不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機統計能量方法

郝耀東 顧燦松 周煥陽 董俊紅 李洪亮 鄧江華

1. 天津大學機械工程學院，天津，300350 2. 中國汽車技術研究中心有限公司，天津，300300 3. 天津航天瑞萊科技有限公司，天津，300462

0 引言

車內聲學性能是汽車舒適性最重要的組成部分之一。聲學性能相關問題根據頻率的高低可以分為低頻問題(20～200 Hz)、中頻問題(200～500 Hz)和高頻問題(>500 Hz)[1]。不同于解決中低頻問題的有限元方法和邊界元方法，國際上普遍采用統計能量分析(statistical energy analysis,SEA)進行高頻噪聲問題的分析和計算[2]。

采用SEA進行車內噪聲環境預測的方法已經非常成熟。早在1985年，國外學者就已經開始利用統計能量方法進行車內噪聲環境的預測[3-4]。王震坡等[5]介紹了建立汽車SEA模型的方法和過程，并對兩款車型駕駛艙的噪聲特性進行了預測和對比。王登峰等[6]建立了某國產車型的SEA模型，分析預測了車內噪聲的1/3倍頻程頻譜，并與試驗結果對比。賀巖松等[7]研究了內損耗因子的變化對 SEA 子系統間能量傳遞的影響，使用3種不同的方案添加阻尼材料，預測了駕駛員頭部聲腔聲壓級的變化趨勢。

在設計、制造、使用過程中，SEA參數的實際值與測試值往往存在一定差距，導致車內噪聲預測存在較大誤差。2010年以來，SEA的不確定分析受到了廣泛的關注。宋海洋[8]在SEA框架下，利用區間分析方法對不確定結構的動響應預測和載荷識別進行了研究。FAHY等[9]以幾何參數作為不確定變量，采用隨機模型對板梁SEA系統的功率傳遞不確定性進行了研究。COTONI等[10]基于SEA理論提出了一種考慮正交高斯系綜的振動能量總體方差預測方法。CHRISTEN等[11]采用傅里葉靈敏度分析技術，研究了模型和參數不確定性對SEA復合結構噪聲衰減和傳遞的影響。

但是，現有的不確定SEA分析方法主要存在兩點缺陷。①采用SEA參數作為不確定變量，不確定參數物理意義不明確，難以選擇不確定模型和設定變化范圍，且SEA參數之間存在耦合關系，限制了優化設計的實施。②采用數值方法進行靈敏度分析，雖然算法簡單明了，但是僅適用于線性和輕度非線性計算，對于中度以上非線性問題的計算，將產生較大的誤差。

本文提出了一種新的不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機統計能量方法，選擇材料物理參數作為不確定變量，采用隨機不確定模型對這些變量的不確定性進行描述，通過解析方法計算了SEA損耗因子均值對不確定變量的靈敏度，推導了結構、聲腔振動能量均值、標準差的計算方程，并且以一個板、聲腔耦合的簡單算例和一個發動機艙聲腔、防火墻結構、車內聲腔耦合的復雜算例驗證了方法的有效性。

1 聲-固耦合模型的統計能量方法

1.1 聲-固耦合模型的統計能量方程

圖1所示為包含一個結構子系統和一個聲腔子系統的簡單聲-固耦合模型，結構子系統和聲腔子系統分別用下標s和a表示。其中，Es、Ea分別表示結構和聲腔子系統的振動能量，Mds、Mda分別表示結構和聲腔子系統的模態密度。

聲-固耦合系統在振動的過程中，子系統之間、子系統與外界環境之間均存在能量流動。令Pis、Pia分別表示外界環境能量流入結構、聲腔子系統的功率，Psd、Pad分別表示結構、聲腔子系統耗散至外界環境中的能量功率，Psa表示結構子系統傳遞至聲腔子系統的能量功率，Pas表示聲腔子系統傳遞至結構子系統的能量功率。

圖1 聲-固耦合基本模型Fig. 1 Acoustic-structural coupling basic model

在任一圓頻率ω下，子系統的耗散功率可以表示為

(1)

