柔性機械臂軌跡跟蹤的迭代學習控制

蔡 軍，羅 成，謝 薇，方志遠

（重慶郵電大學自動化學院，重慶 400065）

0 引言

隨著科學技術的迅猛發展，機械臂的控制技術已經涉及機械，電氣，自動化等眾多的科研領域［1］。但是，在一些特殊的工況條件下，傳統的剛性機械臂由于能耗高、運行速度慢、操作空間有限等原因，已經無法滿足要求。因此，具有輕質、重載、高靈活性特點的柔性機械臂成為當今機器人研究的熱點。柔性機械臂的動力學系統非常復雜，具有非線性、強耦合的特點，并且在操作柔性機械臂的過程中，由于臂桿自身的材料屬性，會有剛柔耦合現象產生［2］。這給柔性機械臂的控制帶來了挑戰。文獻［3］中采用了自適應PID控制器，自動在線調整控制增益，解決了單連桿柔性機械臂在執行器失效后的情況下的控制問題。文獻［4-5］中研究了自適應徑向基函數神經網絡滑?？刂破鳎蒙窠浘W絡來自適應逼近補償系統建模過程中的不確定項，然后，在此基礎上設計了滑?？刂破鱽韺崿F軌跡跟蹤。文獻［6］中針對柔性機械臂參數不確定性問題，提出了利用卡爾曼濾波在線估計的方法來逼近模型的動態。

迭代學習控制適用于具有重復運動性質的對象，僅通過足夠多次的重復迭代，就可以使執行對象達到期望的要求［7-9］。因此，對于具有重復運動性質的柔性機械臂系統很適用。迭代學習控制的初始狀態問題一直是迭代學習控制理論的一個研究熱點。早在1991年，Lee等［10］提出：如果每次迭代時，系統的初始狀態不相等或者系統的初始狀態存在很小的偏差都會導致系統發散。原因是信號的偏差會隨著迭代次數的增加而累加。迭代學習的初始狀態問題可以分為3類：第1類是系統設定初值等于期望初值；第2類是系統設定初值等于任一固定值（但不等于期望值）；第3類是系統設定初值等于任意值［11-13］。孫明軒等［14-15］提出在進行系統控制輸入迭代學習的同時，初態也進行迭代學習的控制算法。這樣就放寬了初始定位的條件，提高了控制系統的魯棒性。呂慶等［16-17］針對一類非線性系統，在時間軸上設計了一個隨迭代次數增加而縮短的修正區間，在該時間段內對初始偏差進行修正，該時間段外實現系統輸出跟蹤期望輸出。

本文基于文獻［18］中的二連桿柔性機械臂系統模型，提出了初態偏差加速修正的PD型迭代學習控制算法，解決了該系統迭代學習控制方案中因柔性材質屬性使得系統每次迭代初始狀態不同，造成的被控系統控制精度不夠高的問題。

1 柔性機械臂的動力學模型

二連桿柔性機械臂系統各變量定義如圖1所示：τ1和τ2分別為兩個伺服電動機逆時針方向產生的力矩；m1和m2分別為連桿1、2的質量；l1和l2分別為連桿1、2的長度；θ1和θ2分別為兩個伺服電動機產生的伺服角；q1和q2分別為連桿1、2運動過程中產生的偏轉角，表征柔性桿的振動情況；XOOYO為地面參考坐標系，X1OY1和X2O′Y2分別為連桿1、2的局部坐標系。文中柔性連桿1、2的長度均遠大于橫截面的寬度，因此將該柔性機械臂視為歐拉-伯努利梁，只考慮柔性連桿彎曲引起的變形。并且該系統只在水平面旋轉運動，因此忽略重力因素的影響。

二連桿柔性機械臂系統的動力學方程為［18］

圖1 二連桿柔性機械臂

式中：θ＝［θ1；θ2］分別為兩個伺服電動機產生的伺服角；q＝［q1；q2］分別為連桿1、2 運動過程中產生的偏轉角；τ ＝ ［τ1，τ2］為系統的輸入矩陣；M∈R4×4為慣性矩陣；D∈R4×4為離心力和哥氏力矩陣；K∈R4×4為剛度矩陣；G∈R4×1為重力矩陣。

對矩陣進行分塊處理有：

式中：Mij∈R2×2；Dij∈R2×2；Kf∈R2×2；Gij∈R2×1，i，j＝1，2，均為對應的塊矩陣。

考慮到二連桿柔性機械臂的動力學方程（1）中包括伺服角θ和偏轉角q兩部分變量。在柔性機械臂系統軌跡跟蹤控制中偏轉角q無法直接測得，方程（1）可寫為以下兩式：

由式（3）可見，機械臂內部的偏轉角q是受伺服角θ影響而產生的變化。由式（3）可進一步得到：

雖然方程（5）在形式上與剛性機械臂的動力學方程相似，H1類似于剛性機械臂的慣性矩陣，H2類似于剛性機械臂的離心力和哥氏力組成的矩陣，H3類似于剛性機械臂的重力矩陣。但是，通過觀察H1，H2，H3矩陣可以發現兩者的區別在于：柔性機械臂系統的H1，H2，H3矩陣較剛性機械臂系統的慣性矩陣、離心力和哥氏力組成的矩陣、重力矩陣而言，除了含有伺服角變量θ還有偏轉角變量q。

