手機GNSS數據質量提取的變分模態分解法

朋子涵，高成發，劉永勝，張瑞成，尚 睿

東南大學交通學院，江蘇 南京 211189

全球導航衛星系統(Global Navigation Satellite System,GNSS)是獲取位置信息最重要的手段之一，廣泛應用于定位和導航中[1-2]。目前，手機、平板電腦和共享單車等設備大量采用了低成本GNSS芯片。當觀測環境較好時，低成本GNSS芯片可獲得2～3 m的定位精度，當觀測環境較差時，由于多路徑影響，精度僅能達到10 m左右[3]。文獻[4—5]利用手機GNSS天線獲得的觀測數據進行定位試驗，結果表明可以獲得厘米級定位精度。該結果說明利用手機GNSS觀測數據進行高精度定位有較高的可行性。

2016年5月，谷歌 I/O會議上宣布用戶可以在Android Nougat系統中獲得原始的手機GNSS觀測數據。文獻[6]首先利用Samsung Galaxy S7手機進行原始數據分析和定位試驗，證明采用手機載波數據可以獲得分米級定位精度。文獻[7]利用VADASE(variometric approach for displacements analysis stand-alone engine)方法對華為P10手機數據進行定位試驗，得到了分米級的定位精度。文獻[8]利用Nexus 9平板數據進行相對定位試驗，最終得到了厘米級的定位精度。文獻[9—10]將RTK算法應用于手機定位，數據試驗結果表明其平面和高程定位結果分別優于0.7和3 m。文獻[11]改進了精密單點定位模型，實現了亞米級定位精度。文獻[12—13]利用精密單點定位模型針對不同型號手機進行了試驗，也得到了類似的結果。考慮手機GNSS數據性質，文獻[14]分別采用三階差分濾波和三閾值濾波定位模型進行手機單點定位試驗，對Nexus 9手機的測試表明其可以得到亞米級定位結果。文獻[15—17]研究了動態情況下的定位，同樣可以得到較為理想的結果。

手機GNSS芯片數據質量相對于測地型接收機差距明顯，文獻[18—20]對其進行了分析。文獻[21]指出，由于多路徑效應影響，手機GNSS數據載噪比相對測量型接收機減小了11 dB，僅相當于接收機信號功率的8%。文獻[22]對多種手機進行測試，得到了類似的研究結果。此外，文獻[23]的研究結果表明，載噪比和偽距噪聲相關，載噪比越大偽距噪聲越小。對手機載波數據質量研究結果表明，載波數據質量受到占空比(duty cycling)影響，當觀測存在占空比時，載波數據質量明顯變差[22，24]。在偽距殘差計算方面，各研究均采用站間單差方法，而對于載波觀測值殘差計算，目前計算方法包括兩種。第1種方法是三階差分法[3，22]，首先計算載波雙差(double-difference,DD)觀測值，再通過三階差分的方法計算衛星的觀測殘差。第2種方法是歷元間差分法，即首先計算雙差載波觀測值，再進行歷元間差分[16]。但是，以上兩種方法結果中均受到時間相關性和衛星相關性影響，不能準確代表單顆衛星在單歷元的載波噪聲。

文獻[25]利用變分模態分解對GNSS數據進行分解融合試驗，證明了結合變分模態分解(variational mode decomposition,VMD)在GNSS信號處理方面的有效性。本文采用變分模態分解的方法對手機GNSS觀測噪聲進行提取：首先計算手機雙差觀測值，利用變分模態分解對雙差觀測值進行分解；然后將提取的低頻成分回代，計算各衛星的站間單差觀測值；最后計算各衛星的偽距和載波觀測殘差。利用小米8手機觀測數據進行試驗并分析各系統觀測值質量，最后進行定位試驗。

1 變分模態分解原理與計算步驟

1.1 變分模態分解計算原理

變分模態分解是一種自適應、非遞歸的信號處理方法[26]。基于模態分解理論，信號由不同的模態組合而成，分解的目的就是得到組成信號的本征模函數(intrinsic mode function,IMF)。從一個簡單的信號分解問題出發，假設信號f是由原始信號f0和零均值高斯噪聲n組成

f0(t)=f(t)+n(t)

(1)

離散情況下，由于待估的原始信號和噪聲結果總量大于信號觀測量，因此無法同時求解。上述問題屬于病態性問題，可以利用吉洪諾夫正則化方法對其進行計算，方程式為

(2)

