垂直型多級位移放大機構設計與力學解析建模

林 超 沈忠磊 李坪洋 鄭 山

重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044

0 引言

壓電驅動器由于具有分辨率高、響應速度快及輸出力大等優點，被頻繁地用于光學系統[1]、精密加工[2]、微/納定位[3]以及能量回收系統[4]等現代精密工程領域。通常這些工程領域不僅需要較高的運動精度和響應速度，往往還需要較大的工作行程[5]。然而，壓電陶瓷的主要缺點是輸出位移較小，一般只有幾十微米，而實際工程中往往需要上百微米甚至毫米級的工作行程[6-7]。為了滿足工程應用需求，以柔性鉸鏈為基礎的杠桿式、菱形式、橋式等各類柔性位移放大機構[8-11]被廣泛開發，用于壓電陶瓷的輸出位移放大。

隨著以壓電驅動柔性鉸鏈為基礎的柔性機構應用范圍越來越廣泛，許多精密工程領域對柔性機構垂直向(z軸)的運動性能要求也越來越高。例如，在光刻系統中，垂直運動的壓電柔性平臺被設計用于提高光刻機的加工精度[12]；在X射線顯微鏡中，垂直運動的壓電柔性平臺被用于實現X射線的聚焦[13]；此外，在白光干涉的三維表面形貌測量系統中，對掃描壓電定位系統的垂直向工作行程、分辨率等性能提出了較高要求[14]。為了實現垂直方向的運動要求，通常是將水平型位移放大機構進行豎直布置[6，15]，這種解決方案需要在結構的緊湊性與工作行程二者之間作出犧牲，而在許多精密裝備中留給定位系統的布置空間十分有限同時對工作行程有較大要求。因此，面對精密工程領域的迫切需求，亟需開發一種位移放大比大(大的運動范圍)、固有頻率盡可能高、結構緊湊的垂直型位移放大機構。

柔性位移放大機構的設計，關鍵是在運動范圍和固有頻率之間尋求一個最佳平衡點。近年來，研究者開發了許多種垂直型位移放大機構，徐驍等[16]以橋式位移放大機構為基礎，結合平行四邊形導向機構，設計了一種垂直型精密定位平臺，該平臺位移放大比為6.95，固有頻率為636 Hz。KIM等[12]以菱形橋式機構為基礎，開發了一種三自由度垂直型定位平臺，該平臺可實現190 μm的工作行程。ZHU等[17]基于杠桿和橋式機構設計了一個多級位移放大機構，并以此為基礎開發了一種垂直型單自由度納米定位平臺，該平臺具有較為緊湊的結構。LING等[18]采用兩個菱形位移放大機構進行交叉疊加開發了一種垂直型兩級位移放大機構，該機構的位移放大比為16.5，同時固有頻率可達2239 Hz。針對多級位移放大機構位移衰減現象，LING等[10]建立了多級位移放大機構的位移衰減模型，定量預測各級機構的位移衰減量。盡管這些垂直型位移放大機構比先前的機構在性能上有所提高，但依然無法滿足精密工程領域越來越嚴苛的應用要求。

本文提出了一種結構緊湊的垂直型多級位移放大機構，可實現三級位移放大，具有較為平衡的靜動態性能，在精密定位系統等領域具有良好的應用前景。

1 機構描述

為了實現沿垂直方向較大的運動行程，提出了一個新的垂直型多級位移放大機構。如圖1所示，該機構是由2個復合菱形機構、2個杠桿機構和1個普通菱形機構共同組成的三級垂直型位移放大機構，它的x×y×z方向外形尺寸為110 mm×86 mm×35 mm。多級位移放大機構的共同點是上一級放大機構的輸入端與下一級放大機構的輸出端剛性連接，因此次一級放大機構的輸入剛度將會對上一級放大機構的輸出位移產生阻抗影響。為了避免多級位移放大機構的位移放大比產生較大的衰減，第一級采用兩個復合菱形位移放大機構，它能在保持位移放大比的情況下提高輸出端剛度和固有頻率，并將壓電陶瓷的輸出位移進行放大作為下一級位移放大機構的輸入位移。第二級采用杠桿位移放大機構，通過將第一級復合菱形機構的輸出位移進行放大，并作為第三級位移放大機構的輸入位移。第三級采用普通菱形位移放大機構，它不僅作為該多級位移放大機構的輸出端，同時它還將xy平面的運動轉換到z軸方向，從而實現垂直方向的運動。

(a)三維示意圖

(b)第一級和第二級位移放大機構

(c)第三級位移放大機構圖1 垂直型多級位移放大機構結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the proposed mechanism

