研磨習題載體　變式引領復習

徐凱鈺　王楨宇

摘 要：本文通過求解一道模擬試題，梳理函數零點問題常見的處理步驟，并設計了變式訓練，分別探討找點方法、隱形零點問題、極值點偏移問題.

關鍵詞：找點;隱形零點;極值點偏移

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0068-03

1 題目呈現與解析

例題 （2022年朝陽區高三第一學期期末試卷20題第（3）問）

設g（x）=aex-x2，當a∈（1，e）時，求函數g（x）的零點個數，并說明理由.

本題可以求導判斷g（x）的單調性，進而通過零點存在定理判斷零點個數，參考答案通過等價變換，轉化為第（2）問的結論，不再贅述，但測試反饋發現，同學們大多沒有注意到兩問之間的聯系，而是直接求導，致使運算難度增大，鑒于其更具有通法意義，本文采用該方法.

題目不難，解法也眾多，不再贅述，試題解罷，筆者思考一個問題，為什么原題給出了a∈（1，e）這個條件，若擴大這個范圍會對函數零點的求解帶來什么樣的影響呢？命題人在此為了回避哪些難點呢？為了尋找答案，故做如下探索.

2 試題變式

2.1 變式改編，找點升級

2.1.2 指對互換找點

如函數含有lnx，取點ea可得lnea=a，函數含有ex，則取點lna可得elna=a，因此指對互換找點可以化簡表達式.比如本題含有aex項，想到對數形式，并且為了化簡參數a，選取ln1a較為簡潔，由于a>1，所以ln1a<0滿足取值范圍要求，代入嘗試可得，

“極值點偏移”問題近年來在高考題、模擬題中頻繁出現，2016年全國Ⅰ卷和2021年新課標Ⅰ卷都是以其作為壓軸題考查.這類問題包含了轉化與化歸、函數與方程等數學思想，

常見解法是基于對稱變換的思想，構造新函數討論單調性求解.特別的，上文有這樣一句話“t（2）=0，若能證明x∈（2，4）時t′（x）<0，則此題得證.”這個思維方式是不嚴謹的，因為此時t′（x）<0是t（x）<0的充分非必要條件，答題過程應該逆序書寫，即求出t′（x）<0，說明函數單調遞減，進而結合端點值說明t（x）<0.

參考文獻：

[1]高存明.普通高中教科書數學選擇性必修第三冊（B版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：徐凱鈺，男，在校學生.

王楨宇，男，中學高級教師，從事高中數學教學研究.