為了便于實現系統的軌跡跟蹤這一目標，將方程（5）化為標準的非線性仿射系統。由于機械臂內部的偏轉角q是受伺服角θ影響而產生的變化，因此令系統的狀態量X（t）＝［θ］T，得到系統的狀態方程：

2 控制器設計

針對在有限時間間隔［0，T］內重復運行的二連桿柔性機械臂系統，設計了迭代學習控制器。假設該系統每一次迭代學習過程中，初始狀態都不相同，第k次的迭代初態可表示為xk（0）。

定義系統的跟蹤誤差為：

式中：yd（t）表示系統期望軌跡；yk（t）表示第k 次迭代時系統的輸出。

圖2 初態加速修正控制器結構框圖

圖2是初態加速修正的PD型迭代學習控制器結構框圖。當前次的控制量是由上一次迭代時的控制量、跟蹤誤差值、跟蹤誤差值的變化率及實時初值偏差，利用該算法的定義（在時間軸上設計了一個隨迭代次數而縮減的修正區間，該區間內對初始狀態偏差進行修正，修正區間外實現跟蹤期望輸出）并通過簡單的代數組合構成的。其形式如下：

式中：a＞1，0＜h＜T，kp為比例學習增益；kd為微分學習增益，下標k為迭代的次數。

通過將學習算法式（9）用于系統式（6）、（7）施行迭代學習控制，則系統第k次迭代對應的狀態方程為

系統第k次迭代對應的輸出方程為

上述算法計算步驟如下：①利用方程（8）計算ek（t）；②利用方程（10）計算φk（t）；③利用方程（12）計算Xk（0）；④利用方程（9）計算uk＋1（t）；⑤將控制輸入uk＋1（t）帶入到系統控制器，并進行下一次迭代，重復①～④。

所提的迭代學習算法意義如下：

（1）當時間t∈［0，h／ak）時，由于存在初始狀態值偏差，系統的輸出不能跟蹤上期望軌跡。

可以發現：當a＞1，迭代次數k趨于無窮大時，t∈［0，h／ak）→［0，0），初態偏差修正的時間區間正在縮短。

（2）當時間t∈（h／ak，T］時，被控系統的跟蹤誤差會被限制到一個可控的范圍內。

3 仿真驗證

為了驗證本文所提算法的有效性，被控對象選用文獻［18］中的二連桿柔性機械臂系統模型。系統各參數［18］如下：m1＝1.0 kg，J21＝9.4 ×10－3kg·m2，m2＝0.9 kg，J12＝ 0.230 4 kg·m2，l1＝ 0.349 3 m，J22＝0.010 7 kg ·m2，l2＝ 0.297 5 m，E1I1＝ 9.0 N·m·rad－1，J11＝ 0.011 1 kg ·m2，E2I2＝ 4.0 N·m·rad－1。

系統所要跟蹤的期望軌跡為

迭代學習控制器的參數為：

期望軌跡的初態為

每次迭代的初態由rand函數自動隨機生成。

圖3給出了控制器在20次迭代學習下關節角1、2的軌跡跟蹤過程圖?？梢钥闯觯弘S著迭代的次數增加，時間軸上的修正區間在逐漸縮短。圖4給出了控制器在第20次迭代學習下關節角1、2的軌跡跟蹤圖。

圖3 20次迭代學習后關節角跟蹤過程

圖4 第20次迭代學習的關節角跟蹤

圖5 20次迭代學習角誤差收斂圖

圖5給出了控制器在20次迭代學習下關節角1、2在t∈（h／ak，T］時間段內軌跡跟蹤誤差收斂圖。可以看出，隨著迭代次數的增加，關節角1、2的軌跡跟蹤誤差在逐漸收斂。所提算法有效地抑制了隨機初態誤差對系統軌跡跟蹤的不良影響。

4 結語

在非線性、強耦合的柔性機械臂系統軌跡跟蹤迭代學習控制中，針對因柔性材質屬性使得系統每次迭代初始狀態不同，所造成的被控系統控制精度不夠高的問題，提出了一種初態加速修正的PD型迭代學習算法，在時間軸上設計了一個隨迭代次數而縮減的修正區間，通過在該區間內對初始狀態偏差進行修正，有效地抑制了隨機初態誤差對系統軌跡跟蹤控制的不良影響，實現了對期望軌跡的跟蹤。