針對機動目標的最優滑模制導律設計

張哲銘，馬清華，陳 韻，許 琛，王帥為

(西安現代控制技術研究所，西安 710065)

0 引言

隨著現代武器的發展，在精確打擊目標的設計中，除了命中精度的基本要求外，還要求以特定的落角來打擊目標。例如，對于坦克來說，落角約束能使導彈以期望的角度攻擊坦克的薄弱部位，實現更有效的毀傷。而且，隨著現代戰爭的需求，目標的機動性越來越強，這就對制導律提出了一定的要求，因此，有必要研究以機動目標為對象的制導律。

近年來，具有落角約束的終端制導律引起了越來越多的關注，國內外的學者進行了許多相關的研究。文獻[1]針對直升機載空地導彈配裝多種戰斗部時不同落角的需求，利用最優控制理論研究了帶有落角控制的制導律；文獻[2]研究了多約束條件下距離加權最優滑模制導律；文獻[3]研究了多約束條件下反演滑模制導律的設計，能有效實現期望落角和中靶精度；文獻[4]針對空地武器三維空間內的制導模型，運用二次型最優推導出一種最優制導律，在實現落角控制的基礎上，攻角、側滑角變化平穩；文獻[5]將目標機動加速度看作未知有界的不確定性，基于非奇異終端滑模和自適應滑模干擾觀測器設計了終端角度約束的制導律；文獻[6]針對導彈攔截機動目標時要求限制終端攻擊角度的問題，提出了一種基于擴張干擾觀測器(EDO) 的有限時間收斂制導律。

基于對大機動目標跟蹤的需求，文中在最優控制理論的基礎上推導出了一種針對機動目標的多約束制導律。仿真結果表明，該制導律對機動目標的跟蹤特性良好。

1 導彈和目標的相對運動方程

建立二維縱向平面的導彈與目標的數學模型進行制導律的分析，同理可將該分析方法應用于側向平面。

將導彈和目標視為兩個質點，分析導彈和目標在縱向平面內的相對運動關系。彈目運動關系圖如圖1所示。

圖1 彈目運動關系圖

由圖1可以得到以下彈目運動方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:wR，uR分別為目標和導彈加速度在視線方向上的分量；wq，uq分別為目標和導彈加速度垂直于視線方向上的分量。

(5)

式中，aT和aM分別為目標和導彈加速度在視線法向上的分量，針對式(5)建立狀態方程：

(6)

2 最優滑模制導律

2.1 帶有落角約束的最優制導律

對于各狀態變量，起始時刻有：

終端條件為：

x1(tf)=0x2(tf)=0

假設aT=0，選擇脫靶量和能量控制最小函數作為最優性能指標[8]。

(7)

這是一個典型的二次型性能指標的最優控制問題，由最優控制理論可知，最優控制的解為：

u*=R-1BTPX*

(8)

選取R=1，u*=aM,式(8)變為：

aM=-BTPX*

(9)

P為滿足以下逆黎卡提微分方程的解:

(10)

令：

則式(10)可以表示為：

(11)

(12)

由式(12)中第三式可得：

(13)

(14)

將式(14)代入式(12)中第二式可得：

(15)

由式(15)可得：

(16)

其中dt=-dTg[8],故式(16)可解為：

(17)

將式(17)代入式(12)中第一式可得：

(18)

由上述推導過程可求得逆矩陣P-1的解：

(19)

從而可得到P的解：

(20)

將式(20)代入式(8)可以得到最優控制：

(21)

令x1=q+θf，其中θf為期望落角，給定θf>0，因為終端條件x1(tf)=0，最終落角為負值。式(21)可變為：

(22)

式(22)即為帶有落角約束的最優制導律，式中第二項為傳統比例導引，第一項為角度約束項，保證命中點的落角滿足期望值。

2.2 最優滑模制導律

對于變結構制導律而言，首先設計滑模超平面，使得系統的滑動模態趨于穩定，并滿足最優制導律的性能指標要求，首先定義滑模面：

(23)

(24)