式中，ηsd、ηad分別為結構和聲腔子系統的阻尼損耗因子。

子系統間能量傳遞功率可以表示為

(2)

式中，ηsa、ηas分別為結構對聲腔和聲腔對結構的耦合損耗因子。

根據能量守恒定律，各子系統的輸入功率與輸出功率相等，其能量守恒方程可以表示為

(3)

當結構子系統為板結構時，其振動波包括彎曲波、壓縮波和剪切波，分別用上標b、l和s表示。其中，只有彎曲波與聲腔子系統存在能量傳遞。將式(1)、式(2)代入式(3)，并將結構子系統能量展開成彎曲、壓縮和剪切3種振動模式，則聲-固耦合系統的統計能量方程可以表示為

P=ωηE

(4)

其中，P為輸入功率矩陣；E為子系統能量矩陣；η為損耗因子矩陣，并且有

(5)

(6)

(7)

(8)

1.2 聲-固耦合模型SEA參數分析

對于統計能量模型，各子系統的阻尼損耗因子、耦合損耗因子、模態密度、輸入功率等統稱為SEA參數。

設板結構子系統的彈性模量、泊松比和密度分別為EYs、μs和ρs，聲腔子系統的聲速、密度分別為ca和ρa。板結構的周長為Ls、面積為Ss、厚度為ts，聲腔的體積為Va。

對于板結構子系統，其彎曲剛度為

(9)

板結構彎曲波、壓縮波和剪切波的波數表示為

(10)

(11)

(12)

板結構的模態密度可以通過下式計算：

(13)

(14)

(15)

對于聲腔子系統，其波數和模態密度可以分別表示為

(16)

(17)

式中，La為聲腔所有邊的總長度；Sa為聲腔表面積。

對于聲-固耦合模型，結構彎曲波與聲腔間的耦合損耗因子可以表示為

(18)

(19)

式中，σ為板和聲腔間的輻射系數。

輻射系數σ的計算方法很多，本文根據標準EN12345-1對其進行計算。輻射系數的計算存在兩個關鍵臨界頻率，板結構一階模態f11和臨界頻率fc，其中

(20)

在常規零部件尺度的分析中，f11遠遠小于fc且當前計算頻率f滿足f11≤f≤fc，此時有

(21)

(22)

(23)

(24)

當前頻率f和圓頻率ω滿足關系ω=2πf。

將式(9)～式(24)代入式(4)，即可求得子系統振動能量矩陣E，從而根據下式進一步求得板結構平均振動速度vs和聲腔平均聲壓pa：

(25)

(26)

式中，ms為板結構質量。

2 聲-固耦合模型的隨機統計能量方法

2.1 隨機統計能量方法理論

在聲-固耦合模型中，材料和結構參數隨制造、裝配和環境條件的改變而改變，其不確定性無法避免。采用不確定模型可以對參數的不確定性進行描述，常用的不確定模型包括隨機模型、區間模型、證據模型等。當已知不確定參數的概率分布時，采用隨機模型對其進行描述可以獲得最大的分析精度。在本文中，我們采用隨機模型對不確定參數的不確定性進行描述。由于不確定參數的值主要與制造、裝配有關，其概率密度函數往往呈現正態分布。設不確定參數bj(j=1,2,…,n，n為隨機不確定參數個數)組成不確定參數向量b，Exp(bj)和Var(bj)分別表示bj的均值和方差，并且有

Exp(b)=(Exp(b1),Exp(b2),…,Exp(bn))

(27)

Var(b)=(Var(b1),Var(b2),…,Var(bn))

(28)

對于聲-固耦合系統的基本統計能量方程，輸入功率矩陣、能量矩陣和損耗因子矩陣均可以看作不確定參數向量b的函數，式(4)可以寫成

P(b)=ωη(b)E(b)

(29)

將輸入功率矩陣P(b)和損耗因子矩陣η(b)進行一階泰勒級數展開，則有

(30)

(31)