值得注意的是，本文提出的垂直型位移放大機構具有兩個輸出端，該機構的輸出位移為兩個輸出端位移的疊加，由于它們具有鏡像對稱的結構因此工作行程相同。并且采用了三級位移放大機構串聯組成緊湊的多級位移放大機構，因此本文提出的垂直型壓電位移放大機構有望實現較大的位移放大比，同時保持較為理想的固有頻率。

2 解析模型建立

2.1 靜力學建模

多級位移放大機構中各級機構受力分析結果如圖2所示，假設壓電陶瓷驅動器產生輸出力為FPZT，進而推動第一級位移放大機構產生輸入位移為2ΔxA，最終通過多級位移放大機構實現對輸入位移的放大從而生成輸出位移2ΔxG。對菱形位移放大機構而言，由于全對稱的配置，只需要建立1/4結構的力學模型。其中第一級和第三級位移放大機構的受力分析結果分別如圖2a、圖2c所示，第二級杠桿位移放大機構的受力分析結果如圖2b所示。

(a)第一級

(b)第二級

(c)第三級圖2 多級位移放大機構靜力學模型Fig.2 Statics models of multistage displacement amplification mechanism

在靜力學建模中，多級位移放大機構中菱形機構的柔性臂以及杠桿機構的支點鉸鏈被考慮為柔性體，其他部分被視為剛性體。根據圖2a、圖2c的受力分析圖，第一級復合菱形機構和第三級普通菱形機構的力平衡和彎矩平衡方程分別為

(1)

(2)

根據能量守恒定律，壓電陶瓷驅動器的輸入力將轉換為柔性臂的拉伸應變能和彎曲應變能，以及輸出力驅動下一級位移放大機構變形所做的功。因此，可推導得

Win=Wout+Vl+Vm

(3)

式中，Win為輸入力做的功；Wout為輸出力做的功；Vl為柔性臂的拉伸應變能；Vm為柔性臂的彎曲應變能。

根據第一級復合菱形機構和第三級普通菱形機構載荷情況不同，由式(3)可推導得

(4)

(5)

對于第一級復合菱形機構，當指定x軸沿著柔性臂l1的中性軸時，對應柔性臂AB的軸向力FAB(x)和端點x的彎矩MAB(x)可推導如下：

FAB(x)=FAxcosθ1+FAysinθ1

(6)

MAB(x)=M1-FAxxsinθ1+FAyxcosθ1

(7)

式中，x為柔性臂AB上任意端點x到A點的距離。

同理，對于第三級普通菱形機構，當指定x軸沿著柔性臂l6的中性軸時，對應柔性臂FG的軸向力FFG(x)和端點x的彎矩MFG(x)推導如下：

FFG(x)=FAycosθ2

(8)

MFG(x)=M2-FFyxsinθ2

(9)

在小變形情況下，彈性梁彎曲變形微分方程：

(10)

式中，ω為彈性梁垂直于中性軸的變形量。

由式(7)和式(10)可推導得柔性臂AB的端點B的撓度：

(11)

式中，kθ1為第一級復合菱形機構柔性臂的轉動剛度，kθ1=EIAB/l1。

相似地，由式(9)和式(10)可推導得柔性臂FG的端點G的撓度：

(12)

式中，kθ2為第三級普通菱形機構柔性臂的轉動剛度，kθ2=EIFG/l6。

根據柔性臂彎曲變形與輸出位移間的幾何關系，由式(11)和式(12)可分別推導得第一級單個復合菱形機構的輸出位移ΔyB和第三級普通菱形機構的輸出位移ΔzG如下：

(13)

(14)

由于第一級位移放大機構采用兩個復合菱形機構串聯，因此第一級位移放大機構的輸出位移

(15)

將式(6)、式(7)和式(15)代入式(4)，可推導得第一級復合菱形機構的輸入位移

(16)

式中，kl1為第一級復合菱形機構柔性臂的拉伸剛度。

相似地，將式(8)、式(9)和式(14)代入式(5)，可推導得到第三級菱形機構的輸入位移

(17)

式中，kl2為第三級普通菱形機構柔性臂的拉伸剛度。

根據圖2b所示的受力分析圖，第二級杠桿機構力平衡和彎矩平衡方程為

(18)

式中，L=l4+l5，如圖1所示。

針對第二級杠桿機構動力臂和阻力臂的載荷情況不同，對其進行分段積分。

對于DE段(0≤x≤l4)：

(19)

對于EF段(l4≤x≤L)：

(20)

分別對式(19)和式(20)進行積分可得

(21)

(22)

