dq軸的動(dòng)態(tài)電壓方程：

(1)

式中：Ud、Uq為d、q軸電壓；Rs為定子電阻；id、iq為d、q軸電流；Ld、Lq為d、q軸電感；ωe為轉(zhuǎn)子電角速度；Ψd、Ψq為d、q軸磁鏈，Ψd=Ldid+Ψf，Ψq=Lqiq。

整理式(1)可得：

(2)

式中：Ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈。

對(duì)于表貼式永磁同步電機(jī)(SPMSM),d、q軸電相感等，即Ld=Lq=Ls,則有:

(3)

電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)，動(dòng)態(tài)電壓方程的電流微分部分為零，可得SPMSM穩(wěn)態(tài)電壓方程：

(4)

1.2 控制系統(tǒng)在線辨識(shí)框圖

PMSM參數(shù)在線辨識(shí)需要在電機(jī)運(yùn)行過程中實(shí)時(shí)采集數(shù)據(jù)并送至DSP運(yùn)算得到參數(shù)結(jié)果。控制結(jié)構(gòu)采用id=0控制方式，在電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行的工況下采集旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓電流信息和轉(zhuǎn)速信息,通過在線辨識(shí)算法得到電機(jī)參數(shù)。系統(tǒng)總體框圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)總體框圖

2 遺忘因子遞推最小二乘法

本文辨識(shí)算法基于最小二乘法在線辨識(shí)PMSM電氣參數(shù)：定子電阻Rs、轉(zhuǎn)子磁鏈Ψf和dq軸電感Ls。模型的最小二乘法如下：

Ym=ΦmΘ

(5)

考慮到DSP運(yùn)算能力和大數(shù)據(jù)量的矛盾，推導(dǎo)適合離散系統(tǒng)運(yùn)算且計(jì)算量合適的遞推最小二乘法，同時(shí)為了解決“數(shù)據(jù)飽和”引起的收斂誤差問題，引入遺忘因子調(diào)節(jié)新舊數(shù)據(jù)的比例，利用新引入的數(shù)據(jù)進(jìn)行遞推計(jì)算，直到參數(shù)估計(jì)收斂到正確結(jié)果[12]。遺忘因子遞推最小二乘法的表達(dá)式如下：

(6)

3 改進(jìn)遞推最小二乘算法

本文基于SPMSM進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)研究，q軸電感和d軸電感相等，故只需要辨識(shí)Rs、Ψf和Ls3個(gè)參數(shù)，但仍不能滿足數(shù)學(xué)模型滿秩要求。

通過對(duì)3個(gè)參數(shù)的分析可知，與電流的瞬時(shí)變化相比，Rs和Ψf的變化緩慢，可以在短時(shí)間內(nèi)視為常量。而電感Ls變化較快且受影響的因素多，甚至?xí)蜣D(zhuǎn)子角度不同而產(chǎn)生較大差異。因此，將定子電阻Rs和轉(zhuǎn)子磁鏈Ψf劃分為慢變化參量，分時(shí)分步固定為常量滿足系統(tǒng)的滿秩條件；將電感Ls劃分為快變化參量，在慢參量固定的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行快參量辨識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)快參量變化的跟蹤。

3.1 慢參量辨識(shí)

慢參量辨識(shí)算法分為兩步循環(huán)迭代辨識(shí)，在已知一個(gè)慢參量Rs或Ψf的情況下，辨識(shí)另一個(gè)慢參量和快參量，在2個(gè)慢參量逐步收斂穩(wěn)定到小于誤差要求后，固定慢參量的值，為快參量辨識(shí)算法提供參數(shù)。因?yàn)殡娮鑂s可以通過毫歐表或直流伏安法測(cè)量獲得，方便簡(jiǎn)單，所以本文在慢參量辨識(shí)過程中將Rs固定為入口參數(shù)。

在定子電阻Rs初次測(cè)量固定或辨識(shí)固定的情況下，辨識(shí)轉(zhuǎn)子磁鏈Ψf和電感Ls。將穩(wěn)態(tài)電壓方程式(4)變換得到式(7)：

(7)

結(jié)合式(5)和式(6)，令n=2,可得輸入數(shù)據(jù)、輸出數(shù)據(jù)以及待辨識(shí)的參數(shù)序列如下：

(8)

在轉(zhuǎn)子磁鏈Ψf辨識(shí)固定的情況下，辨識(shí)定子電阻Rs和電感Ls。將穩(wěn)態(tài)電壓方程式(4)變換可得：

(9)

結(jié)合式(5)和式(6)，令n=2,可得輸入數(shù)據(jù)、輸出數(shù)據(jù)以及待辨識(shí)的參數(shù)序列如下：

(10)

3.2 快參量辨識(shí)

慢參量辨識(shí)算法迭代運(yùn)算得到收斂的Rs和Ψf，在設(shè)定的時(shí)間內(nèi)固定慢參量的值并進(jìn)入快參量辨識(shí)算法，辨識(shí)跟蹤電感Ls。由于該部分待辨識(shí)參數(shù)只有一個(gè)，則基于q軸穩(wěn)態(tài)電壓方程合理構(gòu)造辨識(shí)模型。將穩(wěn)態(tài)電壓方程式(4)變換得到：