令PC、ηC分別表示向量b取其均值Exp(b)時的輸入功率矩陣和損耗因子矩陣，ΔP、Δη分別表示輸入功率矩陣和損耗因子矩陣的攝動值，則PC、ηC、ΔP、Δη分別表示為

PC=P(b)|b=Exp(b)

(32)

ηC=η(b)|b=Exp(b)

(33)

(34)

(35)

將式(32)～式(35)代入式(29)，可得

ω(ηC+Δη)E=PC+ΔP

(36)

式(36)可以寫作

(37)

將(ηC+Δη)-1采用紐曼級數展開，有

(38)

式中，γ為紐曼系數。

將式(38)代入式(37)，可得

(39)

式中，EC為統計能量法中能量矩陣E的均值；ΔE為能量矩陣的攝動值。

忽略高階項，將式(39)簡化為

(40)

(41)

將式(32)～式(35)代入式(41)，可得

(42)

(43)

根據式(42)，能量矩陣E的方差可以表示為

(44)

通過式(40)和式(44)即可對統計能量法中能量矩陣的均值和方差進行計算。

2.2 不確定參數的偏導數推導

(45)

(46)

計算損耗因子矩陣對結構彈性模量的靈敏度矩陣。根據式(9)，彎曲剛度對結構彈性模量的偏導數可以表示為

(47)

對式(10)～式(12)求偏導，可以得到結構波數對彈性模量的偏導數：

(48)

(49)

(50)

同理根據式(13)～式(15)可以求得模態密度對彈性模量的偏導數：

(51)

(52)

(53)

計算臨界頻率fc對彈性模量的偏導數：

(54)

根據式(21)，結構輻射系數對彈性模量的偏導數可以表示為

(55)

(56)

(57)

(58)

根據式(18)和式(19)，結構彎曲波與聲腔間耦合損耗因子對結構彈性模量的偏導數可以表示為

(59)

(60)

綜上，損耗因子矩陣η對結構彈性模量EYs的靈敏度矩陣可以表示為

(61)

同理，可以推導出η對結構泊松比μs、結構密度ρs、聲腔聲速ca、聲腔密度ρa以及結構阻尼損耗因子ηsd和聲腔阻尼損耗因子ηad的靈敏度矩陣。

3 隨機統計能量方法基本流程

不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機統計能量方法基本步驟如下。

(1)定義結構和聲腔的材料、幾何參數，包括結構系統的彈性模量、泊松比和密度，聲腔系統的聲速、密度，板結構的周長、面積、厚度，聲腔體積等。

(2)根據式(9)～式(24)計算聲-固耦合模型的SEA參數，包括波數、模態密度、阻尼損耗因子、耦合損耗因子等。

(3)根據式(4)～式(7)建立聲-固耦合模型的統計能量方程，并計算結構和聲腔子系統的振動能量。

(4)引入隨機不確定模型對聲-固耦合模型的不確定性進行描述，定義不確定參數及其均值和方差。

(5)根據式(61)及相關公式推導損耗因子矩陣對不確定參數的靈敏度矩陣。

(6)根據式(40)和式(44)計算子系統振動能量的均值和方差。

4 算例

4.1 平板和立方體聲腔

本算例中的聲-固耦合模型由一個立方體聲腔和一個平板組成，如圖2所示。立方體聲腔的尺寸為1 m×1 m×1 m，平板尺寸為1 m×1 m。聲腔由空氣組成，聲速ca=343 m/s，密度ρa=1.21 kg/m3。平板采用鋁材料，其彈性模量Es=71 GPa，泊松比μs=0.3296，密度ρs=2700 kg/m3。平板結構和立方體聲腔的阻尼損耗因子均設置為0.001。結構與聲腔之間采用面連接，連接面積為1 m2。

圖2 平板和立方體聲腔模型Fig. 2 Plate and cube acoustic cavity model

將平板結構和立方體聲腔各視為一個子系統，并加載全頻段均為常數的輸入功率。其中，結構子系統彎曲波輸入功率為20 W，壓縮波和剪切波輸入功率均為10 W，聲腔子系統輸入功率為50 W。采用1/3倍頻程的方式，計算200～10 000 Hz頻率范圍內子系統振動能量波動的均值和標準差。

