基于免疫克隆的圖像稀疏分解算法研究

王 麗，王 威，劉勃妮

（西安航空學(xué)院電子工程學(xué)院，陜西西安 710077）

稀疏分解理論指出，信號(hào)在某些稀疏基上具有簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式，降低了信號(hào)的傳輸壓力，提高了信號(hào)的處理效率。在過(guò)完備庫(kù)里尋找能夠表示信號(hào)特征最優(yōu)原子的過(guò)程，稱為稀疏分解。高光譜圖像(Hyperspectral Images,HSIs)[1]包含豐富的空間信息和光譜信息，其稀疏表示結(jié)果能夠應(yīng)用于圖像分類、識(shí)別[2-6]等，可進(jìn)一步推進(jìn)高光譜遙感技術(shù)的發(fā)展。

文中首先給出諧波小波包字典的構(gòu)造方法，然后介紹免疫克隆算法實(shí)現(xiàn)稀疏分解的過(guò)程，最后采用Matlab 軟件進(jìn)行仿真，對(duì)高光譜圖像和一般圖像進(jìn)行稀疏分解，分析諧波小波包字典的稀疏表示能力。

1 諧波小波包字典

基于冗余字典的信號(hào)稀疏模型表示為：

其中，x∈RN為原始信號(hào)，Φ∈RN×L為冗余字典，θ∈RL為稀疏系數(shù)向量。字典的每列元素稱為原子。在稀疏分解中，需要解決兩個(gè)問(wèn)題：一是構(gòu)造冗余字典，二是找到稀疏系數(shù)向量。

高光譜圖像具有空間和譜間相關(guān)性，空間和譜間均存在冗余，具有稀疏性。但高光譜圖像信號(hào)特征復(fù)雜，一般的冗余字典無(wú)法準(zhǔn)確捕捉到信號(hào)特征。諧波小波包字典(Harmonic Wavelet Packet dictionary,HWP)[7-9]具有以下特點(diǎn)：1）具有信號(hào)頻譜的盒型函數(shù)形式；2）表達(dá)形式簡(jiǎn)單清晰；3）具有正交性和對(duì)稱性；4）實(shí)現(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單。基于以上分析，選擇諧波小波包字典作為高光譜圖像的稀疏基，對(duì)其進(jìn)行稀疏表示。

諧波小波包字典的頻域表達(dá)式為：

其中，ω是頻率，p和q是尺度參數(shù)，決定諧波小波的帶寬。

對(duì)式（2）進(jìn)行傅里葉逆變換，得到諧波小波包的時(shí)域表達(dá)式：

其中，n是時(shí)域變量。

對(duì)上述諧波小波進(jìn)行位移變換，假定位移步長(zhǎng)為v/(q-p)，v是位移參數(shù)，式（3）可變?yōu)椋?/p>

式（5）表示的諧波小波的帶寬為(q-p)2π，中心位置在v/(q-p)。與其他小波分解相似，當(dāng)小波分解的層數(shù)越多時(shí)，小波分解的頻域越窄，因此低頻段的細(xì)化能力優(yōu)于高頻段。當(dāng)分解層數(shù)指定后，諧波小波基函數(shù)的時(shí)寬、帶寬均固定，無(wú)法與信號(hào)自適應(yīng)匹配。為了解決此問(wèn)題，采用諧波小波包的自適應(yīng)分解方法[10]。

假設(shè)信號(hào)的最高頻率為fh，若指定分解層數(shù)為s，則對(duì)應(yīng)信號(hào)將被分解到2s個(gè)子頻率段，每個(gè)頻率段對(duì)應(yīng)的信號(hào)帶寬為：

由于諧波小波的帶寬為(q-p)2π，故尺度參數(shù)p和q應(yīng)滿足：

根據(jù)上述分析，將諧波小波的參數(shù)(p,q,v)對(duì)應(yīng)到諧波小波包的參數(shù)(s,u,v)。假定信號(hào)長(zhǎng)度為N，則分解層數(shù)s的范圍是s=0,1,…,log2(N)-1。參數(shù)u是子帶索引，其范圍是u=0,1,…,2s-1。參數(shù)v是子帶內(nèi)小波系數(shù)的位置索引，其范圍是v=0,1,…,N-1。則尺度參數(shù)p和q確定為：

通過(guò)這種自適應(yīng)分解的方式，在每個(gè)分解層級(jí)上，均能在整個(gè)分析頻域內(nèi)得到高分辨率的分析結(jié)果。給定參數(shù)(s,u,v)，就能夠得到一組諧波小波包字典，字典的原子個(gè)數(shù)為N(N-1)。

