淺談拉格朗日中值定理的幾種證明方法

王建云 全宏波 趙育林

【摘要】拉格朗日中值定理建立了函數值與導數之間的定量關系，是研究函數區間性質的重要理論工具.本文介紹了拉格朗日中值定理的幾種證明方法，如利用羅爾定理、作差法、常數k值法、行列式法、坐標旋轉法、積分法等.

【關鍵詞】拉格朗日中值定理;輔助函數;證明

一、引 言

拉格朗日中值定理為微分學中的基本定理之一，是法國數學家拉格朗日（Lagrange）在其著作《解析函數論》中提出的，并給出了初步的證明.拉格朗日中值定理能夠將函數與其導數聯系起來，反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系，是分析和討論函數在區間上具有某些性質的重要方法，在微分中值定理中處于核心地位.關于拉格朗日中值定理的證明，有一些文獻也進行了相關的討論和研究.為了幫助學生加深對拉格朗日中值定理的理解，更好地掌握該定理的精髓及應用技巧，本文對證明拉格朗日中值定理時輔助函數的構造進行探討，這也是證明該定理的一個關鍵點.

二、拉格朗日中值定理的證明

拉格朗日中值定理：若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得

（一）利用羅爾定理

當函數f（x）滿足條件f（a）=f（b）時，拉格朗日中值定理就是羅爾定理，表明羅爾定理為拉格朗日中值定理的一種特殊形式.因此對拉格朗日中值定理作適當變形，就可以利用羅爾定理來證明.

三、結 語

通過上述討論可知，證明拉格朗日中值定理的關鍵是構造一個輔助函數，且其構造的方法靈活多變.在學習的過程中同學們要積極探究，善于思考和運用學過的知識，將冰冷的數學理論變得火熱，將枯燥的數學證明變得有趣.

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