根據聲-固耦合模型統計能量方法，將材料和結構參數代入模型的統計能量方程中，就可以求得結構和聲腔子系統的振動能量，如圖3所示。

圖3 結構和聲腔子系統振動能量Fig.3 Vibration energy of structural and acoustic subsystems

表1 平板和立方體聲腔模型中的不確定變量平均值和標準差Tab.1 Means and standard deviations of uncertain variables in models of plate and cube cavity

計算耦合損耗因子對各個不確定參數的靈敏度，部分計算結果如圖4所示。耦合損耗因子與結構、聲腔阻尼損耗因子間沒有相應的數量關系，故其靈敏度在各個頻率上均為0。由圖4可知，增大結構材料彈性模量、泊松比以及聲腔密度，結構與聲腔間的耦合損耗因子將會變大；而增加結構材料密度，結構與聲腔間的耦合損耗因子將會變?。辉龃舐曀?，結構傳遞至聲腔的耦合損耗因子將增大，而聲腔傳遞至結構的耦合損耗因子將變小。

將耦合損耗因子對不確定參數的靈敏度組裝成靈敏度矩陣，采用隨機攝動方法計算子系統振動能量波動的標準差，計算結果如圖5所示。為了驗證計算結果的精度，采用蒙特卡羅方法對10 000個樣本點進行了計算，統計了計算結果的標準差，并和本文提出的隨機統計能量方法進行了對比。由圖5可知，本文提出的隨機統計能量方法具有較高的計算精度，對于本算例，計算精度達到95%以上。

圖6繪制了子系統振動能量標準差占其平均值的百分比。由圖5和圖6可知，隨著頻率的增大，結構和聲腔子系統振動能量逐漸減小，其波動標準差也隨之減小。對于平板縱向波和剪切波，其攝動半徑占中心值的百分比在不同頻率保持不變，恒定為5%；對于平板彎曲波，這一結果則先增大，后減小，在6300 Hz以上則驟然增大，最大達到15%；對于聲腔子系統，攝動半徑占中心值的百分比則先較小后增大，在低頻和高頻最大均達到7%。

(a) 結構彈性模量靈敏度曲線

(b) 結構密度靈敏度曲線

(c) 結構泊松比靈敏度曲線

(d) 聲腔聲速靈敏度曲線

(e) 聲腔密度靈敏度曲線

4.2 汽車發動機艙、防火墻和車內聲腔

本算例中的模型包括汽車發動機艙、防火墻和車內聲腔，發動機艙、防火墻和車內聲腔、防火墻分別組成兩個板、聲腔連接，如圖7所示。其中，發動機艙體積為1.10 m3，車內聲腔體積為4.75 m3，防火墻面積為1.15 m2，厚度為1.2 mm。發動機艙和車內聲腔均由空氣組成，聲速ca=343 m/s，密度ρa=1.21 kg/m3。防火墻為鋼材料，其彈性模量Es=210 GPa，泊松比μs=0.33，密度ρs=7850 kg/m3。防火墻的阻尼損耗因子設置為0.02，發動機艙、車內聲腔的阻尼損耗因子設置為0.01。防火墻與發動機艙、防火墻與車內聲腔均采用面連接。

(a) 結構彎曲波振動能量標準差

(b) 聲腔振動能量標準差圖5 子系統振動能量標準差Fig.5 Standard deviation of vibration energy of subsystems

圖6 子系統振動能量攝動半徑占比Fig.6 Perturbed radius ratio of subsystem vibration energy

(a) 發動機艙、防火墻和車內聲腔

(b) 發動機艙和防火墻圖7 汽車發動機艙、防火墻和車內聲腔模型Fig.7 Models of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

