壽命型產品序貫試驗方案計算與分析

李大偉，姜本正，肖 冰

（解放軍91550 部隊，遼寧 大連 116023）

0 引言

可靠性是產品重要的質量屬性［1］。為了檢驗產品是否滿足可靠性指標要求，使其更好地完成規定的功能，需要開展可靠性驗收試驗。在制定試驗方案時，序貫試驗因為具有快速進行判決、減少平均試驗時間等優點［2］，所以在工程中得到了廣泛的應用，形成了多份相關標準［3-4］。

由于序貫試驗方案的工程優點，自從20 世紀40 年代Wald 提出序貫概率比抽樣檢驗方法以來，許多學者對序貫試驗方案進行了大量的研究，比如文獻［5］針對成敗型產品，通過調整接收- 拒收判決線，在雙方風險不變的情況下，降低了最大試驗數；文獻［6］在Bayes 理論框架下，推導了成敗型產品的風險表達式，給出了判決準則。目前，相關研究［7-8］集中于對序貫試驗方案判決準則進行改進，但是對于其判決概率基礎模型研究相對較少。實際上，序貫試驗方案采取“邊試驗邊判決”的檢驗方式，造成存在多個判決時刻，導致其接收- 拒收判決概率模型、風險表達式等均較為繁瑣，工程中往往采取近似的方法給出結果，不利于深入理解序貫試驗方案的確定過程。為此，文獻［9］以GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗收試驗》規定的序貫試驗方案8 為例，利用圖解法給出了其接收概率處理過程，得到了精確計算結果。雖然結果與標準一致，但是作者并沒有建立接收- 拒收概率模型的一般表達式，不利于進一步推廣到其他序貫試驗方案中。文獻［10］雖然利用矩陣法給出了壽命型產品序貫試驗方案的精確計算方法，但是缺少對模型概率意義的解釋，且該方法對矩陣和概率知識要求較高，不利于直觀理解序貫試驗方案判決時刻的工程意義及確定內涵。由此可見，雖然序貫試驗較為成熟，工程中為了便于使用，相關標準直接給出了可供查詢的使用表格，但是其基礎模型（即特征量解析表達式）研究相對較少。特別是序貫試驗的概率計算較為繁瑣，實際使用中主要利用近似或舉例的方法，對相應的特征量計算過程進行了說明，需要進一步研究才能推廣到一般情況。顯然，這不利于準確理解序貫試驗內涵，無法掌握序貫試驗的物理意義和適用范圍，給實際工作帶來了一定的不利影響。

為了解決上述問題，本文以壽命型產品為研究對象，開展了序貫試驗方案基礎理論研究。利用概率方法，本文對序貫試驗中接收和拒收對應的事件定義進行了分解、確定，建立了其接收- 拒收判決概率的基礎模型，給出了雙方風險、OC 曲線和平均試驗時間等特征量的解析表達式，并進一步解釋了序貫試驗的物理意義。同時，通過與定時截尾試驗方案進行比較，說明了序貫試驗方案的工程特點，研究結論不僅有助于深入理解序貫試驗方案內涵，而且能夠掌握其適用范圍，從而保證可靠性驗收試驗能夠有序開展。

1 序貫試驗方案概率建模

1.1 序貫試驗方案描述

序貫試驗方案采取“邊試驗邊判決”的檢驗形式，因此，其試驗方案往往采取表1 的形式給出。

表1 序貫試驗方案示意表

表1 中，ti，r表示產品發生第i 次故障的拒收時刻，即第i 次故障發生時刻小于ti，r時，則拒收該產品；ti，a表示產品發生第i 次故障的接收時刻，即第i次故障發生時刻大于ti，a時，則接收該產品。當第i次故障發生時刻在［ti，r，ti，a］之間時，則無法作出判決，需要繼續進行試驗。表1 中所列的判決時間為產品可靠性指標要求中最低可接受值θ1的倍數。

根據序貫試驗方案的判決準則，每次發生故障都會參考判決時間，判斷是否結束試驗，因此，可以近似認為判決時間為試驗結束時刻。此時，為了便于建立序貫試驗方案的判決概率模型，本文按照判決時間的數值大小對表1 所示的序貫試驗方案進行重新描述，具體如表2 所示。表中，判決時刻滿足t1＜t2＜…＜tn。

表2 序貫試驗方案判決時刻示意表

表2 通過判決時刻，反映了產品可能結束試驗的時刻。由于不同序貫試驗方案在具體判決準則方面存在差異，因此，為了便于后文描述，對表2 作出以下說明：

1.2 接收- 拒收判決概率模型

對于壽命型產品，往往選取其壽命分布為指數分布，即產品的工作時間t 滿足下式

式中，θ 為產品的平均故障間隔時間（即可靠性真值）。為了分析試驗方案的特性，通常θ 表示為產品可靠性指標要求中最低可接受值θ1的倍數。

根據指數分布與泊松分布的關系，壽命型產品在工作時間t 內發生k 次故障的規律滿足下式

在掌握壽命型產品故障發生規律后，利用表2所描述的判決時刻，對序貫試驗方案接收- 拒收概率進行建模。

1.2.1 接收概率模型

1.2.2 拒收概率模型

針對具體的序貫試驗方案，根據判決時刻tj與拒收時刻ti，r之間的關系，利用式（6），能夠得到產品的拒收概率滿足下式

顯然，序貫試驗方案接收- 拒收概率基礎模型的建立，有助于理解各個判決時刻對應的物理意義，并可推廣到序貫試驗方案的一般情況，為準確掌握序貫試驗方案的特點和適用范圍奠定了基礎。

