王建云 全宏波 趙育林


【摘要】拉格朗日中值定理建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的定量關(guān)系,是研究函數(shù)區(qū)間性質(zhì)的重要理論工具.本文介紹了拉格朗日中值定理的幾種證明方法,如利用羅爾定理、作差法、常數(shù)k值法、行列式法、坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法、積分法等.
【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理;輔助函數(shù);證明
一、引 言
拉格朗日中值定理為微分學(xué)中的基本定理之一,是法國數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange)在其著作《解析函數(shù)論》中提出的,并給出了初步的證明.拉格朗日中值定理能夠?qū)⒑瘮?shù)與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來,反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系,是分析和討論函數(shù)在區(qū)間上具有某些性質(zhì)的重要方法,在微分中值定理中處于核心地位.關(guān)于拉格朗日中值定理的證明,有一些文獻(xiàn)也進(jìn)行了相關(guān)的討論和研究.為了幫助學(xué)生加深對拉格朗日中值定理的理解,更好地掌握該定理的精髓及應(yīng)用技巧,本文對證明拉格朗日中值定理時輔助函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)行探討,這也是證明該定理的一個關(guān)鍵點.
二、拉格朗日中值定理的證明
拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點ξ∈(a,b),使得
(一)利用羅爾定理
當(dāng)函數(shù)f(x)滿足條件f(a)=f(b)時,拉格朗日中值定理就是羅爾定理,表明羅爾定理為拉格朗日中值定理的一種特殊形式.因此對拉格朗日中值定理作適當(dāng)變形,就可以利用羅爾定理來證明.
三、結(jié) 語
通過上述討論可知,證明拉格朗日中值定理的關(guān)鍵是構(gòu)造一個輔助函數(shù),且其構(gòu)造的方法靈活多變.在學(xué)習(xí)的過程中同學(xué)們要積極探究,善于思考和運用學(xué)過的知識,將冰冷的數(shù)學(xué)理論變得火熱,將枯燥的數(shù)學(xué)證明變得有趣.
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