帶憶阻負載的電流型Cuk 變換器動力學分析及其混沌控制

(湘潭大學電子與信息學院,湖南湘潭 411105)

憶阻器作為一種具有記憶效應的新型基本電路元件,自從蔡少棠[1]提出以來就引起了學者的廣泛關注。尤其在2008 年惠普實驗室首次報道了憶阻器的可實現性后[2],極大地喚起了科研人員對憶阻器開展全方位研究的興趣。由于憶阻器自身的非線性特性使其更加容易產生混沌電路,從而在保密通信、信息加密等領域也有廣泛的應用[3-8]。近些年來,基于憶阻混沌電路的設計與分析已成為相關領域的研究熱點。

開關DC-DC 變換器作為開關電源的核心組成部分存在著豐富的非線性動力學現象,例如,Hopf 分岔[9]、邊界碰撞分岔[10]、雙穩定共存現象[11]等,已在許多文獻中被廣泛報道。其中負載類型是影響DC-DC變換器的非線性動力學行為的一個重要因素。文獻[12]以常規電阻作為負載,研究了電流型Cuk 變換器的分岔與混沌現象以及變換器穩定運行的參數域表達式。文獻[13]和[14]在具有恒流負載的變換器中發現了鞍節點分岔和快慢尺度不穩定性等現象。Zhang等[15]開創性地將憶阻器作為單級升壓變換器的負載通過數值仿真和電路仿真研究其動力學行為,并通過直流分析闡述了該升壓變換器的輸出電壓主要由憶阻器的內部參數決定,但其只關注了開關周期對該憶阻變換器的穩定性和動力學行為的影響,而忽略了其他參數的影響。隨后,文獻[16]研究了憶阻負載對峰值電流型Buck-Boost 變換器的動力學影響,發現憶阻負載會擴大該變換器的正常工作區域,但其并未通過解析表達式說明憶阻器參數是如何影響變換器的穩定運行區間的?；谝陨涎芯?為了進一步了解憶阻型DCDC 變換器中各種非線性現象的形成機理,本文推導了系統倍周期臨界分岔點的解析表達式,并引入斜坡補償對憶阻Cuk 變換器進行鎮定控制,從而為憶阻器在功率開關元件中的應用提供了一定的理論依據。

本文在傳統的Cuk 變換器基礎上通過引入一個憶阻器從而構建了一個新的五維非線性時變系統。首先,通過數學建模、數值分析研究了該系統的基本動力學特性。然后,基于能量守恒原理,推導了該變換器關于各參數的穩定運行的解析表達式,得到了關于3 個主要參數的穩定域圖,從而進一步揭示了憶阻器參數對該系統的穩定運行的影響。最后,通過在變換器的反饋控制電路中引入恰當的斜坡補償信號拓寬系統的穩定工作范圍,使工作在混沌態的憶阻Cuk 變換器電路進入多周期態、周期2 和單周期態,從而實現該憶阻變換器電路的穩定性控制。PSIM 電路仿真結果證明了理論分析和數值分析的正確性。

1 峰值電流控制型憶阻Cuk 變換器

憶阻器的定義由蔡少棠等[17]概括,其中包括壓控憶阻器和流控憶阻器。近十年來,運用模擬元器件來實現的各種憶阻器仿真器[18-20]被廣泛報道,并且在基于憶阻器的電路中發現了許多有趣且復雜的動力學行為。由于壓控憶阻器更適合基于并聯憶阻器的應用電路,因此本文在經典的Cuk 變換器基礎上構造一個壓控憶阻器仿真器代替Cuk 變換器中的電阻負載,如圖1(a)所示。壓控憶阻器的數學模型為:

式中:iM和vM分別表示憶阻器兩端的電流和電壓;W(v0)為憶導;v0為憶阻器內部狀態變量;g表示憶阻器等效電路中乘法器的增益。

圖1 峰值電流控制型憶阻Cuk 變換器原理圖Fig.1 Schematic of the peak current mode memristive Cuk converter

通過用憶阻負載W(v0)代替阻性負載RL,峰值電流模式Cuk 變換器的示意圖如圖1(b)所示,它由輸入電壓E、一個開關管S、一個二極管D、兩個電感L1和L2、兩個電容C1和C2以及憶阻負載W(v0)組成五階動態電路,電路參數如表1 所示。假設該變換器工作在電流連續模式(Continuous Conduction Mode,CCM)下,則該變換器在一個開關周期內存在兩種不同的開關狀態,其對應的兩種主電路拓撲如圖2 所示。