式中，α表示正則化參數。利用傅里葉變換將式(2)轉換至復數域，并展開為泛函進行極值求解，具體過程如下

(3)

(4)

(5)

從以上公式可以看出，f相當于從f0部分過濾了高頻部分，公式計算結果相當于低通濾波。

1.2 計算步驟

變分模態分解的目標是將信號f分解為指定數量K的模態分量uk，每個模態的稀疏程度取決于其在頻率域內的帶寬，即數據主要集中于中心頻率ωk。為了實現分解目標，整個分解過程應在如下框架內進行[26]：

(1) 對于每個子態uk，其邊際譜由希爾伯特變換計算得到。

(2) 每個子態的頻譜均可以用調諧的方式轉換至中心頻率附近。

(3) 子態的帶寬可以通過高斯平滑進行估計。

類似于式(2)，分解方法可以通過以下的正則化公式表示

(6)

L({uk},{ωk},λ)=

(7)

采用交替方向乘子法對上述拉格朗日函數進行迭代求解。迭代過程可以得到指定數量的中心頻率以及頻譜集中于中心頻率的IMF。子態在迭代過程的結果可表示為

(8)

利用Parseval/Plancherel傅里葉變換將式(8)轉換至頻率域，計算結果為

(9)

(10)

2 基于VMD的手機GNSS信息提取方法

對于接收機r和衛星s，頻率i上的偽距和載波觀測方程如式(11)所示[22]

(11)

為減小衛星軌道誤差和大氣誤差的影響，采用短基線方法進行殘差計算。但是需要說明的是，由于手機多路徑效應對其觀測值質量影響較大，站間差分時不能直接舍去多路徑誤差項。站間差分觀測形式為

(12)

對式(12)進行計算時，若同時估計接收機端誤差和衛星端誤差，法方程列秩虧，需要選取基準對式(12)進行分解。選取參考衛星R觀測值作為基準，其他衛星觀測值可表示為以下形式

(13)

(14)

直接通過最小二乘法擬合式(14)中的未知參數即可獲得各衛星偽距和載波觀測值計算殘差。但是，由于式(14)中未知參數個數較多，擬合結果會吸收觀測值中的高頻噪聲部分。因此其計算殘差不能準確代表偽距和載波觀測噪聲，具體表現為上述方法計算所得的觀測值噪聲小于觀測值實際噪聲。

(15)

將其代入式(13)，并顧及測站坐標已知，即式中的單差幾何距離可以消除。聯合參考衛星單差觀測值，有

(16)

綜上所述，結合VMD的手機數據質量提取步驟如下：

(1) 將手機與接收機近距離同步觀測，組成短基線觀測數據。

(2) 對觀測數據進行預處理，逐歷元選擇參考衛星，并計算雙差觀測值。

(3) 對雙差觀測值進行VMD分解，回代分解結果中的低頻部分，計算各衛星的站間單差觀測值。

(4) 根據歷元內各衛星的站間單差觀測值計算數據殘差，統計觀測精度。

3 VMD分解效果檢驗

為驗證VMD對信號的分解效果，首先利用模擬信號對VMD分解進行檢驗。借鑒文獻[25]的分解檢驗方法，分別采用含噪聲、不含噪聲和非連續信號3種情況對VMD進行檢驗。

3.1 不含噪聲的模擬信號

模擬信號由3個子信號組成，頻率分別為0.01、20和480 Hz。分別代表低頻分量、中頻分量和高頻分量，用來判斷VMD對模擬信號的分解效果。各子信號的計算公式為

(17)

原始信號圖像和經過VMD分解后的結果如圖1所示。其中，圖1(a)為原始信號，圖1(b)為VMD分解后的IMF，圖1(c)為各IMF對應的頻譜。從分解結果中可以看出，在模擬信號比較“干凈”的情況下，VMD可以十分準確地對原始信號進行分解。

圖1 無噪聲模擬信號的分解結果 Fig.1 Decomposition result of analog signal without noise

3.2 包含噪聲的模擬信號

在原始信號中加入白噪聲，噪聲幅值為0.1，信號計算公式為

S=S1+S2+S3+0.1×rand

(18)

原始信號和分解結果如圖2所示。從圖2中可以看出，雖然各IMF的幅值在一定程度上會受到噪聲的干擾，但是VMD總體上來看還是能夠準確地提取各頻率的子信號。

圖2 含有噪聲模擬信號的分解結果Fig.2 Decomposition result of analog signal with white noise

3.3 包含間斷信號和噪聲的模擬信號

將子信號S1替換為間斷信號，信號計算見式(19)

