基于卷積神經網絡和多項式混沌方法的翼型魯棒性優化

高遠，閆妍，周磊，李典，郝海兵

（航空工業西安航空計算技術研究所 第七研究室，西安710065）

0 引言

在大展弦比飛行器氣動外形的設計過程中，翼型的氣動優化設計至關重要。何萌等［1］對超臨界翼型RAE2822進行了優化，并研究了其中的多極值問題；陳笑天等［2］研究了針對旋翼翼型的高速綜合氣動優化設計方法；李春鵬等［3］針對自適應后緣翼型發展了氣動優化設計方法。上述基于氣動數值模擬的翼型優化設計是在確定條件下進行的，當條件受到擾動發生變化時，最優翼型的性能可能會有所惡化。為了緩解非設計點性能可能會惡化的問題，引入了翼型魯棒性優化設計方法，在設計狀態下對翼型的氣動性能進行優化，同時兼顧設計點一定變化范圍內氣動性能的穩定性［4］。

與確定性優化設計相比，魯棒性優化的一個顯著特點是在優化過程中不斷地進行不確定度量化，即計算系統關于隨機變量的不確定性響應。最常用的不確定度量化方法為蒙特卡洛法，該方法是一種最簡單的評估方法，可以很方便地計算響應量的概率分布，而且預測精度較高。但是對于該方法而言，若要使響應量的期望概率水平達到10-N的 要 求，樣 本 點 的 數 量 至 少 應 為10N+2［5］。即便應用拉丁超立方抽樣技術進行了改進，提高了分析效率，但是蒙特卡洛方法仍然具有計算樣本量較大的問題。因而在翼型魯棒性優化設計中，需要進行大量的CFD計算，計算代價很大［6］。

針對這一問題，國內外開展了廣泛研究。國外，K.Zhao等［7］基于多目標進化算法對自然層流超臨界翼型開展了魯棒性優化；H.Shah等［8］發展了一種考慮混合不確定性的、多精度的翼型魯棒性設計方法；A.S.Padron等［9］應用多可信度方法進行了翼型的氣動魯棒性優化；D.I.Papadimitriou等［10］使用一階可靠性方法結合基于伴隨的優化方法對翼型進行了考慮升力可靠性的魯棒設計；D.Lucor等［11］提出了一種應用隨機代理模型的翼型隨機優化框架。國內，李焦贊等［12-13］開展了基于幾何不確定性的翼型多目標魯棒優化設計研究，在魯棒優化設計中引入了多目標遺傳算法，并考慮了馬赫數波動的魯棒優化問題；白俊強等［14］使用CST參數化方法對超臨界翼型的馬赫數波動魯棒優化設計問題開展了研究；Zhao H等［15-17］建立了基于非嵌入式多項式混沌方法以及稀疏多項式混沌方法的高效翼型魯棒性多目標優化設計方法。

上述針對翼型的魯棒性優化設計方法，多采用CFD計算或代理模型方法進行氣動力預測。為了降低計算代價、保證預測精度，本文采用卷積神經網絡模型進行氣動力的預測。搭建基于卷積神經網絡的氣動力預測模型；采用多項式混沌方法進行不確定度量化，構建翼型魯棒性優化設計系統；以RAE2822翼型為基準翼型進行優化設計，對翼型魯棒性設計方法的可行性進行驗證。

1 基于卷積神經網絡模型的氣動力建模

卷 積神經 網絡（Convolutional Neural Net?work，簡稱CNN）模型作為一種基于數據的建模方法［18］，不考慮復雜的物理機理，將氣動力建模問題看做“黑箱”問題，直接建立氣動力與飛行狀態之間的關系式。在基于數據驅動的氣動力模型建模研究方面，目前多采用淺層機器學習模型，如BP神經網絡模型［19］、RBF神經網絡模型［20］、支持向量機模型［21］等。相較于這些淺層模型，卷積神經網絡模型在訓練過程中采用了局部連接和權值共享的方式，減少了權值的數量，使網絡易于優化；同時降低了模型的復雜度，減少了過擬合的風險［22］。

在翼型魯棒性優化設計問題中，不僅需要在特定設計點處（馬赫數和攻角視為定值）預測翼型的升力系數，還需要在針對馬赫數和攻角的不確定度量化時，預測翼型在馬赫數和攻角在一定變化范圍內的阻力系數。本文針對上述升力系數和阻力系數的不同預測需求分別建立兩個不同的CNN預測模型。升力系數的CNN預測模型的輸入參數僅包括描述翼型的16個CST參數，而阻力系數的CNN預測模型的輸入參數還需要包括馬赫數和攻角。兩個CNN模型中均包含兩次卷積操作和一次池化操作。兩個CNN模型的具體參數和結構如圖1所示。