2 序貫試驗方案特征量建模

2.1 雙方風險

在掌握序貫試驗方案接收- 拒收判決概率模型后，結合風險定義，給出生產方風險實際值α'和使用方風險實際值β'的解析表達式，即

式中，θ0、θ1分別為可靠性指標中的規定值和最低可接受值。顯然，雙方風險與序貫試驗方案的接收概率密切相關。

由于序貫試驗方案采取“邊試驗邊判決”的檢驗方式，因此，其雙方風險為不同判決時刻接收概率的累加和，如式（8）所示。這說明：1）序貫試驗方案是在給定雙方風險的情況下，將風險逐步進行分解，以此確定判決時刻，并保證各判決時刻風險之和滿足指標要求；2）序貫試驗方案的風險與定時截尾試驗方案的風險有所不同，由于后者判決時刻是唯一的，因此，定時截尾試驗方案僅需要保證截尾時刻雙方風險滿足指標要求即可。從目標規劃角度來看，可以近似理解為序貫試驗方案的約束條件要多于定時截尾試驗方案。

2.2 OC 曲線

OC 曲線反映了在給定序貫試驗方案后，產品平均故障間隔時間的真值與接收概率的關系，利用接收概率（5），容易得到曲線滿足下式

2.3 平均試驗時間

對于序貫試驗方案，試驗結束有兩種方式：接收和拒收。根據兩種結束方式，分別獲得平均試驗時間。

2.3.1 產品接收時平均試驗時間

根據序貫試驗方案的判決準則，對產品作出接收判決只能在判決時刻，因此，利用式（4），能夠得到產品接收時的平均試驗時間ETTa滿足下式

2.3.2 產品拒收時平均試驗時間

由于產品故障發生的隨機性，產品能夠在任意時刻發生故障，當產品故障次數滿足對應的拒收故障次數時，試驗會因為拒收而結束，因此，利用式（6），能夠得到產品拒收時的平均試驗時間ETTr滿足下式

綜上，得到序貫試驗方案的平均試驗時間滿足下式

3 算例分析

本節以GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗收試驗》規定的序貫試驗方案6 為例，給出本文方法的處理過程和結果，以進一步說明方法的可行性。

序貫試驗方案6 針對鑒別比d=3（即θ0=3θ1）和雙方風險α=β=0.2 的產品進行考核，判決準則具體內容如表3 所示。

表3 方案6 接收-拒收判決標準

3.1 判決時刻表

利用表3，構造對應的判決時刻表，具體如表4所示。

表4 方案6 判決時刻表

3.2 接收- 拒收概率

由表4 可知，接收時刻共有3 個，利用式（4），得到不同時刻接收概率為

拒收時刻共有4 個，利用式（6），得到不同時刻拒收概率為

3.3 雙方風險

利用式（8），能夠得到方案6 所對應的雙方風險實際值，具體為

雙方風險實際值與標準［4］給出的數值較為相近。

3.4 OC 曲線

利用式（9），能夠得到產品平均故障間隔時間真值與接收概率之間的關系（即OC 曲線），具體如圖1 所示。

圖1 方案6 的OC 曲線

該曲線與標準［4］給出的OC 曲線較為吻合，并反映了產品平均故障間隔時間真值越高，接收概率越大的規律。

3.5 平均試驗時間

利用式（12），能夠得到方案6 的平均試驗時間，具體為ETT=2.581θ1。該值與文獻［9］給出的數值較為相近，進一步說明方法的準確性。

3.6 與標準型定時截尾方案的比較

針對該產品，GJB899A-2009《可靠性鑒定和驗收試驗》規定的方案17（標準型定時截尾方案）同樣可以進行考核。由于采取定時截尾，方案17 對應的平均試驗時間為4.3θ1，顯然，要高于方案6 的平均試驗時間2.581θ1。這說明相比標準型定時截尾方案，序貫截尾試驗方案具有作出判決需要平均試驗時間較短的優點。

綜上，本節通過對實際方案進行計算分析，驗證了本文方法的準確性，并從理論上對序貫試驗方案的工程優點進行了驗證和解釋，有利于工程人員對序貫試驗方案的理解，使試驗組織實施更加有序。

4 結論

本文對壽命型產品序貫試驗方案基礎模型進行了研究，取得了以下結論：1）建立了序貫試驗方案不同判決時刻的接收- 拒收概率解析模型，并將其推廣到一般情況，有助于準確掌握序貫試驗方案的確定過程，為理解其內涵奠定了基礎；2）給出了序貫試驗方案特征量（雙方風險、OC 曲線和平均試驗時間）的解析表達式，為理解其特點和適用范圍提供了理論支撐；3）通過算例分析，驗證了本文模型的正確性，并與定時截尾方案進行對比，進一步說明了序貫試驗方案的工程優點。