(19)

原始信號和VMD分解結果如圖3所示。從結果中可以看出，VMD分解結果基本不受到中斷信號的影響。

圖3 間斷模擬信號分解結果Fig.3 Decomposition result of discontinuous signal

通過3種模擬信號對VMD分解的檢驗可知，VMD能夠較好地適應各種情況下的信號分解且能夠得到較為準確的分解結果。結合上文分析可知，手機GNSS雙差觀測值中不僅包含觀測噪聲，而且很有可能還包含其他已知或者未知的未建模誤差影響。考慮到未建模誤差的低頻性質，采用VMD對其進行提取具有可行性。

4 手機GNSS觀測值質量分析

4.1 數據來源

本次試驗對小米8手機觀測數據進行分析。采用兩部小米8手機進行同步數據觀測，手機操作系統分別為Android 8和Android 9。數據采樣率為1 s，觀測截止高度角為10°。小米8手機支持GPS和Galileo系統雙頻數據，BDS和GLONASS系統單頻數據。考慮到數據連續性，本文僅分析四系統單頻數據。觀測時間為2019年DOY 163，每次觀測開始時間為UTC時間12:00，觀測持續時間為3500 s。采用中海達接收機與手機組成短基線數據，手機和接收機相對位置如圖4所示，手機具體信息見表1。

圖4 接收機和手機相對位置Fig.4 Relative position of receiver and smartphone

表1 手機信息

4.2 雙差觀測值分解結果

在各觀測系統分別選擇高度角最大的衛星作為參考衛星，將其他觀測衛星與參考衛星進行雙差。采用VMD對雙差觀測值進行分解， 分解結果如圖5所示。圖5(a)表示接收機和手機間的雙差偽距結果，圖5(b)表示對雙差偽距進行VMD分解后的低頻成分，圖5(c)表示雙差偽距減去低頻成分以后的計算殘差。為了便于分析，本文分別在各系統選擇觀測時間最長的衛星用于展示。

圖5 偽距雙差觀測值分解結果Fig.5 Decomposition results of pseudorange DD observation

需要說明的是，試驗過程中將雙差偽距觀測值分別分解為兩個和3個模態，分解結果表明，當分解為兩個模態時，第一模態為明顯的低頻成分，第二模態表現為噪聲；當分解為3個模態時，第二模態和第三模態均表現為噪聲，說明結果有過分解的情況。綜上所述，本文將偽距雙差觀測值分解為兩個模態，且僅有第一模態為有效的低頻部分。

分析上述偽距雙差觀測值分解結果。可以看出，四系統分解結果的主要成分雖然總體上表現出平穩性，但是存在低頻變化，根據上面對于雙差觀測值的分析，該部分波動理論上應該是雙差多路徑誤差導致。從分解后的雙差殘差可以看出，BDS系統雙差觀測值噪聲最小，GPS系統與Galileo系統雙差噪聲相似，GLONASS系統雙差噪聲最大。

對分解結果的主要成分進行傅里葉變換，各衛星中心頻率結果見表2。從計算結果可以看出，分解結果的低頻成分頻率均小于0.025 Hz。此外，同一個系統衛星的變化頻率比較統一，BDS系統和Galileo系統數據頻率小于GPS系統和GLONASS系統觀測數據，結果均小于0.01 Hz。該計算結果說明對于手機多路徑效應，其誤差變化與衛星系統相關。

表2 各衛星偽距主成分頻率

圖6為載波雙差觀測值分解結果。由圖6可知，載波雙差觀測值在時域中不穩定，忽略周跳的影響，雙差載波觀測值在連續時間上總體上表現出線性變化的趨勢。該情況可能是由于手機觀測值中的占空比設置導致[22]。對于GPS系統數據和GLONASS數據，雙差載波數據隨時間變化趨勢比較穩定，而對于BDS數據和Galileo數據，載波雙差觀測值在連續時間內表現為不規則變化，說明雙差載波觀測值中除了占空比影響外，還存在其他未建模誤差。對4個系統載波雙差觀測值分解結果進行傅里葉變換，各衛星分解后第一個成分的頻率見表3。由表3可知，各系統分解結果均明顯表現出低頻變化，這是因為由于占空比的影響，雙差觀測值總體上就呈現低頻變化趨勢。系統內各衛星頻率一致，說明手機觀測打開占空比選項后，系統內衛星會受到同步影響。

