試論初中幾何類比探究題型的教學策略

黃宜海

（廣東省深圳市深圳中學初中部數學科組，廣東深圳 518020）

引 言

“類比探究”指的是從某個或某幾個對象本身的內容、方法、過程和結果出發進行相關類比和聯想，將熟知的數學對象的特性遷移到另一個對象，從而獲得某種特性的方法[1]。幾何類比探究題就是建立在這種類比思想方法之上的題型。初中階段的幾何類比探究題型主要有圖形變化引起的類比、圖形變換引起的類比以及動點引起的類比三種。本文研究了初中幾何類比探究題型的教學策略。

一、幾何類比探究題的特征

初中數學類比探究題型具有主觀性、拓展性和創新性等特點，其具體表現為以下幾個主要特征：題目一般會有三問或多問；每問給出的條件、圖形、結論等相識度較高，關聯密切；題目給出的情況一般由特殊到一般，或由簡單到復雜，逐步深入；題目解答的過程需要綜合運用大量幾何知識、幾何模型、類比思想、邏輯推理、探究和創新精神等[2]。

類似于以下例題的問題即可判斷為幾何類比探究題型。

例1：如圖1，在Rt △ABC中，∠B＝90°，BC＝2BA＝8，點D, E分別為CB和CA的中點，再把DE連接起來，將△CED繞點C按照順時針方向對其進行旋轉，其旋轉的角度標記為角α（見圖2）。問：

（3）當△EDC旋轉至A,D,E三點共線時，請直接寫出線段BD的長。

圖1

圖2

二、初中生解答類比探究題的具體困難

（一）基礎知識缺乏靈活應用，數學邏輯間類比受阻

類比探究題型有填空、計算、證明等多種形式。有些學生在解答這類題型時，由于基礎知識不牢固，不能結合已知條件，將幾何模型的平移、對稱、旋轉等知識與內在邏輯結合起來思考，不能厘清其中的關系而無法解答問題[3]。例如，有的學生不能區別菱形與平行四邊形的差異；已知圖形的邊和面積，無法求高等，這些都是因為其未能正確理解、掌握和靈活應用相關概念、定理，邏輯思維能力欠缺。

（二）類比不當導致解題策略選擇失誤

在集合圖形的計算或推理過程中的類比不當，或者不能恰到好處地類比，導致解題錯誤是學生在初中數學學習階段常見的困難。類比不當產生的問題關鍵在于學生依據題目所提供的條件或圖形，在自己的知識結構中找不到與之相對應的解題方法，或者建立不起來相對應的數學模型，出現類比障礙。具體來說，一種情況是學生不能用上一個問題的方法通過類比的手段來解決下一個問題；另一種情況是學生將兩個問題結合起來分析，找不出其中的類比依據，形成類比不當，導致解題策略的選擇失誤，解不出題或解題錯誤。

（三）探究不當導致操作困難

類比探究題一般是綜合性的壓軸題，考查的知識面比較廣。在幾何圖形的計算或推理過程中，學生需要使用數學語言、推理和證明等探究性的知識、方法和手段[4]。初中生如果缺失這些主動研究數學的探究精神，未掌握一定的方法，無法建立科學合理的類比探究過程、操作不當，就會在運作階段遇到困難。此外，還有一些心理方面的因素也極容易造成學生操作不當，從而產生困難和錯誤。

三、初中數學類比探究題的教學策略

（一）把握好數學基礎知識和解題技能

對于數學類比探究題型來說，每一個解答步驟都比較關鍵，學生需要依據解題邏輯逐步完成。而這些小步驟是由具體的數學基礎知識組成的。因此，在教學中，教師不僅要強調定義、定理、概念等基礎知識的重要性，幫助學生理解透徹，還要在傳授幾何知識的過程中就其特性歸納、分類常見的題型，有意識地訓練學生的邏輯推理能力和數形結合的思維能力。

以上文中例題1（見圖1）的解答為例，試題的考點為三角形、旋轉相似和比例線段。這就需要學生掌握上述幾個幾何圖形的基本知識、性質和變化特點。該題的綜合性極強，充分展現了如何運用類比探究方法解決問題的特點。問題（1）解決后，問題（2）即可隨之順利解出。而問題（3）是利用類比探究法解決問題，并得到一般性的解題結論，值得總結和作為將來的解題參考。這一類類比探究題型解題的一般方法可以歸結為以下幾個步驟：首先，讀題，結合題干和分支特殊條件，解決第一個問題；其次，利用第一個問題的解題方法類比解決下一問題；最后，結合分析、類比、結構、圖形等性質，找出后面各小題的異同，依據不變的特性，探索后面較為復雜題目的解題方法。

（二）提升數學題目的閱讀和理解力

培養細心讀題和認真思考的習慣，是正確解答數學題的基礎。學生如果沒有讀懂題目，僅憑經驗答題；或者沒弄明白試題中的條件和出題意圖，就很難快速找到解題方法，正確解出相應題目[5]。要想認真閱讀數學題目，學生就要將題目中的條件、圖像、輔助線、結論（問題）等了解清楚，然后回憶相關的數學知識、技能和模型，探尋類比方法，理解試題的意圖，找到解題的突破口。這些閱讀和理解能力，需要學生平時的日積月累，通過熟記和引申，提高數學核心素養。同時，答題過程要符合數學邏輯與思維，不能任由自己的意愿亂寫。學生要盡量做好難題、錯題的筆記，并有意識地與原有經驗進行類比，把自己的思路清晰、整潔地書寫出來，從而使答題過程完整且整潔。

（三）培養類比的數學思想方法，分享解題技巧

培養類比的數學思想方法，可以幫助學生將所學的知識和技能有效結合，并轉化成各種能力，也有利于學生加強記憶，便于今后的學習[6]。當前的初中數學教材中還有一部分概念、公式和定理沒有給出具體的推理。因此，教師要在實際教學中讓學生參與知識的推理、探索和結果的呈現，并在這一過程中推動師生、生生之間的交流與溝通，分享解題技巧，提高學生自主學習和思考的能力。同時，教師還要結合實際生活中的問題，分析類比探究方法在其中的應用范圍，促進學生數學素質的提升。

結 語

幾何類比探究題是初中數學中極為常見且重要的一類題。教師要引導初中生掌握一定的解題技巧和方法，學會從簡單到復雜、從具體到抽象的領悟中逐漸積累經驗，在面對陌生問題時能夠有目的、合理化地進行“類比”和大膽“猜想”，深入分析和處理好這類探究性問題，并在特定的知識背景和情境下嘗試創新，逐漸形成針對實際情況處理并解決問題的科學的思路和方法。