基于乘客到站率的公交發車頻率優化

李悅超，楊海飛，鄭長江

（河海大學土木與交通學院，江蘇 南京210098）

隨著我國城鎮化建設的推進，城市的人口和機動車保有量迅速增加，城市發展普遍面臨著嚴峻的交通擁堵問題。 為減輕城市道路設施負載，政府積極鼓勵和引導乘客利用城市公共交通出行。 常規公共汽車作為城市公共交通工具中最重要的出行方式之一，可有效改善城市居民出行結構，提高出行效率。 公交在運營調度時，公交時刻表是關鍵，而發車頻率又是公交時刻表的核心內容， 若能制定科學、合理的公交發車頻率，使其在滿足城市日?？土餍枨蟮耐瑫r，能夠充分利用公交資源，有利于實現社會效益的最大化。

公交發車頻率建模的研究可以追溯至上世紀八十年代。1984 年，Ceder[1]基于客流數據調查，提出了發車頻率的4 種確定方法。 方法分別從線路的日最大斷面客流、站點最大斷面客流、公交載客里程以及載客里程基礎上保證服務水平的改進4 個角度得出。 該發車頻率確定方法簡便有效，為后續研究提供了借鑒與參考。

目前， 已有研究主要從兩個角度考慮優化公交發車頻率：一是從乘客成本（效益）角度來構建模型。 這類建模方法的核心是在發車頻率優化模型中以乘客乘車和等待時間最小為目標[2-4]。 在此基礎上，部分研究進一步深入，考慮了交叉口延誤時間[5]、乘客換乘時間[6]、車內擁擠情況[7]等因素。然而，以上研究對公交運營成本的關注較為欠缺，主要通過設置車隊規模上限的方式確定公交運營的投入上限，而未考慮如公司運營成本、車隊成本等因素的具體影響。 二是從社會成本（效益）角度來構建模型。 例如Wihartiko 等[8]以最大化公交收益同時減少公交成本為目標建立模型；Shashi[9]的發車頻率模型考慮了乘客等待時間和運營成本；張東等[10]針對BRT 公交的特點，考慮乘客與公交公司兩方面建立發車頻率模型。 上述模型考慮了社會的整體效益， 在考慮公交服務水平的同時也注重合理利用公交資源，提高公交載客率。 但在此類研究中，在考慮乘客等車時間這一指標時，對相關影響因素的考慮不夠充分， 導致模型與實際等車時間有一定的誤差。

針對現有研究存在的局限性，文中提出以乘客和公交運營的總成本最小為目標建立發車頻率優化模型，模型考慮乘客的等車時間成本和車內擁擠成本， 以及公交運營中的車輛購置成本和燃油成本，優化發車頻率以降低總成本。 另外，該模型針對乘客等車時間的計算誤差問題，引入乘客到站率這一動態因素，建立乘客到站函數，使得模型在優化計算中具有更符合實際情況的乘客等車時間。 在實際應用中，大規模的乘客和站點數量會增大發車頻率模型的求解難度和計算效率。 考慮到啟發式算法在求解復雜組合優化問題時具有良好的魯棒性和收斂性，文中設計遺傳算法對所建立的多目標優化模型進行求解。 文中綜合考慮乘客和公交公司的對發車頻率的需求，能為公交發車頻率的制定提供更加全面的決策支持。

1 優化模型

文中發車頻率的優化考慮乘客與公交公司兩方面的因素， 其中乘客期望獲得更加舒適的服務（包括減少等車時間、減少車內擁擠情況），而公交公司期望減少其運營成本。 模型的建立應兼顧受發車頻率影響的乘客成本和公交運營成本，才能使其整體的成本降至最小。 文中將分別對乘客成本和公交運營成本建模，并以總成本最小構建發車頻率優化模型。

