淺談拉格朗日中值定理的幾種證明方法

王建云 全宏波 趙育林

【摘要】拉格朗日中值定理建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間的定量關(guān)系，是研究函數(shù)區(qū)間性質(zhì)的重要理論工具.本文介紹了拉格朗日中值定理的幾種證明方法，如利用羅爾定理、作差法、常數(shù)k值法、行列式法、坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)法、積分法等.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理;輔助函數(shù);證明

一、引 言

拉格朗日中值定理為微分學(xué)中的基本定理之一，是法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange）在其著作《解析函數(shù)論》中提出的，并給出了初步的證明.拉格朗日中值定理能夠?qū)⒑瘮?shù)與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來，反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系，是分析和討論函數(shù)在區(qū)間上具有某些性質(zhì)的重要方法，在微分中值定理中處于核心地位.關(guān)于拉格朗日中值定理的證明，有一些文獻(xiàn)也進(jìn)行了相關(guān)的討論和研究.為了幫助學(xué)生加深對拉格朗日中值定理的理解，更好地掌握該定理的精髓及應(yīng)用技巧，本文對證明拉格朗日中值定理時輔助函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)行探討，這也是證明該定理的一個關(guān)鍵點.

二、拉格朗日中值定理的證明

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得

（一）利用羅爾定理

當(dāng)函數(shù)f（x）滿足條件f（a）=f（b）時，拉格朗日中值定理就是羅爾定理，表明羅爾定理為拉格朗日中值定理的一種特殊形式.因此對拉格朗日中值定理作適當(dāng)變形，就可以利用羅爾定理來證明.

三、結(jié) 語

通過上述討論可知，證明拉格朗日中值定理的關(guān)鍵是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，且其構(gòu)造的方法靈活多變.在學(xué)習(xí)的過程中同學(xué)們要積極探究，善于思考和運用學(xué)過的知識，將冰冷的數(shù)學(xué)理論變得火熱，將枯燥的數(shù)學(xué)證明變得有趣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李靜茹.淺談拉格朗日中值定理的證明[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（05）：6-7.

[2]龔友運.從幾何現(xiàn)象到理論證明：關(guān)于微分中值定理的證明[J].教育教學(xué)論壇，2012（05）：198-200，191.

[3]楊雄.拉格朗日中值定理的幾種證明[J].陰山學(xué)刊，2017，31（01）：30-32.

[4]陳桂東.一個中值公式的推導(dǎo)及應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2020（5）：32-33.

[5]陳少云.拉格朗日中值定理的應(yīng)用實例[J].河南教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2017（03）：54-57.

[6]尹衛(wèi)東.拉格朗日中值定理的一種證明方法[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報，2019，38（02）：21-22.

[7]張智倍，王云花.拉格朗日中值定理的幾個應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2016，19（01）：62-64.

[8]周冰潔.巧用拉格朗日中值定理[J].考試周刊，2018（65）：83，162.

[9]盛曉蘭.例談微分中值定理的證題技巧[J].技術(shù)監(jiān)督教育學(xué)刊，2009（01）：16-19.

[10]楊文萍，陳鏗.高考數(shù)學(xué)巧遇拉格朗日中值定理[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2012（21）：62-63.