表1 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器的電路參數Tab.1 Circuit parameters of peak current mode memristive Cuk converter

圖2 不同開關狀態對應的電路拓撲Fig.2 Circuit topology corresponding to different switch states

開關狀態一:開關管S 導通,二極管D 關斷,電感電流iL1線性上升,原電路中的電流路徑如圖2(a)中虛線所示。根據基爾霍夫電壓電流定律,可以得到該開關狀態下的系統狀態方程:

開關狀態二:開關管S 關斷,二極管D 導通,原電路中的電流路徑如圖2(b)中虛線所示。相應的狀態方程為:

為了便于在Matlab 中進行數值分析,引入x,y,z,u,w這5 個新的無量綱狀態變量,令:

則式(2)和式(3)可以改寫為:

式中:Dc表示變換器的導通占空比,變化范圍0～1,其中系統的無量綱參數可以通過計算得到τT=0.5,k=0.1,α=0.1,δ=1,ε=5,Iref=4,E=10,g=-0.1。

2 系統動力學分析

2.1 時域波形圖

選取參考電流Iref=4 A,其他電路參數如表1 所示,初始值設定為[0,0,0,0,0],可以得到系統狀態變量x,u和w的仿真波形如圖3 所示,分別代表電感電流iL1、輸出電壓vC2和憶阻器內部狀態變量v0的波形?？芍?電感電流iL1在3.4～4 A 之間波動,這時變換器工作在CCM。同時,由于R2Cm電路的相位延遲作用,我們可以清楚地觀察到v0的波形滯后于輸出電壓vC2,變換器工作在混沌狀態。其他電路參數固定不變,改變Iref為1 A 時,其相應的時域波形圖如圖4 所示。此時,電感電流iL1在0.8～1 A 之間波動,變換器同樣工作在CCM 模式,且電感電流和輸出電壓的紋波較小,系統工作在穩定的周期1 狀態。

2.2 占空比分析

占空比是描述DC-DC 變換器的一個本質量,更能反應系統非線性動力學的本質特性[14]。通常當負載W(v0)兩端的電壓是混沌信號和周期信號時,其對應的開關占空比分別是混沌信號和周期信號。當Iref分別為4 A 和1 A 時,變換器在每個開關周期的占空比曲線圖分別如圖5(a)、5(b)所示。圖中無序和規則的占空比Dc進一步說明了當Iref=4 A 和1 A 時,電路系統的工作狀態是混沌的和周期的。當Iref分別為4 A 和1 A 時,占空比Dc分別為0.5612 和0.4191。通過計算,可以得到變換器的輸出電壓分別為12.7893 V 和7.2147 V,與圖4 中狀態變量u的幅值一致。由此可見參考電流Iref的選取對變換器的穩定性有顯著的影響。

圖3 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器在Iref=4 A 的3 個狀態變量時序圖Fig.3 Three time sequences of peak current mode memristive Cuk converter when Iref=4 A

圖4 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器在Iref=1 A 的3 個狀態變量時序圖Fig.4 Three time sequences of peak current mode memristive Cuk converter when Iref=1 A

圖5 占空比Dc曲線圖Fig.5 Curves of duty cycle Dc

2.3 倍周期分岔與邊界碰撞分岔

一般而言,可引起憶阻Cuk 變換器工作狀態發生變化的主要參數有輸入電壓E、參考電流Iref和憶阻參數g,本節主要以參考電流Iref和憶阻參數g作為分岔參數,研究峰值電流模式下的憶阻Cuk 變換器電路參數在寬范圍變化時的動力學行為。

在峰值電流控制型DC-DC 變換器中,一般認為Dc＞0.5 是變換器失去穩定性的一個條件[21]。由式(4)可知電感電流iL1的紋波可以表示為,根據能量守恒定律,可以得到以下方程式:

此外,工作于CCM 模式的峰值電流型憶阻Cuk變換器存在一個電感電流邊界Ib可表示為:

隨后,將參考電流Iref作為分岔參數并從0.5 A 增加到5 A,峰值電流型憶阻Cuk 變換器的狀態變量x的分岔圖如圖6(a)所示,圖中黑色點劃線表示電感電流邊界Ib。當Iref從0.5 A 逐漸增大到5 A 時,變換器從穩定的周期1 狀態在Iref=2.1 A 附近經倍周期分岔進入周期2 的次諧波振蕩;當Iref=2.3 A 時,Cuk 變換器電感電流iL1的運行軌道與電感電流Ib相遇發生邊界碰撞分岔進入混沌狀態。將表1 中的電路參數代入到式(7)可計算出系統的倍周期分岔點為Iref,pbd=2.125 A,與圖6(a)結果一致。當參考電流分別選為Iref=0.5 A、Iref=2.1 A、Iref=3 A 和Iref=5 A 時,峰值電流型憶阻Cuk 變換器在x-w平面的相軌圖如圖7 所示。圖中所示的相軌圖所反映的Cuk 變換器的工作狀態與圖6(a)所示的分岔圖所描述的運行狀態是完全一致的。簡而言之,隨著Iref的增加,憶阻Cuk 變換器具有從周期1 極限環到周期2 極限環,到成對的混沌吸引子,最后到復雜的混沌吸引子的動態過渡。

圖6 以Iref為分岔參數在不同負載類型下的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram using Irefas bifurcation parameter with different types of load

當g=0 時,代入式(3)表明憶阻器W(v0)相當于一個阻值為R3的電阻,此時以參考電流Iref為分岔參數得到的分岔圖如圖6(b)所示。與圖6(a)對比,圖中的倍周期分岔點發生在Iref=1.1 A 左右,變換器的穩定周期1 區間變得更窄。參考式(7),將g=0 代入得參考電流的倍周期分岔點為Iref,pbd=1.125 A,與圖6(b)現象一致。同時,從式(7)可得影響變換器的穩定性參數主要有電源電壓E,參考電流Iref、憶阻器內部參數g、開關頻率f等。以參數g為可變參數,記錄每個開關周期的占空比Dc可畫出如圖8(a)所示的峰值電流型憶阻Cuk 變換器隨憶阻器內部參數g在(-0.6,0)變化的分岔圖。可見隨著g的絕對值的增大,系統從混沌態進入周期1 態,占空比Dc也慢慢減小到0.5以下。換而言之,當用憶阻負載替換傳統電阻負載作為Cuk 變換器的負載時,系統具有更大的穩定工作區間。將Dc≤0.5 代入到式(6)可得變換器關于參數Iref、E和g穩定運行的參數域為:

圖7 對于參考電流Iref的不同值,變換器在x-w 平面上的相圖Fig.7 For different values of the reference current Iref,phase portraits of the converter in the x-w plane

圖8 分岔圖和峰值電流模式憶阻Cuk 變換器的穩定參數區域Fig.8 Bifurcation diagram and the stable parameter region of the peak current mode memristive Cuk converter

圖8(b)給出了參數在g=-0.6～0 和E=2～22 V變化時,相應的Iref分岔點所形成的曲面,曲面上方對應于變換器的不穩定運行參數域,式(9)的預測結果與分岔圖所反映的數值模擬結果吻合較好。

2.4 引入斜坡補償信號后的混沌控制

斜坡補償控制是一種直觀有效的穩定性控制技術,通過引入適當的斜坡補償電流或電壓能有效地拓寬變換器的穩定范圍[22-24]。如圖9 所示,將斜坡補償信號加入到Cuk 變換器的反饋控制電路從而得到了工作于CCM 的憶阻Cuk 變換器的電感電流iL1的波形示例。圖中,Iref為參考電流,iref為補償后的參考電流,mc為斜坡信號的斜率,可得補償后的參考電流iref與原參考電流Iref的關系為:

式中:T為開關周期;(tmodT)表示t對T取模運算,且斜坡補償信號的頻率與變換器的開關頻率相等。

圖9 斜坡補償電流控制憶阻Cuk 變換器原理圖及其電感電流波形示例Fig.9 The schematic diagram of the slope compensation current control memristive Cuk converter and its inductor current waveform example

首先,分別引入斜坡補償斜率mc=0(無斜坡補償信號)、mc=0.05、mc=0.15 和mc=0.25,此時以輸入電壓E為分岔參數,憶阻Cuk 變換器的分岔圖如圖10 所示。從圖中可以看出當無斜坡補償信號引入時,變換器的周期1 區間為16.2～20;在mc=0.05 時,系統的周期1 區間為14.5～20;當mc=0.15 時,系統的周期1 區間為10.6～20;當mc=0.25 時,變換器在E為5～20 V 之間都工作在穩定的周期1 狀態。由此可得采用的斜坡補償信號斜率mc越大,憶阻Cuk 變換器的穩定區間就越寬,表明斜坡補償可以有效地拓寬系統的穩定范圍。