1.1 模型假設

將全天的公交運營時間分成若干時間段，文中主要研究在特定時段內，單一公交線路的運行車輛從首站至末站的單向行駛過程， 共分為m 個站臺。將該線路首班車從起點出發至末班車到達終點的時間段作為運營時間，運營時間可依據客流特征將其劃分為個時間段，如分為早高峰、晚高峰、平峰段3 個時間段。 針對不同時間段分別設置合理的發車頻率，使該時間段內的總成本達到最小。

在構建模型前需要對實際問題進行概括，對模型進行如下假設：

1） 本次模型僅考慮單一公交運行線路，且不受其他線路的影響；

2） 公交公司提供統一的車輛型號，車輛間座位數、載客數一致；

3） 公交車在運行過程中勻速行駛，不考慮突發事故等情況；

4） 同一線路公交車運行中不考慮公交串車；

5） 乘客在公交站臺排隊上車，服從先到先服務的原則；

6） 公交運行過程中不考慮乘客滯留；

7） 根據客流量在不同時段選用不同的發車頻率，且同一時間段內，發車頻率保持不變。

1.2 乘客到站率

利用乘客到站率這一動態因素，構建乘客到站函數，借此可以計算每個站臺的乘客等車時間。 乘客到站率是指在某個時段內，到達公交站點的乘客數量。乘客到站這一情景屬于相互獨立、互不干擾的事件， 已有研究指出乘客到達站臺服從泊松分布[11]?？梢杂贸丝偷秸韭视嬎隳骋痪€路的某一公交車站，在一段時間內達到的乘客的數量。

首先， 基于以上理論推導出t 時間段內到達n個乘客的概率為

式中：Pn（t）為時間段內到達n 個乘客的概率；λ 為乘客到站率；n 為到達公交站的乘客數量；t 為到達n 個乘客的時間。

借此可以得到，每個乘客到達公交站臺的間隔時間t 服從負指數分布。 即乘客到達站臺的概率密度函數如下

式中λij即為j 時段內第i 個站點的乘客到站率。

綜上， 可以對j 時段內第i 個站點的乘客的等車時間進行計算，以乘客等待一班車為例，計算公式如下

式中：Tij表示在j 時間段內站點i 的所有乘客等待一班車所花費的時間；f（t）表示j 時段內站點i 乘客到達站臺的概率密度函數；t 為本班車的到站時間；ti′為上一班車的到站時間， 通過積分得到該站臺乘客等待本班車所花費的總時間。

1.3 乘客成本建模

乘客在乘車出行的過程中，對時間和車內擁擠情況最為敏感。 考慮行程時間中等車時間與發車頻率關系密切，文中將乘客成本分為乘客在公交站臺等車的時間成本與車內擁擠成本D。 以j 時間段內一次發車為例， 第i 站上車的乘客的等車時間成本計算公式為

式中：Tij為j 時間段內站點i 的所有乘客等待一班車所花費的時間， 通過前文的乘客到站率函數算出；α 為乘客的時間價值，由所在城市的人均工資折算而來。

式中fj為j 時間段內的發車頻率。

1.4 公交運營成本建模

考慮到公交運營中公交車輛購置與車輛行駛里程與發車頻率關聯密切且便于量化，文中將公交運營成本分為由車輛購置帶來的成本和由車輛行駛里程增加而帶來的燃油成本。 其中車輛購置成本U 具體公式如下

式中：η 為車輛每公里的燃料成本；L 為線路的總行駛距離；fj為j 時段內的發車頻率。

結合以上分析，公交運營成本Ce為

1.5 發車頻率優化模型

為使得模型的建立兼顧乘客和公交運營的利益， 規劃目標為乘客成本Cc和公交運營成本Ce之和最小。 將前文乘客成本、公交運營成本公式相結合，建立如下發車頻率數學模型

約束條件反映了公交的發車頻率必須滿足公交的基本服務水平需求，即發車頻率需高于公交最小發車頻率， 同時應考慮公交企業的運能上限，即低于規定的最大發車頻率。文中取最大發車頻率fmax為40 次/h，最小發車頻率fmin為4 次/h；β 為車內擁擠的懲罰因子，擁擠程度越高，懲罰因子越大，其值需滿足非負性。

