針對一類拋物微分方程的解非存在性的方法

熊威

摘 要：對于一類（冪類非線性）拋物型偏微分方程，我們找到證明解非存在性的一種方法，并且把它擴(kuò)展到n次偏微分方程上，與此同時，再用橢圓偏微分方程解的穩(wěn)定條件，進(jìn)一步限定這類拋物型偏微分方程解非存在性的條件。

關(guān)鍵詞：拋物型偏微分方程;非平凡弱解;Young不等式;穩(wěn)定弱解

1 緒論

本文討論了一種求非線性偏微分方程解和不等式的先驗(yàn)估計(jì)的方法。目的是應(yīng)用這些估計(jì)來尋找可解性的必要條件。這種方法簡單地基于測試函數(shù)和參數(shù)，涵蓋了一類廣泛的非線性問題，我們解決了解的不存在問題。

近幾年來，偏微分方程組和方程組的不存在定理得到了廣泛的關(guān)注。關(guān)于這一主題有相當(dāng)廣泛的參考書目。對于擬線性拋物問題，請感興趣的讀者可以看文獻(xiàn)[31]，并參考文獻(xiàn)[7，11，20，24]。這些貢獻(xiàn)實(shí)際上包括拋物線演化問題的大多數(shù)主要參考書目來源。對于雙曲線方程和系統(tǒng)，感興趣的讀者可以參考文獻(xiàn)[10，16，17，18，19]。一些證明橢圓、拋物線和雙曲線問題解不存在的方法大致是基于比較方法或相關(guān)能量泛函的研究。例如，請參閱文獻(xiàn)[32]和其中的橢圓問題和引用非線性拋物線方程和雙曲方程的文獻(xiàn)[1，13，14，21，30]。

對于具有特殊結(jié)構(gòu)的演化問題[31]，比較方法允許通過構(gòu)造一個已知沒有解的適當(dāng)參考問題來證明全局解的不存在。類似的想法也可以用于固定的情況。我們將要描述的方法與比較原理或能量泛函沒有直接關(guān)系，它基本上是基于在可能的解上找到最優(yōu)的積分估計(jì)。簡單地說，我們證明不存在的策略如下：首先，我們證明了一些合適的局部積分估計(jì)，然后，通過研究了這些估計(jì)相對于問題的漸近行為進(jìn)一步估計(jì)成期望的參數(shù)。眾所周知，這些思想在偏微分方程論中經(jīng)常被使用，特別是當(dāng)不知道解的可能行為的信息時，無論是在可能的奇點(diǎn)附近還是在無窮大（非線性Liou ville型定理），見文獻(xiàn)[3，4，12，22，23]。

如上所述，“右先驗(yàn)估計(jì)”的推導(dǎo)是基于檢驗(yàn)函數(shù)的方法。在自然容許類中，測試函數(shù)的最優(yōu)選擇導(dǎo)致了由我們的問題引起的非線性容量。我們指的是與非線性微分方程相關(guān)的非線性容量的精確概念的文獻(xiàn)[29]。對于不存在分析，只要找到這個容量的漸近性的第一項(xiàng)的最優(yōu)估計(jì)就足夠了。測試函數(shù)的選擇取決于問題的非線性特性，取決于我們所處理的解的概念。特別是，對于固定的非線性問題，最優(yōu)的不存在條件（例如“臨界指數(shù)”）在不同的函數(shù)空間中可能是不同的。我們提出的方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：簡單性、通用性和準(zhǔn)確性。首先，所有的計(jì)算都很簡單。事實(shí)上，不存在問題被歸結(jié)為一組適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)不等式的分析。第二，由于我們不使用比較原理或能量泛函，我們可以研究一類廣泛的非線性問題的不存在，包括高階非線性雙曲不等式。最后，在所有解決方案中，這些結(jié)果都是最優(yōu)的。當(dāng)然，通過改變這個類（在額外的假設(shè)下），這些結(jié)果中的一些可以改進(jìn)。在這方面，比較文獻(xiàn)[19]的結(jié)果。

本文的我們主要關(guān)注冪類非線性，所提出的方法也可以應(yīng)用于更一般非線性。是否可以使用一類方法對各種相關(guān)非線性問題拋物線（或雙曲線）描述給定類型非線性（例如冪類非線性）的解的不存在條件。本文第一部分是我們研究了RN上的平穩(wěn)非線性不等式解的不存在條件，第二部分是研究在橢圓微分方程穩(wěn)定解的條件下拋物微分方程的解的不存在條件又是怎么樣的。

2 非平凡弱解

這一部分是關(guān)于演化方程和不等式的研究。對于高階問題也可以得到各種推廣，見文獻(xiàn)[24，27]。我們指出，我們的方法和其他已知方法的主要區(qū)別之一在于，對于半線性問題，我們不假定問題的解我們正在考慮的是非負(fù)的。我們的主要目標(biāo)是證明問題解的局部積分估計(jì)，然后在弱解的定義中選擇合適的測試函數(shù)為了獲得一個最優(yōu)的不存在的結(jié)果。顯然，我們的測試函數(shù)現(xiàn)在將依賴于對我們的一些結(jié)果的證明的分析將呈現(xiàn)，表明我們沒有對所涉及的微分算子的類型作出任何特殊的假設(shè)。

這一事實(shí)使我們能夠用同樣的方法研究幾類不同的不等式。作為一個例子，我們提到了典型的例子。

又由于且由積分的收斂性，我們有，于是我們可以得到。于是u≡0。

3 穩(wěn)定弱解

我們由文獻(xiàn)[2，6，8，9，15]可知道橢圓偏微分方程的穩(wěn)定解不存在的條件，我們可以嘗試的利用橢偏微分方程的穩(wěn)定性條件來更進(jìn)一步加強(qiáng)拋物微分方程的解的條件。同樣可以用文獻(xiàn)[25，26，28]的方法來證明。

所以，這與u>0矛盾，證畢。

這里我們觀察到當(dāng)θ=1時是最優(yōu)的情況，即要求N+1-2q+2γq-1<0才能滿足（3.11）。

于是當(dāng)1+2N

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作者簡介：熊威（1994— ），男，漢族，湖南邵陽人，碩士，學(xué)生，研究方向：偏微分方程。