圖1 本文設計的CNN結構圖Fig.1 CNN structure diagram designed in this paper

基于CNN的氣動力建模的樣本生成過程為：在樣本空間內應用拉丁超立方采樣法（Latin Hy?percube Sampling，簡稱LHS）生成一定數量的翼型；應用求解器對生成的翼型進行氣動力分析，湍流模型選用RANS模型，計算其升力、阻力系數，生成訓練卷積神經網絡所需的樣本庫。

搭建的兩個CNN模型的設計狀態為：馬赫數Ma=0.734，攻角α=2.79°，基準翼型為RAE2822翼型。在樣本空間構造方面：以上述馬赫數、攻角及基準翼型的16個CST參數為中心，各取一個小的變化區間，形成一個整體的樣本空間，其中翼型CST參數的變化區間為基準翼型各個參數的±0.05，馬赫數的變化區間為［0.72，0.75］，攻角的變化區間為［2.7，2.9］。

兩個CNN模型由于輸入參數和模型結構方面有所區別，因此訓練樣本量、訓練迭代次數等參數并不相同。本文選用的預測評價指標為均方根誤差（Root Mean Square Error，簡稱RMSE）和平均相對誤差（Mean Relative Error，簡稱MRE），如式（1）所示。兩個CNN模型的訓練參數和訓練結果如表1所示。

式中：n為樣本的個數；yi為第i個樣本的CFD計算結果；pi為其對應的CNN模型預測值。

兩個CNN模型的訓練結果如圖2所示。從表1和圖2可以看出：CNN模型在氣動力建模方面的精確度可以滿足翼型設計優化的計算要求。

表1 兩個CNN模型的訓練參數和訓練結果Table 1 Training parameters and training results of two CNN models

圖2 CNN的氣動力系數預測結果Fig.2 CNN’s aerodynamic coefficient prediction results

2 基于多項式混沌方法的不確定度量化

在不確定度量化方面，常用的蒙特卡洛（Mon?te Carlo，簡稱MC）方法因其構造簡單而被廣泛應用，為了滿足計算精度要求，MC方法通常需要大量的樣本點，導致計算量大，收斂速度慢［23］。

對比MC方法，多項式混沌（Polynomial Cha?os，簡稱PC）方法在不確定度量化方面具有更高的計算效率［24］。在該方法中，整個數值模擬的過程被認為是隨機的，首先針對輸入樣本選擇正交基函數，然后將輸出在基函數空間中展開，最后得到輸出在基函數譜空間中的完全展開，進而獲得各種統計特性，例如均值、均方根值和輸入變量的全局敏感度指標等。

本文采用非嵌入式多項式混沌（Non-intrusive Polynomial Chaos，簡稱NIPC）方法［25-26］進行不確定度量化。通過確定性的氣動力模型，例如CFD計算或前文設計的CNN模型，得到采樣點{ξ1，ξ2，…，ξN}對應的響應值{y1，y2，…，yN}。往往采樣點的數量不小于PC展開中的自由度個數，因此方程組Ψα=Y是一個矛盾方程組［27］，其中Ψ作為測量矩陣，Ψij=ψj(ξi)。采用最小二乘法對上述矛盾方程組進行求解。

采樣點的數目N跟PC展開中的自由度個數有關，即：

式中：n為輸入隨機變量的個數；p為混沌多項式的階數；np為過采樣率，根據H.Serhat等［28］的研究，np=2時PC展開的效果較好，因此本文選擇np=2。

對輸出進行PC展開之后，輸出的均值μ、方差σ2等統計信息可直接根據基函數的正交特性得到，即按式（3）進行計算，然后將其應用于魯棒性優化系統中。

采用NIPC方法研究馬赫數、攻角的不確定度對RAE2822翼型阻力系數的影響，假設馬赫數、攻角分別滿足在區間［0.72，0.75］、［2.7，2.9］上的均勻分布，且雷諾數Re=6.5×106。本算例采用的氣動力預測模型為上文提到的CNN-2模型，該模型的精度滿足使用要求。

采用蒙特卡洛方法來對比驗證NIPC方法的計算精度是否達到要求，使用樣本數量為105個，此時響應量的期望概率水平達到10-3，可以達到對比驗證的要求。RAE2822翼型的阻力系數均值和方差隨著樣本點數目變化的收斂情況對比如表2所示。

表2 NIPC方法與MC方法的對比Table 2 Comparison of NIPC method and MC method

從表2可以看出：NIPC方法的階數達到3階時即可滿足使用要求；NIPC方法在樣本數量大幅減少至25左右時仍能達到較高的不確定度量化精度，具有高效性和有效性。因此針對RAE2822翼型魯棒性優化設計中，采用樣本數目為25的3階NIPC方法來完成不確定度量化中阻力系數的均值和方差計算。