1.6 模型求解算法

考慮遺傳算法對具有較強的魯棒性和較快的收斂速度，文中使用遺傳算法對模型進行求解。 遺傳算法關鍵步驟包括編碼、適應度函數、遺傳過程（選擇、交差、變異）。 發車頻率的數據格式易于進行二進制編碼，適用于遺傳算法的求解，這也是文中選擇遺傳算法的原因之一。 在遺傳算法中，適應度通常用來反映解的優劣，文中以目標函數作為適應度函數，即對應解的總成本越小，則適應度越高，其特征保留至下一代的概率越高。 遺傳過程的選擇、交叉、變異分別使用經典的賭輪盤法、單點交叉法、設定變異率來確定。

文中具體算法步驟如下：

步驟1：確定編碼形式（二進制編碼）以及參數；

步驟2：生成初始解，在發車頻率范圍內隨機生成規定個數的個體，它們代表不同發車頻率，并將其二進制化；

步驟3：根據問題確定適應度函數，本研究將公交乘客和公交運營總成本作為適應度函數，總成本最小為最優；

步驟4：計算每個個體的適應度值，并排序；

步驟5：遺傳過程，包括選擇、交叉、變異，分別采用賭輪盤法、單點交叉法、設定變異率來確定，得到新的種群；

步驟6：對種群擴充，恢復到設定的個體數量；

步驟7：判斷是否到達到最大迭代次數，如果達到，則轉到步驟8，其他情況則迭代次數加一，轉到步驟4；

步驟8：解碼，輸出結果。

算法將種群數目設置為40，確保其在覆蓋發車頻率范圍的情況下運算速度盡可能快。 最大種群迭代數設置為100，確保在其迭代次數內求得最優解。二進制位設置為20，確保求得發車頻率的精度。 選擇概率，變異概率，交叉概率分別設置為0.9，0.1，0.5，保證遺傳算法的收斂性。 具體遺傳算法的參數如表1。

表1 遺傳算法參數表Tab.1 Genetic algorithm parameters

2 實例分析

本節將分別運用文中提出的基于乘客到站率的多目標發車頻率模型以及Ceder[1]提出的經典發車頻率確定方法對實例進行計算求解，并對求解結果進行對比分析，證明文中提出模型的有效性和性能優勢。

考慮到高峰時段交通擁堵問題嚴重以及乘客出行量的激增，此時乘客成本與公交運營成本之間的矛盾最為突出，且由于平峰時段的數據樣本量較少，本文主要針對高峰時段的公交發車頻率進行優化。

2.1 實例介紹

以常州市B1 路公交車的線路為例，B1 路一共存在30 個站點，首站為武進公交中心站，末站為常州北站，全站行駛距離為30.1 km。 通過交通調查，獲得各站臺在17:10—17:40 這一高峰時段的乘客到站率和下車率數據，以此計算此高峰時段的最優發車頻率。

表2 17:10—17:40 各站臺的乘客到站率和下車率Tab.2 Passenger arrival and drop-off rates at various platforms from 17: 10 to 17: 40

2.2 實例計算

首先利用基于乘客到站率的多目標發車頻率模型和對應的求解方法計算該實例在17:10—17:40 這一高峰時段的最優發車頻率。 將實例數據以及涉及的參數代入其中。 本實例涉及的各參數賦值見表2。

將表1 的數據代入模型， 并對發車頻率求解，得出在17:10—17:40 這一高峰時段，最優發車頻率為13.9 ，對應的發車間隔為4.3 min，此時總成本達到了最低518.2 元。 遺傳算法迭代過程見圖1。

