基于新型趨近律的永磁同步電機積分滑模控制

陳 才, 王志亮, 徐 瀟, 張言溪, 王 猛

北京機電工程研究所，北京 100074)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)結構簡單、功率密度高、效率高[1]，是眾多飛行器電動舵機和燃油系統電動燃油泵的關鍵部件。目前PMSM調速系統普遍采用算法簡單、可靠性高和參數調整方便的比例-積分-微分(PID)控制，但PMSM是多變量耦合的復雜非線性系統，傳統PID控制難以滿足在系統參數擾動和外界不確定因素影響狀況下的高性能控制要求[2]。隨著現代控制理論的發展，預測控制[3-4]、模糊控制[5-6]、模型參考自適應控制[7-8]、滑模控制(SMC)[9-11]、神經網絡控制[12-13]等先進控制技術逐步被應用于高性能PMSM調速系統的設計。滑模控制通過控制量的切換迫使系統狀態沿設計的滑模面滑動，使得系統在受到參數攝動和外部干擾時具有不變性，魯棒性好、實現簡單的滑模控制在復雜非線性系統的控制中已有廣泛應用[14-15]。

文獻[16]提出了一種基于改進冪次指數趨近律的模糊自適應滑模控制器設計方法，研究表明可提高PMSM控制系統在參數變化和外部擾動時的動靜態性能和魯棒性。文獻[17]提出的新型滑模控制器采取變帶寬趨近方式，并引進反雙曲正弦函數特征，可有效抑制系統的穩態轉矩脈動。文獻[18]對基于變指數快速冪次趨近律的滑模控制器開展了研究，所設計的控制器響應速度快、魯棒性強。文獻[19]對滑模切換面進行優化設計，結合了提出的變指數趨近律，可有效削弱系統抖振。文獻[20]提出一種切換增益可隨系統偏差自適應調整的非線性變速趨近律，有效抑制了抖振，控制品質較好。

本文基于上述文獻思想，提出一種基于新型混合趨近律的PMSM積分滑模控制器設計方法，并進行了仿真分析。

1 PMSM數學模型

為了簡化分析，在建立表貼式PMSM數學模型時，假設：(1)轉子永磁磁場在氣隙空間分布為正弦波，定子電樞繞組中的感應電動勢也為正弦波；(2)忽略定子鐵心飽和，認為磁路線性，電感參數不變；(3)不計鐵心渦流和磁滯損耗；(4)轉子上無阻尼繞組。則兩相旋轉d-q坐標系下PMSM的電壓方程為

(1)

式中：ud、uq分別為d、q軸的電壓分量；id、iq分別為d、q軸的電流分量；Ld、Lq分別為d、q軸的電感，在表貼式PMSM中一般認為Ld=Lq；R為定子電樞繞組電阻；ωe為電機的電角速度；ψ為永磁體與定子交鏈磁鏈。

轉矩方程為

(2)

式中：Te為電磁轉矩；pn為極對數。

運動方程為

(3)

式中：TL為負載轉矩；ω為機械角速度，且ωe=pω；B為摩擦系數，一般很小，在控制器設計時可不考慮；J為轉動慣量。

2 新型滑模控制器設計

利用趨近律設計滑模控制器的基本步驟是首先設計合適的滑模切換面，然后在滑模趨近律基礎上設計滑模控制輸出，使得系統軌跡在控制輸出作用下快速沿著滑模面運動。

2.1 積分滑模面的選取

傳統的線性滑模面函數中含有電機速度跟蹤誤差的微分項，易導致高頻噪聲，造成系統抖振。積分滑模面函數具有平滑輸出轉矩、削弱抖振、增強穩定性和減小穩態誤差等優點。為此，定義PMSM系統狀態變量為速度跟蹤誤差：

e=ωref-ω

(4)

式中：ωref為電機的參考轉速。

選取的積分滑模切換面如下：

(5)

式中：k>0。

對積分滑模切換面求微分,可得：

(6)

由PMSM的運動方程和轉矩方程可知：

(7)

將式(7)代入式(6)可得：

(8)

(9)

求解式(9)可得：

e=c·exp(-kt)

(10)

