飽和沖量及其等效方法在艙室內爆炸中的應用

朱凌，田嵐仁，李德聰，王佳月，張霄

1 武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢 430063

2 中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064

0 引 言

船舶與海洋工程結構物在運行過程中會受到脈沖載荷的沖擊作用，例如爆炸、砰擊等。在結構響應研究和實際結構設計中，通常將爆炸載荷簡化為具有初速度的沖擊載荷或者脈沖載荷。而隨著各種反艦武器性能的提高，其能夠穿透船體外板在艙室內部發生爆炸，使得爆炸載荷對船體結構的威脅日益增加，因此研究約束空間（有限空間）內的抗爆、抗沖擊影響越來越重要。

然而，相比敞開環境下的爆炸，約束空間的內爆炸載荷遠比自由場的空爆載荷復雜，原因在于有限空間內的爆炸沖擊波的壁面反射會造成多峰效應，經反射波疊加，其爆炸峰值會高于敞開環境下的峰值，作用時間也顯著變長，且通常會存在準靜態超壓的現象[1-3]。迄今，針對艙室內爆炸沖擊波的多峰效應及其存在的準靜態超壓等現象的研究成果頗豐，但尚未完全探明內爆炸沖擊載荷作用下結構響應的力學機理。

20 世紀50 年代以來，許多學者研究了脈沖載荷作用下的結構動態塑性響應特性，所采用的大部分理論方法也都是基于理想的剛塑性（R-PP）假設，這是因為在忽略彈性變形時可顯著簡化理論模型，從而得到塑性變形的解析表達式。目前，在大撓度下的結構動態響應剛塑性理論求解方面應用得較廣泛的是模態近似分析法[4]，運用該方法避免了考慮瞬態響應階段的移行鉸模型在求解中塑性鉸兩側物理量不連續性和非線性的問題，使理論分析變得更簡單。之后，國外許多學者又進一步發展了模態近似分析法[5-12]。在國內，黃震球[13]和顏豐等[14]基于動量和動量矩守恒發展了加筋板結構塑性變形的解析方法，所得結果與試驗結果吻合較好。吳有生等[15]和牟金磊等[16]采用能量法考慮大變形時的應變關系及中面膜力的影響，求解了船體板結構塑性大變形。

上述研究爆炸沖擊載荷作用下的結構響應特性針對的脈沖載荷持續時間較短，即結構變形將在載荷結束之前結束。然而，如果載荷持續時間較長，結構動力響應中將出現飽和沖量現象，從而影響采用理論方法計算所得結果的合理性和準確性。因此，本文將系統地總結飽和沖量概念的提出及研究發展成果，并以艙室內爆炸為典型算例，分析內爆炸載荷曲線的特性和結構響應特征，基于飽和等效方法將復雜的內爆炸載荷等效為矩形脈沖載荷，采用理論及數值方法計算等效載荷，給出相關的設計曲線和計算公式。通過研究艙室內爆炸作用下的飽和沖量現象及飽和等效方法，以更準確地得到結構塑性動力響應結果，并預測結構變形的終止時間與載荷間的關系。運用上述方法還可減少頻繁的復雜非線性數值計算，更有效地開展船體結構的抗沖擊設計優化。

1 飽和沖量概念的提出與研究發展

20 世紀90 年代，Zhao 等[17]定義了剛塑性結構在中等強度脈沖載荷作用下的一種特征現象—“飽和沖量”，其反映的是板在塑性動力響應中的一個特性，即板受到強烈的橫向壓力脈沖載荷作用時會產生較大的變形，而大變形誘發的膜力對板的承載能力起到了增強作用。若板受到足夠長時間的矩形壓力脈沖作用，就只有脈沖載荷達到飽和時間前的沖量對最大及最終變形有影響，之后的加載脈沖不會進一步增加變形量。此后，Zhao 等[18]又將飽和沖量概念拓展到基于理想的剛塑性模型的簡支圓板、簡支和固支方板以及圓柱殼中，利用模態分析法得到了封閉形式的解析解。然而，“飽和沖量”概念只對應于理想的剛塑性結構最大變形情況，未考慮彈性影響。鑒此，Zhu[19]提出一種運用有限差分方法來分析固支方板的彈塑性響應數值程序，基于該程序，Zhu等[20]提出了分別對應于“最大撓度”和“最終撓度”的“飽和沖量”，從而完善了基于剛塑性和彈塑性模型的飽和沖量現象的定義。