2 稀疏分解算法

正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[11]算法通過(guò)遍歷冗余字典的所有原子，依次找出最優(yōu)原子，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的稀疏分解。當(dāng)冗余字典的冗余較高時(shí)，正交匹配追蹤算法的時(shí)間復(fù)雜度較高。文中借鑒生物種群的進(jìn)化思想，引入免疫克隆概念，采用免疫克隆算法(Immune Clone Algorithm,ICA)[12]實(shí)現(xiàn)最優(yōu)原子的搜索。與OMP 算法不同，ICA算法的全局搜索能力較強(qiáng)，通過(guò)模擬生物的免疫系統(tǒng)，采用克隆和記憶機(jī)制，實(shí)現(xiàn)生物個(gè)體的更新[13-14]。

在ICA 算法中，抗體是目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)可行解，抗原就是目標(biāo)函數(shù)。與稀疏分解的目標(biāo)函數(shù)相對(duì)應(yīng)，每個(gè)抗體代表著從冗余字典中尋找到的原子。為了利用免疫克隆算法實(shí)現(xiàn)稀疏分解，首先，要產(chǎn)生一組初始的抗體；然后，利用親和度函數(shù)計(jì)算抗體和抗原之間的親和度。在抗體確定后，利用克隆、克隆變異和克隆選擇3 個(gè)算子[15]，實(shí)現(xiàn)抗體的不斷更新，隨著進(jìn)化過(guò)程的進(jìn)行，找到最優(yōu)原子并計(jì)算稀疏表示系數(shù)。

2.1 免疫克隆算法

2.1.1 初始化

1）初始抗體的產(chǎn)生

假定需要尋找的最優(yōu)原子個(gè)數(shù)為K，則抗體表示為1×K的行向量，即a=(aa1,aa2,…,aaK)，其中aaK是集合[1,L]中的一個(gè)數(shù)字，代表冗余字典中的一個(gè)原子。種群包含M個(gè)抗體，表示為A=(a1,a2,…,aM)。

2）親和度函數(shù)的設(shè)計(jì)

親和度函數(shù)用于計(jì)算抗體和抗原的親和度，即用于評(píng)價(jià)抗體代表的可行解的優(yōu)劣。親和度越高，表明抗體代表的可行解越優(yōu)。設(shè)計(jì)的親和度函數(shù)表示為：

其中，Φa和θa是抗體a所對(duì)應(yīng)的原子字典和稀疏系數(shù)向量。

2.1.2 初始化

1）克隆算子

每個(gè)抗體對(duì)應(yīng)的克隆個(gè)數(shù)與其親和度相關(guān)，定義為：

2）克隆變異算子

為了保留原始種群信息，只針對(duì)克隆個(gè)體進(jìn)行變異操作。設(shè)定變異概率為Pm，對(duì)于抗體的每個(gè)元素，產(chǎn)生一個(gè)0 和1 之間的隨機(jī)數(shù)r。如果r＜Pm，則對(duì)應(yīng)的元素位置就替換為集合[1,L]中的任意數(shù)字，即變異為新的抗體。

3）克隆選擇算子

假設(shè)某克隆變異后的抗體滿足b=max{affinity(aim)|m=1,2,…,Ci-1}，并且滿足：

則用抗體b替代其父抗體ai，以更新種群。

通過(guò)克隆、變異、選擇3 個(gè)算子操作后，初始群體將更新為具有更高親和度的抗體。經(jīng)過(guò)不斷地進(jìn)化后，找到最優(yōu)個(gè)體abest，則稀疏系數(shù)表示為：

其中，Φabest表示最優(yōu)抗體abest代表的原子字典。

2.2 實(shí)現(xiàn)流程

基于免疫克隆的稀疏分解算法實(shí)現(xiàn)流程圖如圖1 所示，其實(shí)現(xiàn)步驟如下：

Step 1 初始化：確定進(jìn)化代數(shù)為t=1，產(chǎn)生初始抗體種群A1=(a1,a2,…,aM)。

Step 2 親和度計(jì)算：利用式（10）計(jì)算種群At的抗體親和度。

Step 3 克隆操作：利用式（11）計(jì)算每個(gè)抗體的克隆個(gè)數(shù)，根據(jù)式（12）獲取克隆種群。

Step 4 克隆變異操作：產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)r，并與變異概率Pm進(jìn)行比較，以獲取變異種群。

Step 5 克隆選擇操作：比較種群中所有抗體的親和度，用變異種群的最優(yōu)個(gè)體與父代抗體對(duì)比，采用式（13）獲得種群At+1。

Step 6 判斷停止條件：判斷是否達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)T，若達(dá)到則停止迭代，否則令t=t+1，重復(fù)執(zhí)行Step2～Step6。