將aT視為干擾項f(t)，把式(5)、式(21)代入式(24)中可得：

(25)

忽略干擾項，構造最優趨近律為:

(26)

結合式(5)，可以解得:

(27)

(28)

可以證明，對于運動目標，當‖F(t)‖有界時，制導律(如式(28))可以保證制導過程中的穩定性[11]。

考慮到干擾項F(t)難以直接測量，這里采用觀測器來補償該干擾項。

3 基于觀測器補償的制導律設計

考慮如下單輸入單輸出系統:

(29)

(30)

觀測器如下：

(31)

由此，式(28)可以表示為：

(32)

最終得到的觀測器補償的最優滑模制導律共有4項，第一項為k=4的比例導引，第二項為角度約束項，第三項為變結構修正項，第四項為干擾項，即目標的機動加速度。

4 仿真驗證

對最優制導律式(22)及最優滑模制導律式(32)進行仿真對比分析。由推導過程可知aM為導彈加速度在視線法向上的分量，而實際制導指令是針對導彈的法向過載給出的，因此對式(22)和式(32)進行轉換可得：

(33)

(34)

其中，aM1為最優制導律推導得出的導彈法向加速度，aM2是最優滑模制導律推導得出的導彈法向加速度，式(33)和式(34)分別是仿真過程中采用的最優制導律和最優滑模制導律。

仿真條件一：導彈初始位置(0 m，5 000 m)，速度900 m/s；目標初始位置(15 000 m，1 000 m)，速度為-720 m/s；加速度aT=0 m/s。初始彈目視線角q=-arctan(4 000/15 000)，重力加速度g=9.81 m/s2，ε=0.01，δ=0.01。期望落角設置為θf=20°，觀測器常數L=5 000,λ0=2L1/3,λ1=1.5L1/2,λ2=1.1L。

導彈與目標運動軌跡、導彈落角、導彈加速度曲線及目標機動加速度和觀測器觀測值如圖2～圖6所示。

圖2 導彈與目標運動軌跡

圖3 導彈落角

圖4 視線角速度

圖5 導彈法向加速度

圖6 目標機動加速度和觀測器觀測值

仿真結果表明：針對靜止目標，最優制導律與最優滑模制導律的運動軌跡基本一致，但是最優滑模制導律的落角變化更加平滑，視線角速度能平穩的收斂到0°/s附近，導彈的法向加速度的變化也十分平穩，視線角速度與導彈法向加速度均未像最優制導律那樣出現末段跳變現象。說明針對非機動目標，該制導律也要優于最優制導律。

導彈與目標運動軌跡、導彈落角、導彈加速度及目標機動加速度和觀測器觀測值曲線見圖7～圖11所示。

圖7 導彈與目標運動軌跡

圖8 導彈落角

圖9 視線角速度

圖10 導彈法向加速度

圖11 目標機動加速度和觀測器觀測值

仿真結果表明：系統在大的時變干擾下，只要觀測器的增益選的足夠大，最優滑模制導律可以保證觀測器觀測值有限時間收斂。與最優制導律相比，該制導律的運動軌跡變化幅度要更加平滑，落角的收斂速度快且變化較平緩。視線角速度能夠平穩的收斂到0°/s，且未發生大的跳變。最優滑模制導律的導彈法向加速度初始會產生一個比較大的變化(該變化為觀測器收斂到期望觀測值的過程中產生的震蕩)，之后平穩變化直至末端收斂到50 m/s2左右(目標機動加速度)。最優滑模制導律的導彈法向加速度對于干擾(目標機動加速度)的跟蹤更好，跟蹤能力明顯優于最優制導律。

5 結論

在最優控制理論基礎上結合滑膜變控制理論設計了最優滑模制導律，設計有限時間擾動觀測器對目標機動進行補償。仿真結果表明設計的最優滑模制導律對機動目標的跟蹤狀況優于最優制導律，視線角速度、落角的變化平滑，能有效跟蹤大機動目標，保證精確命中的情況下各曲線保持平滑。該最優滑模制導律可以滿足多約束對機動目標的跟蹤，滿足現代戰爭的需求。