多排耦合變速機構振動特性建模與試驗

張 強，許 晉，李洪武，張玉東

（中國北方車輛研究所車輛傳動重點實驗室 北京，100072）

引言

高速履帶車輛要求在復雜多變的外界環境中實現快速部署、快速機動，行星變速機構是實現其靈活性與機動性的核心部件［1］。行星變速機構內部通常由3～4個行星齒輪組構成，通過操縱件對不同行星齒輪組的操控，實現車輛轉向、加速、制動等功能［2］。行星變速機構振動加劇會降低車輛的使用壽命，且有可能與發動機等外部激勵發生共振，對履帶車輛上其他設備的使用造成影響，也會使得履帶車輛駕駛人員出現不良反應，從而影響其使用功能的發揮［3］。但是因多排行星變速機構的結構復雜且不同排之間存在耦合作用，導致內部行星排嚙合過程與其振動的映射關系仍不清楚［4］。因此，對行星變速機構振動特性的深入研究，從而實現行星變速機構的動力學特性的優化設計，具有重要的理論意義及工程應用價值［5］。

針對行星變速機構的振動特性問題，Parker等［6］利用接觸力學和有限元模型，分析具有齒側間隙和時變剛度的齒輪副的動態響應，并研究了齒輪的接觸沖擊、齒間載荷分布及齒廓修型。Kahrarman［7］通過建立行星輪系的純扭轉振動模型，研究了行星輪系的固有頻率及自由振動特性。張鎖懷等［8］建立了4自由度的齒輪系統動力學模型，該模型了考慮齒側間隙的影響，采用數值仿真求解系統的不平衡響應，但是該模型中假設主動齒輪軸為剛性軸。Sellgren等［9］運用有限元法，研究了齒輪箱動態響應，分析了模型中不同的軸承的剛度及連接形式對動態響應的影響，并分析了工況條件、齒輪嚙合、箱體結構剛度對齒輪系統振動特性的影響。Riguad等［10］猜測變速箱產生振動噪聲的主要原因是齒輪在加工制造過程中產生的誤差，并對該假設進行了驗證。Liu等［11］建立了考慮行星輪軸承內部激勵的船用行星輪系有限元模型，研究了行星輪軸承內部激勵對系統動態響應特性的影響規律。

國內外研究機構雖然對行星變速機構振動特性進行了大量的研究［12-13］，但研究內容僅限于簡單行星排及小功率變速機構振動測試，對于高速履帶車輛使用的大功率多排耦合行星變速機構，由于振動建模分析復雜，振動數據測量困難，因此建模及試驗研究均較少［14］。針對這一問題，基于第2類拉格朗日方程，推導了行星變速機構“平動-轉動”耦合激勵振動動力學模型，研究了典型工況下行星變速機構的時域和頻域振動特征，并將仿真結果與試驗測得的行星變速機構的振動特性進行對比分析，驗證了“平動-轉動”耦合模型及其計算結果的正確性。

1 行星變速機構設計方案及測試系統

1.1 行星變速機構設計方案

依據圖1行星變速機構的設計方案，該行星變速機構行星輪系包含3個行星排和6個換擋元件，換擋元件包括3個離合器（C1，C2，C3）、3個制動器（B1，B2，B3），可以實現7種擋位，方案簡圖如圖1所示。

圖1 行星變速機構方案簡圖Fig.1 Schematic diagram of the gearshift mechanism

該行星變速機構具體換擋邏輯見表1，其中“○”表示閉合。1擋時的換擋邏輯見表1中第1行，在1擋時制動器B1，B3與離合器C1閉合，其他換擋原件分離。表1中第2行表示2擋時，制動器B3與C1，C2閉合，其他換擋元件分離。

表1 行星變速機構換擋邏輯表Tab.1 Shift logical of gearshift mechanism

1.2 行星變速機構輪系參數

該行星變速機構由3個簡單排組成，具體3個行星排齒輪的參數見表2。3排行星齒輪的模數均為4，壓力角均為25°，齒頂高系數為1，徑向間隙系數為0.2，齒根圓角半徑系數為0.25。