Uq-Rsiq-ωeΨf=ωeLsid

(11)

結(jié)合式(5)和式(6)，令n=1,可得輸入數(shù)據(jù)、輸出數(shù)據(jù)以及待辨識(shí)的參數(shù)序列如下：

(12)

慢辨識(shí)算法中為了增加算法穩(wěn)定性和促成最小二乘法格式，待辨識(shí)參數(shù)序列也引入了Ls。但慢辨識(shí)算法主要關(guān)注慢參量的收斂，而后續(xù)試驗(yàn)也發(fā)現(xiàn)在Rs和Ψf收斂時(shí)，慢參量辨識(shí)算法辨識(shí)的Ls誤差較大。因此，電感Ls的辨識(shí)采用快辨識(shí)算法。

3.3 快慢參量分步迭代辨識(shí)

辨識(shí)算法流程如圖2所示。將參數(shù)辨識(shí)算法分為慢辨識(shí)與快辨識(shí)2部分，在電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行的階段進(jìn)入中斷，讀取電壓電流和轉(zhuǎn)速信號(hào)。初次辨識(shí)需要先測(cè)定慢參數(shù)類型中的一個(gè)，其中定子電阻Rs可以利用儀器直接測(cè)得，轉(zhuǎn)子磁鏈可以在空載拖動(dòng)指定轉(zhuǎn)速的情況下，給定dq軸電流為零測(cè)得。若不是初次辨識(shí)，判斷慢參量是否收斂，如果不收斂，進(jìn)入慢參量辨識(shí)階段；如果收斂，在設(shè)定的時(shí)間或變化范圍內(nèi)認(rèn)定慢參量不改變，進(jìn)入快參量辨識(shí)階段。直到設(shè)定的時(shí)間達(dá)到或者變化的范圍超出，認(rèn)定慢參量發(fā)生改變，進(jìn)入慢參量辨識(shí)算法再次更新慢參量的值。

圖2 辨識(shí)算法程序流程圖

4 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)平臺(tái)搭建如圖3所示。控制器采用TI公司的TMS320F28335浮點(diǎn)型DSP,進(jìn)行電機(jī)矢量控制算法及參數(shù)辨識(shí)算法的開發(fā)。

圖3 試驗(yàn)平臺(tái)

電機(jī)型號(hào)為90ST-M02430，SPMSM參數(shù)如表1所示。

表1 SPMSM參數(shù)

采用id=0控制方式，設(shè)計(jì)PMSM矢量控制算法以及雙閉環(huán)調(diào)節(jié)使電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行。通過電流傳感器采集相電流，經(jīng)過AD轉(zhuǎn)換送至DSP控制算法所需，觀察電機(jī)起動(dòng)和平穩(wěn)運(yùn)行階段的相電流波形，分析得到辨識(shí)算法需要的電機(jī)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)的可靠數(shù)據(jù)集。圖4為電機(jī)空載起動(dòng)后平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)的兩相相電流波形。可以看出，電流波形平滑，無尖峰電流，辨識(shí)數(shù)據(jù)滿足穩(wěn)態(tài)電壓方程。

圖4 電機(jī)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行相電流波形

4.1 空載起動(dòng)辨識(shí)試驗(yàn)

基于以上試驗(yàn)平臺(tái)，采用圖2的分步迭代辨識(shí)算法，即改進(jìn)遺忘因子遞推最小二乘算法(FRLS)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。利用毫歐表測(cè)得實(shí)際電機(jī)參數(shù)Rs,辨識(shí)算法進(jìn)入慢參量辨識(shí)階段，當(dāng)Ψf的值收斂且變化率小于5%時(shí)，固定Ψf的值。Ψf辨識(shí)結(jié)果如圖5所示。

圖5 空載試驗(yàn)Ψf辨識(shí)結(jié)果

由圖5可以看出，在約0.4 s時(shí)Ψf已經(jīng)基本收斂穩(wěn)定，相較于改進(jìn)前的遺忘因子FRLS，收斂速度較快。當(dāng)Rs和Ψf均固定時(shí)進(jìn)入快參量辨識(shí)階段。由于慢參量會(huì)緩慢變化，需要階段更新，Rs辨識(shí)結(jié)果如圖6所示。

圖6 空載試驗(yàn)Rs辨識(shí)結(jié)果

由圖6可以看出，改進(jìn)FRLS算法在0.5 s時(shí)Rs已經(jīng)基本收斂穩(wěn)定，與FRLS算法相比，辨識(shí)速度較快。因?yàn)樵诖酥奥齾⒘縍s和Ψf均沒有收斂，所以0.5 s之前FRLS和改進(jìn)FRLS的Ls辨識(shí)結(jié)果均不穩(wěn)定且偏離了真實(shí)值。0.5 s之后改進(jìn)FRLS進(jìn)入快辨識(shí)階段，慢參量已經(jīng)收斂且代入快辨識(shí)算法，Ls很快收斂到了準(zhǔn)確值。而FRLS由于仍然欠秩，Ls辨識(shí)結(jié)果偏離了真實(shí)值。Ls辨識(shí)結(jié)果如圖7所示。