針對基于剛塑性?彈塑性飽和沖量現象的問題，席豐等[21]利用最小加速度原理，通過建立數值方法，分析了脈沖載荷作用下簡支圓板的動力響應，指出在高載荷范圍內也存在脈沖載荷作用下的“飽和沖量”現象。此后，席豐等[22]又分析了脈沖載荷作用下的鋼梁動力響應及反常行為的應變率效應，指出在脈沖載荷作用下發生塑性變形的鋼梁總是存在“飽和沖量”現象，且發生時與載荷強度及載荷作用時間相關。

近年來，武漢理工大學朱凌教授的研究團隊針對飽和沖量問題開展了進一步研究，并更系統地予以了分析，例如：尺度效應對方板飽和沖量的影響[23]；長寬比和邊界條件對矩形板飽和沖量的影響[24]；材料應變率敏感性和應變硬化對飽和沖量的影響[25]；不同脈沖載荷作用下的方板飽和沖量[26-27]；考慮移行鉸的方板飽和沖量[27]；同時考慮瞬態響應階段和準確屈服面的梁飽和沖量[28]。此外，還基于飽和沖量的研究，提出了物理意義更明確且計算結果更準確的脈沖載荷等效方法[26-27]，改進了Youngdahl[29]于70 年代提出的半經驗等效方法。然而，上述研究尚未在飽和沖量的應用層面開展更深入的探討。

2 約束空間爆炸下船體板飽和沖量計算

2.1 有限元模型

結構響應的理論分析通常是在假定載荷已知的基礎上開展的，不同于敞開環境下的爆炸，約束空間內爆炸載荷曲線通常很難被寫成某種較為通用的函數形式。因此，可以針對需要分析的模型，利用有限元軟件計算出爆炸所產生的脈沖載荷。此外，過去幾十年以來，學者們開展了大量的爆炸載荷實驗和數值研究，若針對的是某一系列結構，可通過前人的研究成果確定較為合理的載荷曲線形式，并直接對結構進行動力響應的理論分析。本文采用AUTODYN 有限元軟件計算艙室內爆炸載荷及結構動態響應，選取圖1 所示艦船右舷典型艙室的結構計算模型[1]，模型的尺寸為5 000 mm×3 000 mm×2 500 mm。

圖1 簡化后的艙室結構計算模型Fig. 1 Simplified calculation model of cabin structure

為簡化研究和定量分析，僅采用無加筋板進行原理性探討，并參考文獻[30-31]將艙室內爆炸簡化為炸藥在艙室中心爆炸。如圖2 所示，可變形壁面（橫艙壁）為3 000 mm×2 500 mm×14 mm（2L（長）×2B（寬）×H（厚））的矩形板，其他5 個壁面為剛性壁面，設定艙室為完全封閉空間。矩形板的4 個端部為固支，空氣域網格劃分為110×60×50，網格數330 000，采用高階單物質Euler-FCT 求解器。矩形板網格劃分為120×100，網格數12 000，板與空氣采用完全耦合實現相互作用。本文仿真計算選取4 組TNT 球狀炸藥。

圖2 艙室內爆炸有限元模型Fig. 2 Finite element model of cabin explosion

2.2 計算材料模型

根據文獻[1]中的材料參數，選取Q235 鋼作為矩形板材料，密度為7 800 kg/m3，楊氏模量E=210 GPa，泊松比υ=0.3。采用雙線性彈塑性本構模型，材料的應變率效應由Cowper-Symonds模型描述，相關參數見表1。

自由空氣采用的是γ 律狀態方程描述。TNT炸藥爆轟產物的壓力則由JWL 狀態方程描述:

式中：P為爆轟產物的壓力；V=ρ0/ρ，為相對體積，其中ρ0=1 630 kg/m3，為炸藥初始密度，ρ 為炸藥爆轟產物的密度；E0為單位體積炸藥的初始內能；A1，A2，R1，R2，w為與炸藥性質相關的材料常數；e 為自然常數。其他參數見表2。