1.3 行星變速機構振動測試系統

行星變速機構振動加速度試驗測試系統如圖2所示，該系統由增速箱、驅動電機、加載電機和行星變速機構包箱等構成，試驗臺采用驅動電機實現行星變速機構的驅動，用測功機實現加載。在測試過程中，該試驗系統可以實時采集轉矩、振動加速度、操縱油壓及轉速等數據。

1.4 行星變速機構振動測試設備及測點布置

試驗系統測點布置如圖3所示，分別在輸入端和輸出端安裝2個測點，并對其x和y方向的振動加速度進行測量，其中，x方向為垂直振動加速度，y方向為平行振動加速度。圖中5#和6#為輸出端安裝傳感器位置，7#和8#為輸入端安裝傳感器位置。

表2 行星變速機構各排齒輪參數Tab.2 Gear parameters of each row of gearshift mechanism

圖2 行星變速機構振動加速度試驗測試系統Fig.2 Vibration acceleration test system for gearshift mechanism

圖3 振動加速度測點布置Fig.3 Vibration acceleration measuring layout

2 行星變速機構振動模型的建立

2.1 基本參數系統運動學分析

根據行星變速機構的各排齒輪參數，通過運動學關系計算可以得到各擋旋轉構件頻率，1擋時旋轉構件的頻率見表3。

2.2 振動仿真數學模型

基于第2類拉格朗日方程，推導了行星齒輪“平動-轉動”集中質量耦合振動動力學運動微分方程，行星變速機構的集中質量模型中的單排行星輪動力學模型如圖4所示。圖4中：φ為太陽輪與行星輪位置角度；l，r，c，s分別為行星輪、齒圈、行星架和太陽輪；u為旋轉位移；kry，kcy，ksy分別為齒圈、行星架和太陽輪在y方向的支撐剛度；krx，ksx分別為齒圈和太陽輪在x方向的支撐剛度；krt，kst分別為齒圈和太陽輪的扭轉剛度；krl1，ksl1分別為第1個行星輪和齒圈及太陽輪的嚙合剛度，krl2，ksl2分別為第2個行星輪和齒圈及太陽輪的嚙合剛度；klpx，klpy分別為行星輪在x和y方向上的支撐剛度。

表3 1擋旋轉構件頻率Tab.3 Frequency of rotating component in first gear

圖4 單排行星輪動力學模型Fig.4 Dynamic model of single row planetary gear

由于行星輪系包含3個行星排和7種擋位，為方便計算，建立了通用的多排耦合行星輪系動力學模型，其關系圖如圖5所示。圖中：Krc1為第1排齒圈和行星架之間的剛度；Kss1為第1排太陽輪之間的剛度；Kcs2為第2排行星架和太陽輪之間的剛度。

圖5 多排行星輪系耦合關系圖Fig.5 Coupling diagram of multi-row planetary gear trains

行星輪與太陽輪、齒圈嚙合關系如圖6所示，其中：k為構件間剛度；e為嚙合誤差；φ為太陽輪與行星輪位置角度；xs和ys分別為太陽輪在x方向和y方向的位移；xn和yn則為第n個行星輪在x方向和y方向 的 位移；kct為行星 架 的扭轉剛 度；ksn，krn為第n個行星輪和太陽輪、齒圈之間的嚙合剛度；esn，ern為第n個行星輪和太陽輪、齒圈之間的嚙合誤差。

圖6 行星輪與太陽輪、齒圈嚙合關系圖Fig.6 Engagement relationship between planetary gear,solar gear and gear ring

多排耦合行星輪系動力學模型的運動方程的表達式為

其中：M為質量矩陣；Kbe為支承剛度矩陣；T為外部激勵力矩陣；Ωc為角速度矩陣；G為陀螺矩陣；Ke（t）為嚙合剛度矩陣；F（t）為輪系內部激勵力矩陣。

廣義位移矢量為

其中：上標i（i=1，2，3）為第i排行星輪系；r，c，s分別為齒圈，行星架和太陽輪；1，2，…，n表示第n個行星 輪；x和y分別為構件在x和y方 向的位 移；θ為構件在圓周方向的旋轉位移。