圖7 空載試驗(yàn)Ls辨識(shí)結(jié)果

4.2 負(fù)載辨識(shí)試驗(yàn)

電機(jī)負(fù)載運(yùn)行所伴隨的溫度變化和磁路飽和現(xiàn)象是引起電磁參數(shù)變化的重要因素。定子電阻會(huì)隨著溫度的升高呈現(xiàn)明顯的非線性變化。鐵磁材料的磁導(dǎo)率會(huì)隨溫度不同和磁路飽和現(xiàn)象出現(xiàn)非線性變化，進(jìn)而影響電感和轉(zhuǎn)子磁鏈的變化。不同負(fù)載工況下的永磁體磁鏈如圖8所示。

圖8 不同負(fù)載工況下永磁體磁鏈

電機(jī)空載起動(dòng)運(yùn)行至穩(wěn)定階段后，進(jìn)行負(fù)載工況下辨識(shí)試驗(yàn)。初始給定空載運(yùn)行，持續(xù)至5 s時(shí)通過測(cè)功機(jī)平臺(tái)給定額定負(fù)載，通過分步迭代辨識(shí)算法對(duì)試驗(yàn)電機(jī)的定子電阻Rs、電感Ls及磁鏈Ψf進(jìn)行相應(yīng)辨識(shí)。

負(fù)載試驗(yàn)定子電阻Rs辨識(shí)結(jié)果如圖9所示。可以看出，在5 s前為空載運(yùn)行辨識(shí)結(jié)果，辨識(shí)值穩(wěn)定在真實(shí)值；在5 s給定額定負(fù)載后，定子電流增大導(dǎo)致繞組溫度升高，Rs辨識(shí)值略有增大。

圖9 負(fù)載試驗(yàn)Rs辨識(shí)結(jié)果

負(fù)載試驗(yàn)電感Ls辨識(shí)結(jié)果如圖10所示。給定額定負(fù)載前的辨識(shí)結(jié)果基本接近于真實(shí)值，在5 s給定額定負(fù)載后，定子電流增大導(dǎo)致定子電感磁化曲線靠攏飽和區(qū)域，Ls辨識(shí)值相應(yīng)減小。

圖10 負(fù)載試驗(yàn)Ls辨識(shí)結(jié)果

負(fù)載試驗(yàn)磁鏈Ψf試驗(yàn)辨識(shí)結(jié)果如圖11所示。空載工況下辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)值基本一致，在5 s給定額定負(fù)載，Ψf辨識(shí)值相應(yīng)增大，辨識(shí)結(jié)果抖振略有增大。

圖11 負(fù)載試驗(yàn)Ψf辨識(shí)結(jié)果

4.3 溫升動(dòng)態(tài)辨識(shí)試驗(yàn)

電機(jī)參數(shù)變化受溫度的影響較大，但是電機(jī)內(nèi)部的溫度難以直接測(cè)量。由焦耳定律可知，通電導(dǎo)體差生的熱量跟電流的二次方和時(shí)間成正比，跟導(dǎo)體電阻成反比。故考慮控制電機(jī)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)間，以電機(jī)定子電流標(biāo)定電機(jī)內(nèi)部溫度。

設(shè)計(jì)測(cè)功機(jī)平臺(tái)對(duì)拖試驗(yàn)將電機(jī)拖到期望轉(zhuǎn)速，通過上位機(jī)控制電機(jī)以不同的定子電流穩(wěn)態(tài)運(yùn)行相同時(shí)間(設(shè)定15 min)，進(jìn)而改變不同溫度下的電阻和磁鏈。利用離線辨識(shí)和分步辨識(shí)算法辨識(shí)電機(jī)參數(shù)，結(jié)果如圖12所示。

圖12 慢參數(shù)隨溫度變化曲線

由圖12可以看出，隨著溫度上升，Rs會(huì)緩慢上升，Ψf會(huì)緩慢下降，而快慢參量分步迭代辨識(shí)算法可以準(zhǔn)確地跟蹤參數(shù)的變化。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文分析了PMSM參數(shù)動(dòng)態(tài)辨識(shí)的數(shù)據(jù)相位延遲錯(cuò)拍和穩(wěn)態(tài)辨識(shí)模型欠秩問題。在矢量控制的基礎(chǔ)上控制電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行，采集穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)。設(shè)計(jì)以參量變化快慢為依據(jù)的分步迭代辨識(shí)算法，通過FRLS辨識(shí)電機(jī)參數(shù)，能夠快速收斂至實(shí)際值，并且隨著溫度的改變可以有效地跟隨電機(jī)參數(shù)的變化。而且分步辨識(shí)算法可以根據(jù)實(shí)際運(yùn)行情況分階段調(diào)節(jié)計(jì)算量，降低了DSP的計(jì)算壓力。