圖6 載波相位雙差觀測值分解結果Fig.6 Decomposition result of carrier DD observation

表3 各衛星載波主成分頻率

4.3 各系統觀測值精度分析

對各雙差觀測值分解后，利用上文所述方法將雙差觀測值低頻成分回代，反算單差觀測值后計算各衛星偽距觀測值和載波觀測值精度。為研究手機觀測值精度與衛星信噪比或衛星高度角之間的關系，本文采用文獻[27]中的方法對衛星觀測值精度進行統計。統計自變量分別為載噪比和高度角，統計區間設為0.5。

圖7是以載噪比作為自變量對小米8手機GNSS觀測值精度的統計結果，圖7(a)表示MIA8站觀測值精度統計結果，圖7(b)表示MIA9站觀測值精度統計結果。由于MIA8站Galileo衛星觀測值完整性較差，且觀測值數據太少，因此實際計算時舍去了該站Galileo系統衛星觀測值。

圖7 手機GNSS觀測值精度(載噪比噪比)Fig.7 GNSS observation accuracy of smartphone (carrier-to-noise ratio)

分析偽距觀測值精度，從總體上看，兩種手機操作系統下各衛星的偽距觀測值總體上呈現指數型變化規律。對于同一操作系統，可以發現GPS、BDS和Galileo三系統觀測值精度相似，GLONASS系統觀測值精度明顯較差，其觀測值精度僅相當于其他三系統的1/2。比較兩種操作系統下的觀測精度，可以發現各系統觀測值精度相差較小。分析載波觀測值精度，4個衛星系統觀測值精度相差很小。載波觀測值精度為毫米級，結合文獻[22]對手機本身精度的分析，可以發現該計算結果優于雙差觀測值三階差分獲得的精度結果，但是該結果與Android API的噪聲計算結果擬合程度較高。

根據上述分析結果可知，從載噪比角度進行統計，各系統衛星偽距和載波觀測值精度均呈指數變化趨勢。對于偽距觀測值，GPS、BDS和Galileo三系統觀測值精度相似，GLONASS系統觀測值精度明顯弱于其他衛星系統。對于載波觀測值，四系統觀測值精度沒有顯著差異。此外，兩種手機操作系統觀測值精度相當，說明手機GNSS觀測值精度與手機自身操作系統無關。

圖8為以高度角為自變量的手機GNSS觀測值精度統計結果。對于偽距觀測值，手機觀測精度在以高度角為自變量時表現出較弱的相關性。對于載波觀測值，各系統觀測精度在高度角域變化不明顯。總體上，可以認為手機GNSS觀測精度與衛星高度角相關性較差，因此，定位計算時不適合采用高度角隨機模型進行定權。

圖8 手機GNSS觀測值精度(高度角)Fig.8 GNSS observation accuracy of smartphone (elevation)

4.4 定位結果分析

分別對MIA8和MIA9兩站進行偽距單點定位、精密單點定位。定位時采用載噪比隨機模型。結合上文分析獲得的手機各系統觀測值精度進行載噪比隨機模型擬合，擬合結果與模型形式見圖9。需要說明的是，結合上文分析，進行隨機模型擬合時僅采用GPS、BDS和Galileo系統觀測值進行擬合。實際計算時，GPS、BDS、GLONASS和Galileo四系統偽距觀測值權重設為1∶1∶4∶1，載波觀測值四系統等權。定位計算時電離層采用Klobuchar 8參數模型進行計算，對流層誤差利用Hopfild模型估計(PPP定位時估計天頂對流層誤差)。

圖9 載噪比隨機模型擬合結果Fig.9 Fitting result of carrier-to-noise ratio stochastic model

圖10表示MIA8站和MIA9站的偽距單點定位結果。紅色為采用高度角隨機模型的計算結果，黃色表示采用載噪比隨機模型后的定位結果。橢圓和直線表示95%置信區間對應的范圍。從圖10中定位結果可以直觀地看出，采用載噪比隨機模型后，95%置信區間對應的區間明顯縮小。統計兩個手機定位結果的中誤差。MIA8站的N、E、U 3方向定位中誤差分別由0.861、1.004、2.467 m減為0.574、0.735、1.832 m，提升幅度分別為33.36%、26.75%、25.71%。MIA9站的N、E、U 3方向定位中誤差分別由1.011、1.578、3.167 m減為0.709、1.024、1.793 m，提升幅度分別為29.92%、35.11%、43.36%。

