契比雪夫定理在無(wú)理函數(shù)積分中的應(yīng)用

冀庚

【摘要】無(wú)理函數(shù)的不定積分是高等數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容之一，根式換元是無(wú)理函數(shù)積分的一種重要方法，而根式換元的難點(diǎn)是判斷能否有理化及如何有理化.本文利用契比雪夫定理給出了一類無(wú)理式可以有理化積分的判別方法，并給出了有理化時(shí)如何作換元有理化的方法.

【關(guān)鍵詞】 契比雪夫定理;不定積分;換元積分法;有理化

高等數(shù)學(xué)教材中有大量的形如∫xm（a+bxn）pdx的不定積分，其中，對(duì)n=2，p=12，m為整數(shù)的情形，教材中給出的三角換元法，學(xué)生基本可以掌握，但對(duì)于一般情形的∫xm（a+bxn）pdx，教材通過(guò)個(gè)別例子給出了根式換元的方法，學(xué)生雖然有了根式換元的思想，但在解決這類積分時(shí)仍會(huì)遇到兩個(gè)問(wèn)題，一是不能確定是否可以用根式換元，二是不知如何選擇換元關(guān)系才能順利有理化，本文介紹的契比雪夫定理主要解決這兩個(gè)問(wèn)題.

一、契比雪夫定理

定理 不定積分∫xm（a+bxn）pdx（m，n和p為有理數(shù)），僅在下列三種情形可化為有理函數(shù)的積分：

（Ⅰ）p為整數(shù)時(shí)，設(shè)x=tN，其中N為分?jǐn)?shù)m，n的公分母;

（Ⅱ）m+1n為整數(shù)時(shí)，設(shè)a+bxn=tN，其中N為分?jǐn)?shù)p的分母;

（Ⅲ）m+1n+p為整數(shù)時(shí)，設(shè)ax-n+b=tN，其中N為分?jǐn)?shù)p的分母.

二、契比雪夫定理的應(yīng)用

綜上，對(duì)于∫xm（a+bxn）pdx這類不定積分，只要符合契比雪夫定理中的三種情形，通過(guò)定理中給出的換元方法，都可以實(shí)現(xiàn)被積函數(shù)有理化，所以，對(duì)于被積函數(shù)為無(wú)理函數(shù)的不定積分，契比雪夫判別法很有效.熟練掌握該定理的應(yīng)用，可以避免無(wú)效的換元，不走彎路.比如在例3中，學(xué)生遇到這類積分，往往會(huì)設(shè)41+x4=t來(lái)?yè)Q元，代入積分計(jì)算就會(huì)發(fā)現(xiàn)很難實(shí)現(xiàn)有理化，這也是學(xué)生常常會(huì)遇到的一種情況.另外需要注意的是，契比雪夫判別法雖好，但有時(shí)不一定是最簡(jiǎn)單的解題方法.

對(duì)比兩種解法，方法一用根式換元運(yùn)算復(fù)雜，方法二用三角換元運(yùn)算更加方便簡(jiǎn)捷.我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，不僅要會(huì)做題，還要追求一題多解、巧解、簡(jiǎn)解，靈活解題，培養(yǎng)發(fā)散思維與創(chuàng)新思維，提高綜合素質(zhì).

另外，在不定積分中，初等函數(shù)的積分，如∫1+x3dx看起來(lái)不復(fù)雜，但利用契比雪夫定理可判別在初等函數(shù)范圍內(nèi)積不出.因?yàn)?1+x3=x0（1+x3）12，p=12不是整數(shù)，不符合情形Ⅰ;m=0，n=3，m+1n=13不是整數(shù)，不符合情形Ⅱ; 而m+1n+p=56不是整數(shù)，不符合情形Ⅲ.由契比雪夫定理，被積函數(shù)不能有理化.這不是因?yàn)榉e分方法不夠，而是因?yàn)楸环e函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù).

學(xué)生在不定積分的學(xué)習(xí)中，需要通過(guò)大量做題積累各種方法、技巧，靈活選擇方便簡(jiǎn)捷的方法，從而提高解決問(wèn)題的能力.

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