3 魯棒性優化設計系統

3.1 魯棒性優化設計系統的搭建

本文構建以RAE2822翼型為初始翼型的魯棒性優化設計系統，該系統采用CNN模型作為氣動力預測模型，使用NIPC方法進行不確定性量化，優化算法選擇NSGA-Ⅱ［29］進行迭代優化。魯棒性氣動優化設計流程如圖3所示。

圖3 翼型魯棒性氣動優化設計流程Fig.3 Aerofoil robust aerodynamic optimization design process

具體步驟如下：

（1）采用拉丁超立方采樣法生成遺傳算法所需種群，并對其進行編碼和初始化；

（2）調用生成的CNN-1模型對每一個個體進行升力系數預測；

（3）應用NIPC方法進行不確定度量化，確定響應（阻力系數）的均值和方差，其中調用CNN-2模型進行阻力系數預測；

（4）根據遺傳算法中設定的約束條件及目標函數計算其適應度，并判斷是否滿足設計要求；

（5）不滿足時則進行交叉、變異、選擇過程，并返回步驟（2），直至達到最大迭代次數，迭代結束。

3.2 算例驗證

以RAE2822翼型為初始翼型進行翼型的設計優化，設計要求如下：

（1）設計狀態：馬赫數Ma=0.734，攻角α=2.790，雷諾數Re=6.5×106，其中馬赫數和攻角分別滿足在區間［0.72，0.75］、［2.7，2.9］上的均勻分布；

（2）優化后翼型的厚度不低于原始翼型厚度的0.98倍；

（3）要求在升力不降低的條件下，降低翼型在設計點的阻力系數，同時保證翼型在不確定變量馬赫數和攻角的一定變化范圍內，阻力性能的波動盡量小。

將x/c在0.20，0.30，0.40，0.45，0.50，0.55，0.60，0.70，0.80處的厚度不小于原始厚度的0.98倍作為厚度約束，同時還要保證翼型的最大厚度不小于原始翼型的0.98倍。

選擇16個CST參數作為優化設計變量，其初值和取值范圍如表3所示。翼型魯棒性設計優化的數學模型為

表3 設計變量初值及取值范圍Table 3 Initial value and range of design variables

式中：δ為翼型厚度；CL為翼型升力系數；μ和σ2為翼型阻力系數在馬赫數和攻角的變化區間內的均值和方差；CD為翼型阻力系數。

NSGA-Ⅱ算法的種群規模為100，最大進化代數為100。

為了進行結果比對，本文還進行相同設計要求下的確定性翼型優化，其數學模型為

該優化過程中使用的氣動力預測模型也為CNN模型，優化算法選用經典遺傳算法（Simple GA，簡稱SGA），其相關參數設置如下：種群規模100，交叉概率0.9，變異概率0.1，進化代數100。優化結果如表4所示，優化后的翼型如圖4～圖5所示。

表4 優化設計結果對比Table 4 Comparison of optimized design results

圖4 翼型形狀對比Fig.4 Airfoil shape comparison

圖5 翼型壓力分布對比Fig.5 Airfoil pressure distribution comparison

從圖4～圖5可以看出：魯棒性優化后的翼型最大厚度后移，激波強度減弱，在升力系數不下降的情況下有效降低了阻力系數，提高了升阻比。

原始翼型和確定性優化得到的翼型阻力發散曲線如圖6所示。

圖6 翼型阻力發散曲線對比Fig.6 Comparison of airfoil drag divergence curves

從圖6可以看出：魯棒性優化后的翼型在馬赫數和攻角的不確定范圍內氣動特性得到了改善，隨著馬赫數和攻角的增加，阻力系數變化較為平緩，氣動性能較為穩定，達到了魯棒性優化的目的。

通過該算例的驗證分析，體現出本文設計的氣動優化方法能夠對翼型進行有效的魯棒性優化，同時該方法相較于其他方法的優勢主要體現在優化整體效率的提升。與常規的應用CFD計算作為氣動力預測模型的優化流程相比，本文設計的CNN模型雖然在訓練樣本的準備過程中仍需進行CFD計算，但計算量有所減少。只要設計狀態不變，一旦優化算法及相關優化參數（如優化目標函數的構造方式）發生變化，以前訓練好的氣動力預測模型仍能繼續使用而無需再訓練，這就提高了整體優化效率。

4 結論

（1）在氣動力預測方面，本文設計的卷積神經網絡模型滿足翼型優化設計要求，預測精度高，可以提高優化設計的整體效率。

（2）在不確定度量化方面，采用的非嵌入式的多項式混沌方法具有明顯優勢，在樣本數量大幅降低的情況下仍能保持計算的準確性，提高了魯棒性氣動優化設計效率。

（3）本文驗證了該優化設計方法在RAE2822翼型優化過程中的可行性，其主要策略可望應用于其他翼型的優化設計。