表1 Cowper-Symonds 強度模型參數Table 1 Parameters of Cowper-Symonds strength model

表2 TNT 炸藥JWL 狀態方程參數Table 2 Parameters of TNT explosives JWL state equation

2.3 仿真計算結果

圖3 所示為采用20 kg 炸藥在內爆炸作用下橫艙壁的沖擊波壓力時歷曲線。由圖可見：壁面反射作用使沖擊波壓力含有多個峰值；因艙室模型未設置泄爆口，內爆炸后產生的準靜態超壓Ps始終作用在結構上，板上不同位置的壓力峰值有所差別，但準靜態壓力值基本一致。由于受到復雜的反射波影響，約束空間內爆炸下的最大壓力峰值Pm尚無可廣泛使用的經驗公式。對于艙室內爆炸準靜態超壓，文獻[2]總結了4 種經驗公式。圖4 為本文有限元計算得到的準靜態超壓值（帶圓形黑色實線）與這4 種經驗公式的對比。圖中紅色叉點在橫坐標上的時間即對應于炸藥量下的飽和時間tsat。由圖可見：本文計算結果與Moir和Carlson 經驗公式得到的結果較為接近。同時，還可發現最大壓力峰值（帶矩形黑色實線）和準靜態超壓隨著炸藥量的增加都大致呈線性上升的趨勢。

圖3 橫艙壁沖擊波壓力時歷曲線（20 kg TNT）Fig. 3 Pressure time histories of blast wave on the transverse bulkhead (20 kg TNT)

圖5 所示為3 組不同炸藥量下的爆炸載荷沖量I隨時間的變化曲線。由圖可見，在反射波作用下，沖量經過初始時間段的波動后大致呈線性上升的趨勢，這主要是后期準靜態超壓所致。圖6所示為3 組不同炸藥量下板中心撓度W0隨時間的變化曲線。結合圖3 可發現，板在飽和時間tsat（藍色點劃線所示）后仍受到大于板的靜態塑性極限載荷的壓力作用，沖量也始終處于上升的趨勢，但板的變形已達到最大值且未再增加。這說明只有早期壓力脈沖載荷所形成的沖量對板的實際變形有效，后期的沖擊壓力并未引起板的變形值進一步增加，此即為“飽和沖量”現象，對應時間tsat為飽和時間，對應沖量Isat為飽和沖量。

圖4 壓力峰值和準靜態超壓隨炸藥量的變化曲線Fig. 4 Variation of pressure peak values and quasi-static overpressure with explosive mass

圖5 不同炸藥量下沖量時歷曲線Fig. 5 Time histories of impulse with different explosive mass

圖6 不同炸藥量下板中心撓度時歷曲線Fig. 6 Deflection time histories of plate center with different explosive mass

上述分析表明，艙室內爆炸下結構存在“飽和沖量”現象，若預測由此導致的結構大變形應基于“飽和沖量”的相關方法。但是，在彈性效應的影響下，由永久撓度來確定tsat的精確值較難，故可選擇最大撓度進行分析。需要指出的是，基于最大撓度分析的tsat值通常偏小，但隨著載荷幅值的增大，即結構塑性變形的增加，2 種撓度確定的tsat的差值會逐漸縮小。

圖7 和圖8 分別給出了飽和時間tsat、飽和沖量Isat和板中心點最大撓度W0sat隨炸藥量m的變化關系。由圖可知：飽和時間隨炸藥量的增加逐漸減少，但減少的趨勢逐漸變緩，這與剛塑性的理論分析中飽和時間不隨壓力峰值變化有所出入，主要是由彈性效應及載荷曲線發生變化所致。此外，最大撓度和飽和沖量則隨炸藥量的增加而大致呈線性上升的趨勢。盡管本文計算算例中的載荷曲線較復雜，但兩者的趨勢與文獻中采用的矩形脈沖[24]、線性衰減脈沖[26]或者線性上升指數衰減脈沖[27]的圖線趨勢一致。

圖7 飽和時間隨炸藥量的變化曲線Fig. 7 Variation of saturated time with explosive mass

圖8 飽和沖量與板的中心最大撓度隨炸藥量的變化曲線Fig. 8 Variation of saturated impulse and maximum deflection of plate center with explosive mass