式中:c為正常數。

顯然，當選擇合適的k時，PMSM速度跟蹤誤差會逐步趨于零。k的取值影響速度誤差趨于零的速度，k越大，穩定時間越短，但k太大會導致抖振。

2.2 新型趨近律的提出

滑模控制的優勢在于其結構可以根據系統狀態變化而實時調整，進而使系統狀態變量進入預先設定好的滑模面，直至運行到原點。系統狀態變量在滑模控制下的運動包括趨近滑模面的趨近運動和沿著滑模面的滑模運動。傳統的滑模控制可達性條件僅能保證系統狀態可到達滑模面的要求，并未對趨近運動具體軌跡做出限制。基于趨近律的方法不僅能滿足可達性條件，還可有效改善趨近運動階段的動態品質和抖振抑制效果。傳統趨近律有等速趨近律、指數趨近律和冪次趨近律，可通過調整相應的參數改變系統狀態趨近速度。基于傳統趨近律的滑模控制結構相對簡單、易實現，但是不能解決趨近速度與抖振水平之間的矛盾。本文為了平衡這種本質矛盾，在傳統趨近律基礎上，引入雙曲正切函數、終端吸引子和基于系統狀態變量冪函數的自適應因子，提出一種新型的趨近律：

(11)

新型趨近律中的F(e,s)是自適應因子。當|s|較大即系統狀態遠離滑模面時，e-δ|s|將趨于零，F(e,s)趨于常數N/α；當|s|趨于零即系統狀態變量靠近或在滑模面上運動時，e-δ|s|將趨于1，F(e,s)將趨于如下值：

(12)

系統狀態在沿著滑模面逐步收斂至原點的過程中，|e|將趨于零，即：

(13)

說明F(e,s)將根據系統狀態及其與滑模面的位置關系進行自動調整，進而改變趨近速度，實現滑模控制器結構的自適應調整。

新型趨近律中的M(e,s)可看作由均含自適應系數的變形后等速趨近律項、指數趨近律項與終端吸引子項構成。其中，變速趨近律部分A|e|atanh(s/ε)采用雙曲正切函數替換傳統等速趨近律中的符號函數，并結合系統狀態誤差變量|e|的冪函數從而構成變速趨近方式；變指數趨近部分B|e|bs和變終端吸引子部分C|e|csq/p同樣是在傳統指數趨近方式和終端吸引子的基礎上結合系統狀態誤差變量的冪函數從而形成變指數趨近方式和變終端吸引趨近方式。系統狀態誤差變量冪函數的引入使新型趨近律趨近速度與系統狀態相關聯，從而實現系統狀態遠離滑模面時趨近速度大，但靠近或進入滑模面時沖擊速度小的目的，平衡了趨近速度與抖振之間的矛盾。F(e,s)項增強了這種平衡效果。

2.3 PMSM滑模速度控制器的設計

將新型混合趨近律代入式(8)便可得PMSM的滑模速度控制器：

(14)

式(14)中通過選擇適當的可選參數值，即可使系統擁有優良的控制品質。

2.4 穩定性分析

為驗證基于新型混合趨近律的PMSM積分滑模控制器穩定性，定義Lyapunov函數：

(15)

求導可得：

(16)

將式(11)代入式(16)，得到：

(17)

3 系統仿真與結果分析

為了驗證本文提出的新型趨近律積分滑模控制策略的正確性和有效性，基于矢量控制結構在MATLAB中對轉速環分別采用新型滑模控制器與PI控制器進行仿真對比分析，仿真時電流環均為PI控制且PI控制參數相同。仿真采用的控制系統結構原理圖如圖1所示。

圖1 仿真用的控制系統結構

仿真時，電機參數為:極對數2，定子電感0.9 mH，定子內阻0.576 Ω，磁鏈0.054 33 Wb，轉動慣量4.094 5×10-5kg·m2。采取SVPWM調制方式，開關頻率為10 kHz，直流側母線電壓為270 V，采樣周期為10-6s，仿真時間為0.3 s。額定轉速ω=6 700 r/min，0～0.1 s時電機為空載狀態，0.1～0.2 s負載轉矩為0.8 N·m，0.2～0.3 s為空載狀態，即0.1 s突加負載，0.2 s突卸負載。q軸電流PI控制參數為kp=4.7，ki=1 920。d軸電流PI控制參數為kp=4.7，ki=1 920。轉速環PI控制參數為kp=0.05，ki=0.008。轉速環新型趨近律積分滑模控制參數為A=B=C=0.1，a=b=c=0.2，p=7，q=5，k=600，α=0.1，δ=10，ε=10，N=1。

