契比雪夫定理在無理函數(shù)積分中的應用

冀庚

【摘要】無理函數(shù)的不定積分是高等數(shù)學中的核心內(nèi)容之一，根式換元是無理函數(shù)積分的一種重要方法，而根式換元的難點是判斷能否有理化及如何有理化.本文利用契比雪夫定理給出了一類無理式可以有理化積分的判別方法，并給出了有理化時如何作換元有理化的方法.

【關(guān)鍵詞】 契比雪夫定理;不定積分;換元積分法;有理化

高等數(shù)學教材中有大量的形如∫xm（a+bxn）pdx的不定積分，其中，對n=2，p=12，m為整數(shù)的情形，教材中給出的三角換元法，學生基本可以掌握，但對于一般情形的∫xm（a+bxn）pdx，教材通過個別例子給出了根式換元的方法，學生雖然有了根式換元的思想，但在解決這類積分時仍會遇到兩個問題，一是不能確定是否可以用根式換元，二是不知如何選擇換元關(guān)系才能順利有理化，本文介紹的契比雪夫定理主要解決這兩個問題.

一、契比雪夫定理

定理 不定積分∫xm（a+bxn）pdx（m，n和p為有理數(shù)），僅在下列三種情形可化為有理函數(shù)的積分：

（Ⅰ）p為整數(shù)時，設(shè)x=tN，其中N為分數(shù)m，n的公分母;

（Ⅱ）m+1n為整數(shù)時，設(shè)a+bxn=tN，其中N為分數(shù)p的分母;

（Ⅲ）m+1n+p為整數(shù)時，設(shè)ax-n+b=tN，其中N為分數(shù)p的分母.

二、契比雪夫定理的應用

綜上，對于∫xm（a+bxn）pdx這類不定積分，只要符合契比雪夫定理中的三種情形，通過定理中給出的換元方法，都可以實現(xiàn)被積函數(shù)有理化，所以，對于被積函數(shù)為無理函數(shù)的不定積分，契比雪夫判別法很有效.熟練掌握該定理的應用，可以避免無效的換元，不走彎路.比如在例3中，學生遇到這類積分，往往會設(shè)41+x4=t來換元，代入積分計算就會發(fā)現(xiàn)很難實現(xiàn)有理化，這也是學生常常會遇到的一種情況.另外需要注意的是，契比雪夫判別法雖好，但有時不一定是最簡單的解題方法.

對比兩種解法，方法一用根式換元運算復雜，方法二用三角換元運算更加方便簡捷.我們在學習時，不僅要會做題，還要追求一題多解、巧解、簡解，靈活解題，培養(yǎng)發(fā)散思維與創(chuàng)新思維，提高綜合素質(zhì).

另外，在不定積分中，初等函數(shù)的積分，如∫1+x3dx看起來不復雜，但利用契比雪夫定理可判別在初等函數(shù)范圍內(nèi)積不出.因為 1+x3=x0（1+x3）12，p=12不是整數(shù)，不符合情形Ⅰ;m=0，n=3，m+1n=13不是整數(shù)，不符合情形Ⅱ; 而m+1n+p=56不是整數(shù)，不符合情形Ⅲ.由契比雪夫定理，被積函數(shù)不能有理化.這不是因為積分方法不夠，而是因為被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù).

學生在不定積分的學習中，需要通過大量做題積累各種方法、技巧，靈活選擇方便簡捷的方法，從而提高解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]費定暉，周學圣.吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解[M].濟南：山東科學技術(shù)出版社，2005.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版） [M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]張順燕.數(shù)學的思想、方法和應用[M].北京：北京大學出版社，2017.

[4]張國楚，徐本順.文科高等數(shù)學教程[M].北京：教育科學出版社，1996.