發動機艙是汽車最重要的噪聲源，發動機艙內產生的噪聲會通過防火墻傳遞至車內聲腔，因此，防火墻的隔聲性能是整車最重要的噪聲性能評價指標之一。在發動機艙處加載全頻段1 W的輸入功率，通過車內聲腔的聲壓值或振動能量大小就可以評價處防火墻的隔聲性能。計算采用1/3倍頻程的方式，計算頻率為400～8000 Hz。

根據隨機統計能量方法基本流程，計算模型中的統計能量參數，其中，發動機艙和車內聲腔的模態密度如圖8所示，發動機艙、車內聲腔和防火墻之間的耦合損耗因子如圖9所示。

圖8 發動機艙和車內聲腔的模態密度Fig.8 Modal densities of engine nacelle and interior acoustic cavity

圖9 發動機艙、車內聲腔和防火墻間的耦合損耗因子Fig.9 Coupling loss factors of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

根據統計能量方程計算車內聲腔的振動能量，如圖10所示。

圖10 車內聲腔振動能量均值Fig.10 Mean of vibrational energy of interior acoustic cavity

表2 發動機艙、防火墻和車內聲腔模型中的不確定變量平均值和標準差Tab.2 Means and standard deviations of uncertain variables in models of engine nacelle, firewall and interior acoustic cavity

計算耦合損耗因子對各個不確定參數的靈敏度。將耦合損耗因子對不確定參數的靈敏度組裝成靈敏度矩陣。采用隨機攝動方法計算車內聲腔振動能量的波動標準差，計算結果如圖11所示。由圖11可知，隨著頻率的增大，車內聲腔振動能量逐漸減小，標準差也隨之減小。

圖11 車內聲腔振動能量波動標準差Fig. 11 Standard deviation of vibrational energy of interior acoustic cavity

車內聲腔噪聲聲壓級均值和標準差如圖12所示。需注意圖中的聲壓級單位為dB，需要換算成Pa才能進行加減操作。

振動能量標準差占其均值的比例如圖13所示。由圖可知，雖然在高頻段振動能量標準差較小，由于此時均值也較小，標準差占其均值的比例反而隨著頻率增大而增大。由于人的聽覺與聲壓級大小之間并不是線性關系，在高頻段，人耳對噪聲更為敏感，因此，采用該方法進行振動能量標準差分析后，若能降低高頻振動能量標準差，將顯著改善車內噪聲品質。

圖12 車內聲腔噪聲聲壓級均值和標準差Fig.12 Mean and standard deviation of sound pressure level of interior acoustic cavity

圖13 車內聲腔振動能量標準差占幅值比例Fig.13 Ratio of vibration energy standard deviation to amplitude of interior acoustic cavity

5 結論

(1)本文提出了一種不確定聲-固耦合模型高頻分析的隨機統計能量方法。在統計能量方程基礎上，推導了不確定參數關于結構、聲腔材料參數的偏導數方程，建立了子系統能量波動標準差與材料參數標準差之間的數量關系。隨機統計能量方法可以用來計算不確定性條件下子系統能量的波動平均值和標準差，通過簡單模型和汽車實際模型兩個算例，驗證了該方法的可用性和有效性。

(2)本文的研究表明，統計能量方法的不確定性可以采用解析的方法而非數值的方法進行研究，材料參數的不確定性對子系統能量波動的影響是存在確定數量關系的。雖然本文采用了隨機模型進行材料參數不確定性的描述，但采用區間模型、證據模型同樣可以應用該數量關系進行計算。

(3)本文選擇結構和聲腔材料參數而不是SEA參數作為不確定性參數，既使設計初期確定不確定性參數的均值和標準差變得更加直接和容易，又避免了SEA參數之間的相互關系對不確定性分析結果產生影響。

(4)本文提出的方法主要適用于不確定變量樣本量較大、概率密度函數清晰的模型，概率密度函數不明確時，無法采用隨機模型進行不確定性的描述，此時區間模型是較佳的替代方案。此外，本文提出的方法采用一階泰勒展開式進行隨機攝動分析，主要適用于輕度、中度非線性問題，在高度非線性問題的計算中可能會存在較大的誤差。