表3 模型參數值Tab.3 Model parameter value

圖1 遺傳算法迭代圖Fig.1 Genetic algorithm iteration diagram

運用Ceder[1]提出的3 種發車頻率確定方法對該實例進行計算，將結果與文中提出的優化模型結果進行對比分析。 下面將3 種方法分別命名為方法一，方法二，方法三并進行介紹。

方法一是基于公交路線中的站點最大斷面客流量確定發車頻率，其計算表達式如下

式中：Fmj為j 時間段內規定的最小發車頻率；Pmj為j時間段內車內乘客總數最大的站點；doj為j 時間段內公交車的預計載客率，doj=γjc；Pij為j 時間段內站點i 至下一站的車內乘客總數；γ 為車輛最大載客數；c 為滿載率， 設為0.8， 表述預期的車內擁擠水平。

數據代入計算得F1=24.6 次/h。

方法二通過結合站點斷面客流和載客公里數確定發車頻率，其計算表達式如下

表4 各方案的成本對比表Tab.4 Cost comparison

式中：Aj為j 時間段內上車乘客總行駛距離，人/km；L 為公交線路長度，km；Fmj為j 時間段內規定的最小發車頻率；doj為j 時間段內公交車的預計載客率，doj=γjc；為各站臺平均斷面流量；Pij為j 時間段內站點i 至下一站車內乘客數；li為站點i 至站點i+1的距離。

數據代入計算得F2=16.2 次/h。

方法三在方法二的基礎上加入抑制車內擁擠的因子βj，其計算表達式如下

式中：Ij為j 時間段內斷面客流高于公交服務水平的站點集合；βj為設定參數，βj=0.75。

數據代入計算得F3=12.6 次/h。

2.3 結果比對

將文中提出的發車頻率優化模型和上文Ceder教授提出發車頻率確定方法一，方法二，方法三。 計算實例的發車頻率并帶入到成本模型中，得到各方案的乘客成本、公交運營成本以及總成本。 各方案的成本對比如表4。

通過比較可以看出，本文中提出的優化模型的總成本相較于其他三種方法成本最低，為518.2 元，比其他三種方法分別降低了18.1 %，1.5 %，1.2 %。說明了模型在高峰時段降低總成本上的有效性。 由于總成本由乘客成本與公交運營成本組成，可以看到：方法一更多考慮了乘客的成本，提高了公交服務水平，但過高的發車頻率也使得公交運營成本過高，影響了整體收益；而方法三則相反，主要減少了公交運營的成本，但乘客成本過高，影響乘客的出行感受；方法二的公交運營成本和乘客成本介于兩者之間，但相較于文中提出的模型，并未達到最低成本。 可以看出，文中提出的優化模型得出的發車頻率較好地平衡了兩者之間的關系，使得高峰時段總成本達到了最低。 由于只針對高峰時段進行了分析，在后續的研究當中，通過進一步補充數據對平峰時段進行優化。

3 結論

文中提出了基于乘客到站率的發車頻率優化模型，并且運用遺傳算法進行了求解。 通過實例計算證明了模型在高峰時段降低乘客與公交運營的總成本的有效性。 本研究主要結論包括以下幾個方面：

1） 提出基于乘客到站率的發車頻率優化模型，模型考慮了乘客的等車時間成本、車內擁擠成本以及公交運營成本。 其中乘客的成本通過引入乘客的到站率函數來計算，通過協調乘客成本和公交運營成本來使得總成本最小。

2） 根據本研究的問題特點設計了相應的遺傳算法，確定設計思路和具體步驟，對文中提出的公交發車頻率優化模型進行求解。

3） 利用常州B1 路公交線路的實例數據，通過與經典發車頻率確定方法的結果比較，驗證了文中提出的模型在高峰時段降低乘客和運營總成本方面的顯著效果。

綜上，文中提出了基于乘客到站率的發車頻率優化模型，通過考慮乘客成本和公交運營成本兩方面，確定最優的發車頻率，使得公交整體的總成本達到最低。 研究為公交發車頻率的確定提供決策支持，利于促進公交進一步發揮社會效益。