式中，c1、c2為積分常數。

將邊界條件x=0，ω=0和x=l4，ω=ΔyE代入式(21)，x=l4，ω=ΔyE和x=L，ω=ωF代入式(22)，聯立式(21)和式(22)可求解得

c1=EIDFωF/L+(FDy-FEy)L2/6-(M2-FDyl4)L/2

c2=0

其中，ωF為杠桿端點F的位移量。

當將杠桿臂視為剛性桿時，ωF可表示為

ωF=LΔθ=M2L/kθCD

當分別取x=l4、x=L時，由式(22)可分別推導得到第二級杠桿機構的輸入位移ΔyE和輸出位移ΔyF如下：

(23)

(24)

聯立式(17)和式(24)可得到第三級輸入力與第二級的輸出力的比例系數H32，H32可用于描述第三級普通菱形機構對第二級杠桿機構產生的阻抗影響大小：

(25)

式中，kl6為第三級普通菱形機構柔性臂FG的拉伸剛度。

將式(25)代入式(24)，聯立式(13)和式(23)可得到第二級輸入力與第一級輸出力比例系數H21，H21可用于描述第二級杠桿機構對第一級復合菱形機構產生的阻抗影響大小：

(26)

η1=12kθ2(kθCDcos2θ2+L2kl6)+

η2=2L2-3L+1

將式(26)分別代入式(15)、式(16)可獲得第一級復合菱形機構的輸入位移ΔxA和輸出位移ΔyB與第一級輸入力FAx的關系：

(27)

相似地，將式(25)分別代入式(23)、式(24)可得到第二級杠桿機構的輸入位移ΔyE和輸出位移ΔyF與輸入力FEy的關系如下：

(28)

聯合式(14)、式(17)、式(27)和式(28)，多級位移放大機構的位移放大比可由下式計算：

(29)

式中，R1、R2、R3分別為第一級復合菱形機構、第二級杠桿機構、第三級普通菱形機構的位移放大比。

基于式(27)、式(28)以及式(17)，第一級、第二級、第三級放大機構的輸入剛度Kin1、Kin2、Kin3分別為

(30)

(31)

(32)

2.2 動力學建模

對于無阻尼自由振動系統，令Lagrange函數為La=T-V，則系統的動力學方程為

(33)

式中，T和V分別為系統總的動能和勢能；qi為系統的廣義坐標；n為廣義坐標數量，它與系統的自由度數相等。

在動力學建模過程中，由于第二級杠桿機構柔性鉸鏈的質量相比整個位移放大機構的總質量小得多，因此在動能計算過程中忽略其產生的動能。圖3為多級位移放大機構的有效質量分布示意圖。

圖3 有效質量分布示意圖Fig.3 Distribution diagram of effective mass

提出的多級位移放大機構僅有垂直方向上的輸出位移一個自由度，因此取q=ΔzG為系統的廣義坐標。根據前文的靜力學分析結果，第一級復合菱形機構輸入位移ΔxA、輸出位移ΔyB、柔性臂AB轉角變化量Δθ1和伸長量Δl1與廣義坐標q之間關系可表示如下：

(34)

第二級杠桿機構的輸入位移ΔyE、輸出位移ΔyF和杠桿臂DF轉角變化量Δθ與廣義坐標q之間具有如下關系：

(35)

同理，第三級普通菱形機構輸入位移ΔyF、輸出位移ΔzG、柔性臂FG轉角變化量Δθ2和伸長量Δl6與廣義坐標q之間具有如下關系：

(36)

考慮菱形機構柔性臂的彎曲和拉伸彈性變形，以及杠桿支點柔性鉸鏈的彎曲彈性變形，則系統的彈性勢能為

(37)

系統的動能為

(38)

式中，m1、m2、m3、m5、m6和m7為位移放大機構各部分的質量，如圖3所示。

通過將式(34)、式(36)、式(37)和式(38)代入式(33)，可得到多級位移放大機構的自由振動方程：

(39)

(40)

(41)

垂直型多級位移放大機構的第n階固有頻率為

(42)

3 有限元分析

3.1 位移放大比驗證

為了驗證解析模型的正確性，保持計算參數一致，將解析模型計算結果與有限單元法(finite element method，FEM)計算結果進行對比，計算參數如表1所列。

表1 位移放大機構計算參數Tab.1 Calculation parameters of the displacementamplification mechanism

有限元計算使用有限元軟件ANSYS 16.2，采用自適應網格劃分方式，網格精度能滿足收斂性測試要求，有限元模型及計算結果如圖4所示。

(a)網格劃分結果

(b)有限元計算結果圖4 位移放大機構的有限元模型和計算結果Fig.4 Finite element model and calculated results ofthe displacement amplification mechanism