建立固定坐標系，則

太陽輪線位移沿嚙合線方向的x，y以及旋轉方向的位移投影為其中：ω為構件的角速度；ris為第i排太陽輪的基圓半徑。

行星輪線位移沿嚙合線方向的x，y以及旋轉方向 的 位 移 投 影 為其中為第i排第n個行星輪圓周方向位移。

太陽輪相對于行星輪沿嚙合線上的投影差為

齒圈線位移沿嚙合線方向的x，y以及旋轉方向的 位 移 投 影 為和

行星輪線位移沿嚙合線方向的x，y以及旋轉方向的位移投影為

行星輪相對于齒圈沿嚙合線上的投影差為

行星架與行星輪的相對位移為

行星架運動方程為

太陽輪運動方程為

行星輪運動方程為

3 仿真模型與試驗分析數據對比

采用Runge-Kutta法，求解行星變速機構的動力學響應，可得太陽輪、每個行星輪和齒圈平動加速度、位移、速度、轉動加速度、位移、速度的幅值A、頻率f和相位φ等信息。以下對該行星變速機構的典型工況第1擋轉速1 500 r/min和扭矩1 093 N/m條件下輸入輸出構件的運動狀態進行分析。

3.1 振動時域仿真與試驗對比

該行星變速機構在1檔1 500 r/min和扭矩1 093 N/m條件下輸入x方向加速度時域圖如圖7所示。

仿真結果顯示，1擋時輸入構件x方向仿真分析加速度均方根（root mean square，簡稱RMS）值為0.652 2g，試驗測得輸入構件x方向加速度RMS值為0.676 2g，理論試驗測試值與理論分析值相差3.68%。

1擋輸入構件仿真分析獲得的y方向加速度的RMS值為0.672 7g，試驗獲得y方向加速度的RMS值為0.655 3g。仿真分析值與試驗測試值相差－2.59%。對于輸入構件，仿真分析獲得x方向和y方向加速度的RMS值相差-3.09%，試驗測試值x方向和y方向加速度的RMS值相差3.14%。結果表明，輸入構件x和y方向振動加速度的RMS值相差較小。

圖7 模擬和測試輸入x方向加速度時域圖Fig.7 RMS figure of input x direction in simulation and test

該行星變速機構在典型工況下輸出x方向加速度時域圖如圖8所示。仿真結果顯示，1擋輸出構件仿真分析獲得的x方向加速度的RMS值為2.099g，試驗測得x方向加速度的RMS值為1.84g。仿真分析值與試驗測試值相差－12.3%。1擋輸出構件仿真分析獲得的y方向加速度的RMS值為2.108g，試驗測試y方向加速度的RMS值為2.439g。仿真分析值與試驗測試值相差13.6%。

對于輸入端與輸出端加速度的RMS值，輸出構件x方向上試驗測試值是輸入構件的2.72倍，輸出構件y方向上試驗測試值是輸入構件的3.72倍，仿真和分析結果表明，輸出端RMS值遠大于輸入端。

3.2 振動頻域仿真與試驗對比

在1擋轉速1 500 r/min和扭矩1 093 N/m工況下輸入構件x方向仿真分析與試驗測得加速度頻域如圖9所示。通過1擋輸入構件x方向加速度頻域理論分析與試驗分析比較，可以得到各階頻率幅值對比結果，具體值如表4所示。

圖8 模擬和測試輸出x方向加速度時域圖Fig.8 RMS figure of output x direction in simulation and test

仿真分析獲得的輸入構件x方向的第1個波峰頻率值為622.6 Hz，經試驗測得的第1個波峰頻率為627.7 Hz，對比表3中1擋旋轉構件的頻率，可以得出第1個波峰為第2排行星排太陽輪與行星輪嚙頻。仿真值第2個波峰為1 233 Hz，振動測試頻域值的第2個波峰為1 222 Hz，第2排行星排太陽輪與行星輪嚙頻的2倍頻頻率為1 238.8 Hz，與第2個波峰吻合。