圖2是電機轉速響應曲線，圖3是轉速穩定后的局部放大曲線。從圖2可以看出，新型趨近律積分滑模控制的轉速響應速度與PI控制差不多，2種控制方式下的轉速響應均無明顯超調，且均能使電機轉速在0.02 s之后達到穩定狀態。但是從圖3可以看出，當電機轉速達到穩定狀態以后，PI控制下的轉速在6 701～6 705.5 r/min之間波動，最大轉速波動幅值為4.5 r/min左右，最大轉速與給定轉速6 700 r/min相比存在最大約5.5 r/min的偏差；平均轉速約為6 703 r/min，比給定轉速大了3 r/min左右。與PI控制相比，新型趨近律積分滑模控制下的轉速在6 698～6 701.5 r/min之間波動，最大轉速波動幅值為3.5 r/min左右，與給定轉速6 700 r/min相比存在最大約2 r/min的偏差；平均轉速約為6 700 r/min,與給定轉速相符。總的來說，新型趨近律積分滑模控制的轉速響應速度快，無明顯超調，轉速波動和抖振量小，速度跟蹤精度高。

圖2 額定轉速6 700 r/min時的轉速響應曲線

圖3 轉速響應曲線(局部放大)

圖4是存在負載轉矩干擾時的轉速響應曲線，圖5、圖6分別是圖4在突加負載和突卸負載時的轉速響應局部放大曲線。從圖4可以看出，當存在負載轉矩干擾時，新型趨近律積分滑模控制下的穩態轉速均值約為6 685 r/min，與給定轉速相比存在15 r/min的偏差；PI控制下的穩態轉速均值約為6 584 r/min，與給定轉速相比存在116 r/min左右的偏差，轉速偏差值是新型趨近律積分滑模控制下的7.73倍。從圖5可以看出，當突加負載時，在PI控制下轉速能在0.05 s內實現穩定，但在新型趨近律積分滑模控制下僅需0.01 s轉速便能穩定。在圖6中，當突卸負載時，2種控制方式均能使轉速在0.02 s內達到穩定狀態，新型趨近律積分滑模控制下的轉速存在13 r/min的小超調并能快速收斂，穩態轉速相對于給定轉速幾乎無偏差；PI控制下的轉速響應速度稍慢，雖然無明顯超調，但卻存在約5 r/min的穩態轉速偏差。綜合來說，新型趨近律積分滑模控制的抗干擾性能更好，存在負載擾動時能實現更小的轉速波動，突加負載和突卸負載時可以快速達到轉速穩定狀態。

圖4 存在負載轉矩干擾時的轉速響應

圖5 突加負載干擾時的轉速響應

圖6 突卸負載干擾時的轉速響應

為驗證新型趨近律積分滑模控制的寬范圍調速性能，針對600、1 500、3 000、5 000 r/min等給定轉速進行仿真。仿真時所有參數除給定轉速外均與前文一致。運行仿真程序，得到不同給定轉速情況下的電機轉速響應曲線分別如圖7～圖10所示。從仿真結果可以看出，當給定較寬范圍的不同轉速時，新型趨近律積分滑模控制下的電機轉速響應速度快于PI控制，且穩態誤差小、無明顯超調、抗干擾性能好，與額定轉速6 700 r/min時的轉速響應類似。顯然，新型趨近律積分滑模控制能夠滿足對寬范圍的高精度調速需求，不同轉速情況下均具有較好的控制品質。

圖7 給定轉速600 r/min時的轉速響應曲線

圖8 給定轉速1 500 r/min時的轉速響應曲線

圖9 給定轉速3 000 r/min時的轉速響應曲線

圖10 給定轉速5 000 r/min時的轉速響應曲線

綜上所述，在新型趨近律積分滑模控制下，電機輸出轉速能快速無明顯超調地跟蹤不同的給定轉速，穩態轉速偏差小，突加突卸負載時轉速僅有較小波動，可有效抑制負載變化對輸出轉速的影響，抖振現象得到明顯削弱。

4 結 語

本文在傳統指數趨近律的基礎上引入了系統狀態變量自適應加權因子和終端吸引子，提出了一種新型的混合趨近律，并結合積分滑模面，獲得了新型混合趨近律積分滑模控制器構建方案。并針對PMSM設計了PI和新型趨近律積分滑模速度控制器，通過仿真方式對2種控制方法進行了對比分析。仿真結果表明，所設計的PMSM新型趨近律積分滑模速度控制器有效地抑制了抖振，系統動靜態特性良好，能有效提高系統控制品質，為PMSM實際控制器提供了新的設計方法。