圖10 偽距單點定位結果Fig.10 Results of pseudorange single point positioning

為判斷信噪比模型的實際應用效果，利用不同時間的觀測數據進行偽距單點定位試驗。對比數據的觀測日期分別為2019年DOY 170、DOY 267、DOY 322，采樣率均為1 s。3天定位結果提升幅度見表4。從結果中可以看出，當時間相差較短時(2019年DOY 267)，采用本文所述方法后偽距單點定位結果仍有明顯提升，MIA9站手機各方向提升幅度均在25%以上。當時間跨度較長時，本文所述的計算結果提升幅度相對不明顯，甚至會有精度降低的情況。該結果說明，手機定位時所采用的隨機模型不能固定，應當根據時間和外界溫度信息進行綜合考慮。此外，2019年DOY 322，MIA9站手機的定位結果提升幅度十分明顯，這里可能是因為用于對比的高度角隨機模型不適用于該組數據。

表4 不同數據定位結果與提升效果

圖11表示采用載噪比隨機模型后的精密定位結果。由圖11中可以看出，采用擬合的載噪比隨機模型后兩測站平面結果都能收斂。其中MIA8站N、E方向收斂至-0.47、0.50 m，MIA9站N、E方向收斂至-0.35、0.59 m。MIA8站U方向最終收斂至-1.03 m，MIA9站U方向呈現一定的游走趨勢，這里不進行統計。PPP定位結果表明，采用擬合的載噪比隨機模型能夠實現手機精密單點定位收斂，且平面定位精度在1 m以內。

圖11 精密單點定位結果Fig.11 Results of precise point positioning

5 結 論

目前主要采用三階差分或者歷元間差分的方式提取GNSS數據噪聲，這些方法計算的結果受到衛星相關性和數據時間相關性的影響。本文提出采用VMD提取手機GNSS觀測噪聲的方法：首先，計算手機與接收機數據的雙差觀測值，利用VMD提取雙差觀測值主成分；然后，利用提取的成分對各衛星站間單差觀測值進行反算，以消除衛星間的相關性；最后，計算手機GNSS的各衛星觀測噪聲。

為檢驗VMD分解效果，分別利用不含噪聲、含有噪聲和含有間斷信號的3種模擬信號對其進行了檢驗。檢驗結果表明，VMD在各情況下均有良好的分解效果，說明利用VMD對混合信號進行分解具有可行性。利用VMD對手機與接收機的雙差觀測值進行分解。偽距雙差觀測值的分解結果表明雙差觀測值中存在明顯的低頻成分，且各成分與系統相關。對載波雙差觀測值的分解結果表明，其低頻成分呈現不規則變化，說明手機載波觀測值不僅僅受到占空比影響，可能還存在其他的未建模誤差。

利用VMD分解的方法計算小米8手機的GNSS觀測值噪聲并進行分析。對于偽距觀測噪聲，GPS、BDS和Galileo三系統的結果一致，GLONASS系統偽距觀測噪聲約為其他系統的兩倍。對于載波觀測噪聲，4個衛星系統的計算結果比較一致。此外，分析結果表明手機操作系統對手機GNSS觀測值質量不影響。

分別采用載噪比和高度角為自變量統計手機GNSS觀測精度，結果表明手機GNSS觀測值質量與載噪比相關性較強。因此，手機GNSS定位計算時更適合采用載噪比隨機模型。利用各系統觀測精度進行隨機模型擬合，并利用擬合的隨機模型進行定位試驗。偽距單點定位結果表明，相對于高度角模型，采用載噪比隨機模型后定位精度明顯提高。其中MIA8站3方向的定位內符合精度分別由0.861、1.004、2.467 m減為0.574、0.735、1.832 m，提升幅度分別為33.36%、26.75%、25.71%。MIA9站定位內符合精度分別由1.011、1.578、3.167 m減為0.709、1.024、1.793 m，提升幅度分別為29.92%、35.11%、43.36%。PPP定位精度表明，采用載噪比隨機模型后，兩測站平面定位精度均能收斂至0.6 m以內。

對不同時間觀測數據的定位試驗表明，手機GNSS隨機模型不能恒定，考慮到手機芯片受溫度的影響比較明顯，因此在后面的研究過程中，可能需要對不同季節手機GNSS觀測值質量進行深入分析。此外，由于數據連續性影響，本文僅分析了四系統單頻數據，未來也會對手機GNSS雙頻數據進行分析。