對比其余波峰值，其第3～6個波峰均對應于第2排行星排太陽輪與行星輪嚙頻的倍頻處，分別對應著3倍值6倍頻。1擋輸入構件y方向上的頻域值與x方向上類似，其仿真及測試獲得的振動波峰峰值均一致。

通過對輸入構件x方向的頻域仿真分析與測試分析的比較，得出其頻域值仿真與測試結果一致，其頻域的波峰的峰值主要為第2排行星排太陽輪與行星輪的嚙頻及倍頻處，此處為產生的振動值最大。

1擋輸出構件在典型工況下x方向仿真分析與試驗測得加速度頻域如圖10所示。1擋輸出構件x方向加速度頻域理論分析與試驗分析比較結果如表5所示。仿真分析獲得的輸出構件x方向的第1個波峰頻率值為562.4 Hz，經試驗測得的第1個波峰頻率為561.5 Hz，對比表3中1擋旋轉構件的頻率，可以得出第1個波峰為第3排行星排太陽輪與行星輪2倍頻，2倍頻的理論頻率為560.2 Hz。仿真分析第2個波峰為842.4 Hz，振動測試頻域值的第2個波峰為843.3 Hz，第3排行星排太陽輪與行星輪嚙頻的3倍頻頻率為840.3 Hz，與第2個波峰吻合。

圖9 模擬和測試輸入x方向加速度頻域圖Fig.9 Frequency domain figure of input x direction in simulation and test

表4 輸入構件x方向加速度頻域模擬與試驗對比Tab.4 Frequency domain of input x in simulation and test

對比其余波峰值，其第3～10個波峰均對應于3排行星排太陽輪與行星輪嚙頻的倍頻處，分別對應著4倍值11倍頻。1擋輸出構件y方向上的頻域值與x方向上類似，仿真及測試獲得的振動波峰峰值均一致。輸入構件x方向的頻域仿真分析與測試對比分析結果顯示，其頻域值仿真與測試結果一致，頻域波峰的峰值主要為第2排行星排太陽輪與行星輪的嚙頻及倍頻處，此處為產生的振動值最大。輸出構件x方向的頻域仿真分析與測試結果對比分析顯示，其頻域的波峰值主要為第3排行星排太陽與行星輪的嚙頻及倍頻處。

表5 輸入構件y方向加速度頻域理論與試驗對比Tab.5 Frequency domain of input y in simulation and test

輸出及輸出端頻域值結果顯示，在一擋下，振動的最大值為第2排及第3排行星輪與太陽輪的嚙頻及倍頻處，針對此問題，可以通過行星輪及太陽輪修型，減少傳遞誤差，提高齒輪加工精度等手段降低其振動。通過振動特性的仿真與試驗分析，為行星排的振動優化設計指明了具體的方向。

4 結束語

基于第2類拉格朗日方程，推導獲得了多排耦合行星齒輪“平動-轉動”耦合振動動力學模型，運用Runge-Kutta法，求解系統動力學響應。通過搭建行星變速機構振動測試系統，對行星變速機構振動加速度數據進行采集，并將建模仿真與試驗測得的振動特性進行對比，對典型工況輸入輸出構件的振動狀態進行分析，研究了行星變速機構建模仿真與試驗測試下時域、頻域等特性。結果表明：①輸入和輸出構件x和y方向加速度時域仿真值與試驗測試值吻合，且輸入端或輸出端x和y方向上的RMS值相差較小，但輸出端RMS值遠大于輸入端；②輸入和輸出構件頻域仿真值與試驗測試值也一致，其振動能量主要集中于第2排及第3排行星輪與太陽輪嚙合的嚙頻及倍頻處；③通過行星變速機構振動特性建模與試驗對比分析，驗證了多排耦合行星齒輪“平動-轉動”振動動力學模型的準確性，為行星變速機構的動力學設計優化提供了理論參考。