圖10 峰值電流模式憶阻Cuk 變換器引入不同斜坡補償斜率的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram for the peak current mode memristive Cuk converter with compensating ramp signal

圖11 給出了憶阻Cuk 變換器的電感電流iL1的時域仿真波形。在100 ≤τ ＜150 時,無斜坡補償信號引入,變換器電路工作在混沌態。在τ=150 時,分別引入mc=0.05、mc=0.15 和mc=0.25 的斜坡補償信號,變換器電路分別進入了多周期狀態、周期2 狀態和穩定的周期1 狀態。由此說明,對處于混沌狀態的憶阻Cuk 變換器,只要引入一個適當斜率的斜坡補償信號,就能使Cuk 變換器的工作狀態鎮定在穩定的周期1 狀態。

3 電路仿真驗證

為進一步驗證先前的理論分析,基于PSIM 構建了具有憶阻負載的Cuk 變換器電路,如圖12 所示。設置時鐘脈沖寬度為0.25 μs,比較器的輸入端參考電流Iref實際上是一個電壓信號(即Iref=4 V)。選取表1 中的電路參數并設置五個狀態變量的初始值為(0,0,0,0,0)。

圖11 引入不同mc后的電感電流iL1的鎮定控制Fig.11 Stabilization control of inductor current iL1after introducing different mc

圖12 峰值電流型憶阻Cuk 變換器PSIM 仿真電路圖Fig.12 PSIM simulation circuit diagram of the peak current mode memristive Cuk converter

當無斜坡信號引入時,分別取Iref=4 V 和1 V,得到與圖3 和圖4 相對應的三個狀態變量的電路仿真波形,如圖13 所示。隨后,圖14 中參考電流Iref的取值分別為Iref=0.5 V,Iref=2.1 V,Iref=3 V 和Iref=5 V,相應的憶阻Cuk 變換器的工作狀態分別為周期1、周期2、弱混沌以及完全混沌狀態。電路仿真結果也表明,隨著參考電流增大,憶阻Cuk 變換器的工作狀態經歷了周期、混沌等動力學行為。最后,在t=45 ms時,引入了不同斜率的斜坡補償信號,得到了與圖11對應的電感電流iL1的時序波形,如圖15 所示。峰值電流型憶阻Cuk 變換器的PSIM 仿真結果與上述數值仿真結果一致,驗證了理論分析的正確性。

圖13 峰值電流型憶阻Cuk 變換器的PSIM 仿真時域波形圖Fig.13 PSIM simulated time sequences of the peak current mode memeristive Cuk converter

圖14 峰值電流型憶阻Cuk 變換器隨參數Iref變換時在iL1-v0平面上的PSIM 仿真相圖Fig.14 For different values of the reference current Iref,PSIM simulated phase portraits of the peak current mode memristive Cuk converter in the iL1-v0plane

圖15 引入mc后對電感電流iL1的鎮定控制Fig.15 Stabilization control of the inductor current iL1after introducing mc

4 結論

由于DC-DC 變換器廣泛應用在電力電子領域,與此同時,憶阻器作為新的基本電路元件將來也可能在電子電路中被廣泛使用。因此,本文通過用一個壓控憶阻負載替換Cuk 變換器上的傳統電阻,構建了一個新的五階分段非線性系統。首先,建立了兩種開關狀態下系統的數學模型,并利用Matlab 仿真發現對于給定的電路系統參數,變換器存在著復雜的動力學行為,包括混沌、周期、倍周期分岔和邊界碰撞分岔。其次,通過憶阻負載與電阻負載的分岔圖比較得到帶憶阻負載的Cuk 變換器具有更大的穩定工作區間。同時,根據能量守恒原理得到了變換器關于相關參數的穩定運行參數域估計表達式。隨后,通過引入斜坡補償信號,對處于混沌狀態的變換器進行鎮定控制,消除變換器電路的不穩定性。最終,通過PSIM 電路仿真進行驗證,驗證了系統的正確性和可實現性,為憶阻器未來應用在電力電子領域提供了一定的理論依據。