3 飽和等效方法的應用與驗證

3.1 載荷等效處理過程

在工程實際中，脈沖形狀通常十分復雜，例如艙室內爆炸的壓力時歷曲線具有多個峰值且形狀不規則，這對于求解脈沖載荷作用下的結構響應和結構設計造成了極大困難。而工程中有很多結構需優化設計和反復計算，若每次都采用非線性有限元計算，計算資源消耗太大。因此，基于有限元計算或實驗測量等方法得到載荷時歷曲線，可將其引入到載荷等效方法中，結合理論分析快速計算結構響應，以減少繁瑣的復雜非線性數值計算。文獻[29] 提出的消除脈沖載荷形狀影響的等效方法，可將一個任意形狀的脈沖由有效沖量Ie和有效載荷Pe這2 個量來表征：

式中：P(t)為脈沖載荷；ty和tf分別為塑性變形開始和結束時刻；2tmean為等效后的矩形脈沖長度。通過式（3）找出該有效脈沖的重心，作為等效矩形脈沖的中心，再由式（4）確定等效矩形脈沖的幅值，從而對原脈沖載荷曲線進行“掐頭去尾”后得到有效沖量Ie。

在實際應用中，通常很難確定tf，文獻[29]提出采用經驗公式（5）進行“去尾”處理。

式中，Py為結構的塑性極限載荷。

在過去幾十年內，Youngdahl 這種半經驗等效方法被廣泛用來簡化處理實際的工程問題。然而，該等效方法并未給出理論依據。近幾年，文獻[24-25]在飽和沖量研究的基礎上，提出了物理意義更明確，且計算結果更準確的解析脈沖載荷等效方法，從而改進了Youngdahl 半經驗等效方法。改進后的等效方法由飽和時間tsat代替式（5）中的tf，劃分出脈沖中的有效部分，得到飽和沖量Isat，然后利用文獻[29]提出的“重心等效”方法獲得等效的矩形脈沖載荷。

在本文算例中，采用飽和等效方法對實際艙室的內爆炸載荷進行了等效，原理如圖9 所示。圖中，對于固支矩形板，靜態塑性極限載荷由式（6）計算[32]，

將塑性極限彎矩M0=σ0H2/4和 寬長比β=B/L代入，可以計算得到本文模型的靜態塑性極限載荷為Py=74.6 kPa。

圖9 飽和等效方法示意圖Fig. 9 Schematic diagram of saturated equivalent method

由圖9 可見，載荷曲線初始段上升得很快。為簡化分析，ty可以取為0，計算結果的誤差將隨著載荷幅值（炸藥量）的增大而減小。Youngdahl 等效方法建議采用式（5）近似地確定塑性變形結束時刻tf，但從本文算例可見，在存在準靜態超壓的情況下，整條載荷曲線的值長時間處于靜態塑性極限載荷Py之上，使得式（5）無法成立。這說明Youngdahl 等效方法不適用于艙室內爆炸載荷的等效計算。表3 給出了等效后的矩形脈沖載荷參數。需要注意的是，基于等效后的載荷采用理論方法或者有限元法計算響應時，應考慮是否有大氣壓的影響。表3 中，P0為實際壓力峰值，Isat'為減去大氣壓影響后的飽和沖量。

表3 等效后的矩形脈沖載荷參數Table 3 Parameters of equivalent rectangular pulse loading

3.2 等效方法的理論與仿真驗證

3.2.1 剛塑性理論方法

得到矩形等效載荷后，可非常方便地對結構響應進行理論分析及求解。白雪玉等[24]針對矩形脈沖載荷作用下矩形板的飽和沖量現象進行剛塑性理論分析，給出了板的無量綱飽和撓度及飽和時間的計算公式：

式（7）和式（8）適用于2tmean≥tsat的情況，但等效后的矩形脈沖長度2tmean

然而，在爆炸載荷作用下，由于船體鋼結構響應通常受應變率的影響很大，所以為得到更準確的結構大變形的解，分析時計及應變率效應具有工程實際意義。文獻[33]假設應變率服從Cowper-Symonds 模型，從對剛體撞擊下的矩形板不同區域的應變率進行計算，給出了矩形板的整體應變率加強因子。為量化應變率效應對飽和沖量現象的影響，文獻[25]針對脈沖加載的方板進一步開展了研究。這些方法也可擴展到脈沖加載的矩形板研究中。