當有限元模型及其邊界條件被合理建立后，可將有限元計算結果視為真實值[10]，用于驗證解析模型計算結果的可靠性。垂直型復合多級放大機構的解析模型計算結果以及有限元計算結果列于表2。由表2結果可以看出，解析模型計算結果與有限元仿真結果十分接近，最大誤差約為6.0%，因此建立的多級位移放大比解析模型可以較為準確地預測提出的垂直型多級位移放大機構各級的位移放大比。誤差產生的原因主要是將除菱形機構柔性臂和杠桿機構柔性鉸鏈之外的結構視為剛體，忽略了它們的微小變形。

表2 位移放大比計算結果Tab.2 Calculated results of the displacementamplification ratios

圖5為單級位移放大比和多級位移放大比分別隨第一級、第三級菱形位移放大機構角度θ1、θ2的變化曲線。由圖5可以看出，解析模型可較為準確地預測各級位移放大比，以及多級位移放大機構隨參數改變的變化趨勢。較高的預測精度歸功于在復合位移放大比建模過程中考慮了各級放大機構間作用力的耦合作用，而不是3個獨立機構位移放大比直接相乘。

3.2 固有頻率驗證

位移放大比和頻帶寬度是描述位移放大機構工作性能兩個最為關鍵的指標，而柔順位移放大機構的靜態性能與動態性能是相互矛盾、相互制約的，建立準確的固有頻率解析模型是尋求其靜、動態性能最佳平衡點的前提。為了驗證本文建立的垂直型多級位移放大機構固有頻率解析模型的正確性，采用ANSYS軟件對其進行有限元模態分析，計算中涉及的結構參數如表1所示，垂直型多級位移放大機構的前6階振型如圖6所示。

如圖6所示，其中第1階模態描述了位移放大機構輸出端沿著位移輸出方向的變形振型，頻率約為561.28 Hz，第1階模態與正常工作狀態第三級普通菱形放大機構的運動形式一致；第2階模態為機構在水平面上垂直于輸入方向的擺動振型，頻率約為626.42 Hz；第6階模態為第一級復合菱形放大機構沿位移輸出方向的變形振型，頻率約為1480.6 Hz，第6階模態與正常工作狀態時第一層菱形放大機構的運動狀態一致。解析模型和有限元計算得到的固有頻率結果分別為627.46 Hz和561.28 Hz，兩者相對誤差為11.79 %。 誤差來源可能包括：①各級位移放大比解析模型帶來的累計誤差；②除菱形機構柔性臂和杠桿機構柔性鉸鏈以外結構的微小變形被忽略；③杠桿機構柔性鉸鏈的拉伸變形和質量被忽略。

(a)位移放大比隨θ1變化的曲線

(b)位移放大比隨θ2變化的曲線

(d)第4階 (e)第5階 (f)第6階圖6 多級位移放大機構前6階振型Fig.6 The first six mode shape of the proposed mechanism

3.3 性能比較

為了與近期開發的幾個垂直型位移放大機構性能進行對比，選取位移放大機構的位移放大比、固有頻率以及垂直方向的幾何尺寸作為對比參數，對比結果見表3。

表3 幾個典型的垂直型位移放大機構性能對比Tab.3 Performance comparison of several typicalvertical displacement amplification mechanisms

由表3可知，相比文獻[16]和文獻[17]，在材料參數一致的情況下本文提出的垂直型多級位移放大機構具有最大的位移放大比43.29，同時保持一個相對較大的固有頻率561.28 Hz。盡管文獻[18]提出的垂直型位移放大機構具有更高的固有頻率，但其位移放大比有限，不適用于輕載、大行程工程領域。此外本文提出的垂直型多級位移放大機構在垂直方向尺寸也相對較小，適用于對垂直方向工作行程有較大要求但安裝空間有限的應用場景。

4 結論

(1)本文提出了一個垂直型多級位移放大機構，該位移放大機構是通過結合兩個復合菱形機構、兩個杠桿機構以及一個普通菱形機構組成。

(2)采用能量守恒方法及彈性梁變形理論建立了該位移放大機構的位移放大比和輸入/輸出剛度解析模型，并基于拉格朗日方程推導了其固有頻率解析模型。

(3)通過有限元計算結果對建立的解析模型可靠性進行了驗證，結果表明建立的解析模型可以較為準確地預測位移放大機構的位移放大比、固有頻率等性能參數。

(4)提出的位移放大機構的位移放大比可達43.29，同時保持相對較大的固有頻率561.28 Hz。

下一步工作將以提出的垂直型多級位移放大機構為基礎，并依據建立的力學解析模型，優化設計一個具有大工作行程的柔順平臺。