Step 7 選擇最優(yōu)抗體：計(jì)算種群AT的親和度，選擇具有最高親和度的抗體為最優(yōu)抗體abest。

Step 8 稀疏系數(shù)計(jì)算：采用式（14）計(jì)算稀疏系數(shù)。

圖1 稀疏分解算法流程圖

重構(gòu)信號(hào)表示為：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

選擇4 組圖像對(duì)基于免疫克隆的稀疏分解算法進(jìn)行驗(yàn)證，分析諧波小波字典的稀疏表示能力。第一、第二組圖像是由美國(guó)的航空可見(jiàn)光/紅外光成像光譜儀(Airborne Visible Infrared Imaging Spectrometer,AVIRIS) 采集得到的高光譜圖像Cuprite1 和Cuprite2，兩組數(shù)據(jù)集的波段數(shù)為224，圖像大小均為614×512。去掉含噪波段和水汽吸收波段，可用波段數(shù)為188，第40 個(gè)波段圖像如圖2(a)和圖2(b)所示。第三、第四組圖像是一般的二維圖像Lena 和Camaraman，圖像大小均為256×256，如圖2(c)和圖2(d)所示。

圖2 實(shí)驗(yàn)圖像

因每個(gè)圖像的空間像素較多，若對(duì)整幅圖像進(jìn)行稀疏表示，則冗余字典的冗余度太高，無(wú)法完成有效的稀疏表示，故對(duì)波段圖像進(jìn)行分塊處理，分塊大小為8，將每個(gè)塊圖像通過(guò)列優(yōu)先的方式轉(zhuǎn)換為一維向量，然后進(jìn)行稀疏分解，分解后再恢復(fù)為圖像塊形式，完成每個(gè)圖像的稀疏表示。對(duì)高光譜圖像進(jìn)行空間裁切，將圖像裁切為256×256，波段數(shù)仍為188。

選擇Gabor 字典[16]與構(gòu)造的HWP 字典進(jìn)行比較，以分析HWP 字典對(duì)高光譜圖像的稀疏表示能力，利用ICA 稀疏分解算法對(duì)4 組高光譜圖像進(jìn)行稀疏分解。以重構(gòu)圖像是原始圖像和噪聲圖像的疊加為基礎(chǔ)，定義原始圖像的最大灰度值與噪聲圖像的標(biāo)準(zhǔn)均方差的比值為峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio,PSNR)[17]，并以dB 作為峰值信噪比的單位。每個(gè)波段圖像的峰值信噪比定義為：

利用ICA 搜索得到的32 個(gè)原子構(gòu)成重構(gòu)圖像，在進(jìn)化過(guò)程中，種群個(gè)數(shù)設(shè)置為M=10，克隆常數(shù)為C=15，變異概率為Pm=0.2，最大進(jìn)化代數(shù)為T(mén)=20。利用重構(gòu)圖像和原始圖像之間的峰值信噪比對(duì)字典的稀疏表示能力進(jìn)行評(píng)價(jià)，4 組圖像的重構(gòu)峰值信噪比見(jiàn)表1。無(wú)論是高光譜圖像還是一般圖像，在搜索的原子數(shù)相同的條件下，HWP 字典均能得到優(yōu)于Gabor 字典的結(jié)果，兩者的平均峰值信噪比之差最高能達(dá)到4.90 dB。特別是，對(duì)于高光譜圖像來(lái)說(shuō)，HWP字典能夠得到較高的重構(gòu)峰值信噪比，說(shuō)明構(gòu)造的諧波小波包字典更能表示高光譜圖像的復(fù)雜信號(hào)。

Cuprite1 場(chǎng)景、Lena 場(chǎng)景的重構(gòu)圖像對(duì)比如圖3和圖4 所示。從視覺(jué)效果上看，與原始圖像相比，利用Gabor 字典得到的重構(gòu)圖像的細(xì)節(jié)更為完整。利用Gabor 字典得到的重構(gòu)圖像的塊效應(yīng)比較明顯，而諧波小波字典得到的重構(gòu)圖像則弱化了塊效應(yīng)的影響，重構(gòu)圖像更加光滑。

表1 利用兩種字典得到的峰值信噪比

圖3 場(chǎng)景Cuprite1的重構(gòu)圖像對(duì)比

圖4 場(chǎng)景Lena的重構(gòu)圖像對(duì)比

4 結(jié)論

文中對(duì)基于免疫克隆的圖像稀疏分解算法進(jìn)行了研究，首先構(gòu)造了用于表示復(fù)雜圖像的諧波小波包字典，然后研究了基于免疫克隆思想的稀疏分解算法，包括初始種群的產(chǎn)生、親和度函數(shù)設(shè)計(jì)以及克隆算子、免疫算子和選擇算子的設(shè)計(jì)等，并給出了算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。采用基于免疫克隆的稀疏分解算法對(duì)高光譜圖像和一般二維圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與Gabor 字典相比，HWP 字典對(duì)高光譜圖像的稀疏表示能力更強(qiáng)，獲得的重構(gòu)圖像峰值信噪比更高。如何降低塊效應(yīng)對(duì)重構(gòu)圖像的影響是進(jìn)一步研究的方向。