對于2tmean≥tsat的情況，假設應變率服從Cowper-Symonds 模型，空間平均應變率為

對于2tmean

則考慮了應變率效應的無量綱飽和撓度為

因此，可得等效后的矩形脈沖載荷作用下船體結構的最大撓度理論結果。由于文獻[20]前期研究中指出飽和時間與板厚無關，所以可將等效載荷代入到上述理論公式中進行結構的板厚設計，從而可減少復雜的非線性數值計算。

3.2.2 彈塑性有限元仿真

鑒于AUTODYN 軟件中不便于在板結構上準確施加均布載荷，本文采用Abaqus/Explicit 軟件對板結構施加等效后的矩形脈沖載荷進行仿真計算。計算時，采用與AUTODYN 中相同的模型，但無需設置空氣域。矩形板網格取60×50，網格類型為S4R 四節點減縮積分殼單元，如圖10 所示。矩形板材料設置為AUTODYN 軟件計算中相同的材料參數，計及應變率效應。

圖10 矩形板有限元計算模型Fig. 10 Finite element model of rectangular plate

3.2.3 計算結果

圖11 所示為采用不同方法計算得到的簡化矩形板艙室橫艙壁的最大撓度值Wsat隨炸藥量的變化曲線。圖中，3 種計算方法所得結果分別為：

1） 采用AUTODYN 模擬實際炸藥爆炸過程得到的結構變形（實際載荷有限元計算值）；

2） 對板結構施加等效后的矩形脈沖載荷，采用Abaqus 計算得到的結構變形（等效載荷有限元計算值）；

3） 對板結構施加等效后的矩形脈沖載荷，采用剛塑性理論方法計算得到的結構變形（等效載荷理論計算值）。

由圖11 可知，當對板結構施加等效后的矩形脈沖載荷時，采用有限元方法和理論方法計算的結果與實際結果十分接近，尤其是將等效載荷輸入到有限元中計算時，與實際模擬結果的偏差小于10%；對于剛塑性理論方法，炸藥量較小時，誤差較大，而當變形接近或超過10 倍板厚時，理論方法的預測結果較好。

圖11 采用不同方法計算的矩形板最大撓度Fig. 11 Maximum deflection of rectangular plate calculated by different methods

理論計算值與實際結果之間產生偏差的主要原因是：等效脈沖與實際脈沖載荷形狀差異的影響；理論模型中未考慮彈性效應；分析過程采用的是方形近似屈服面等。

然而，對于工程中的實際應用，理論公式在初步設計時優勢更明顯。

4 結 論

在實際工程應用中，通常敞開環境下近距離爆炸載荷作用的時間很短，但對于約束空間爆炸而言，例如艦船艙室內的爆炸，因存在準靜態超壓，載荷作用持續時間會較長。此時，研究飽和沖量現象能更準確地給出結構塑性動力響應結果，以及預測結構變形的停止時間與載荷間的關系，從而更有效地指導船體結構的抗沖擊設計。

本文介紹了“飽和沖量”概念提出后近幾年的主要研究進展，并以艙室內爆炸為典型算例，計算了有限空間內爆炸載荷下的船體結構響應，基于飽和等效方法將復雜的艙室內爆炸載荷等效為矩形脈沖載荷，運用理論和數值方法對等效載荷進行了計算，進一步驗證了飽和等效方法在工程應用中的有效性。通過分析，得到以下結論：

1） 炸藥量（或載荷峰值）對艙室內爆炸下的結構飽和時間具有一定的影響，即隨著載荷的增大，飽和時間將逐漸減小；飽和撓度和飽和沖量隨炸藥量的變化大致呈線性上升的趨勢，這為工程應用提供了很大的便利。

2） 對于艙室內爆炸載荷，在采用飽和等效法等效時，為簡化分析，也可將塑性變形的開始時間ty取為0，計算結果的誤差隨載荷幅值（炸藥量）的增大而減小。

3） 將載荷等效為矩形脈沖載荷后，使用理論公式可快速計算，但應計及材料的應變率效應，否則理論計算的結果會偏大。

4） Youngdahl 等效方法在艙室內爆炸的計算中并不適用，而飽和等效方法提供了一種便利的解決途徑。