數形結合思想研究

崔亞瀾

【摘要】數形結合的思想方法在整個中學數學的知識領域中應用頗為廣泛，是學習數學課程的主線之一，不僅可以作為一種解題方法，還可以提高學生分析問題、解決問題的能力.它是一種數形之間信息的轉換方法，根據具體情況，把圖形性質問題轉化為數量關系問題，用代數方法分析數量關系從而解決直觀圖形問題，或者將數量關系用圖形直觀地刻畫出來.本文通過對相關的論文文獻進行研究分析，歸納總結出初中、高中數學中數形結合的應用，從數軸、韋恩圖、不等式、函數、立體幾何等多個方面進行探究，整理數形結合思想在解題中的具體應用.

【關鍵詞】數形結合思想;中學數學;歸納總結

一、數形結合概述

（一）數形結合思想的發展由來

“數”原本只是計數的工具，而如今除了這種用途外，還可以用來表示數量;“形”在古時代表形狀，如今用來代表空間形態.

在我國，“數形結合”的源頭與著名數學家華羅庚先生有著相當大的關系.他的作品：《談談與蜂房結構有關的數學問題》中的一首小詞中體現了該思想.

在西方，提到數形結合就要提到笛卡兒.學習了數學史的人多多少少都聽過笛卡兒坐標系，也就是現在的直角坐標系，就是由法國人笛卡兒創立的.可出乎想象的是，這個巨大的發現是他躺在床鋪休息時得到的.他由于生病臥床不起，閑著無事就繼續思考讓他煎熬了數日的一件事.無意間的一瞥，出現在天花板上的小蜘蛛激起了他的思緒浪花.小蜘蛛在墻角緩緩地爬著，忙忙碌碌的，從東往西，又從南往北.那么結完網，它走了多少路呢？笛卡兒就試著去想怎樣才能算出蜘蛛這一路的旅程數.首先他把蜘蛛當作一圓點，接著反問自己圓點距離墻角的距離.離墻的兩邊會有多遠呢？他閉上眼睛繼續睡著，睡夢間他似乎瞥見小黑點離兩邊墻的距離忽大忽小……他似乎悟出了些什么，睜開眼，豁然開朗：倘若明確圓點位置和兩墻間間隔，就能決定蜘蛛的位置了.明確之后，蜘蛛的位移就可順理成章地解得.于是，一個定理生成了：

彼此垂直的兩條直線，一個點可以用到這兩條直線的間隔，也就是用兩個數來表示，這個點的位置就定了下來.

這個發現對于如今的我們來說并不少見，這不就是我們非常熟悉的坐標圖嗎？這既是數與形的聯系的首次出現，也是初次用數形結合的手法將代數與幾何聯系起來，打開了解析幾何學初級階段的大門.接著，就是費馬對解析幾何的貢獻.他用代數方法對古希臘幾何學進行剖析，特別是對阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進行了總結和整理，對曲線作了一般研究.他曾提到的基本觀點是兩個未知量x，y確定的一個方程式，對應著一條軌跡，可以刻畫出一條直線或曲線，就這樣，他的研究方向由方程進化成圓錐曲線.沿著這個思路繼續下去，在眾多數學研究者的全力探索研究下，數學的發展進程發生了變化，解析幾何學終被創建出來.

數形結合的思想從那時起就出現了，打開了數形結合思想發展的大門，進入了早期研究初級階段.

（二）數形結合內涵

數與形的轉化目標是呈現“形”的動態性和直觀性，“數”的思想的科學性及嚴謹性，兩者互相滲透、互相影響，抓住優點、因勢利導，從而解決問題.

數與形不能割裂開來，要把數或數量關系與圖形運用一些關系連接起來，經過對圖形的鉆研分析數量關系或用數量來升華圖形的性質.數形結合是一種典型且非平凡的數學思想方法，將抽象問題具體化，復雜問題簡單化是它最直接、最基本的功能.數形結合是憑借數量和圖形之間的聯系來領會研究對象的數學特性、探求處理難點問題的一種數學方式.一般情況下，在使用數形結合思想解題時，常常側重于“形”對“數”的反映，也就是要頻繁的活用圖形的簡明直觀來完成對某些或某類數學問題的處理.所以數形結合思想可以形象地、直觀地、快捷地幫助表征問題、理解問題.

數形結合的根本要點，便是由幾何圖形的性質來構建數量上的聯絡網點，反過來，數量關系又制約著幾何圖形的特殊特性點.

數形結合是數學的首要特性，萬事萬物皆是數形間的和諧辯證的統一，而非獨立對立的.故在數學學習中抓住數形結合思想就等于實實在在地握住了數學的精華和要領之處.

從許多對數形結合思想的深入鉆研能夠看出數形結合有很多優點：可以幫助我們直觀地理解數學問題;把問題簡潔明了地呈現在我們面前;有利于我們提出突破性的想法，培養發散思維.但世上的一切都要持辯證客觀的思想考慮，因此這個思想就有利有弊.它的缺點是缺乏準確性和整體性，不能夠全方位的表征問題，而且它并不能夠在數學問題之間畫等號.

數形結合的應用概括下來大致可以分為兩種情形：

第一種是用形的生動性和直觀性來呈現數之間的聯系，等于是將形作為工具，數作為需要解決的目標;第二種是通過數的準確性和嚴謹性來表現形的某些特殊屬性，等于是將數作為工具，求得形的關系為目標.

本文側重探究綜合概括初中、高中數學中種種數學題型中出現的“數形”互相轉換的應用.

首先來到初中，總結的是以下三個方面體現的數形結合.

二、初中數學中應用的數形結合思想

（二）幾何中的數形結合

【例1】有兩棵樹，一棵高為6米，另一棵高為2米，兩樹之間間隔5米，小黃鳥從第一棵樹的樹梢飛到第二棵樹的樹梢，至少飛了多少米？

【分析】解決這道題就是將實際問題轉化為數學問題，構建數學模型，按照題目條件畫出圖形（如圖3所示），再用勾股定理求出AB的長即可.

與初中數學相比，高中數學的學習也是一樣的，對函數思想、微積分思想等需要站在數學內部領域去看待數學思想，而對空間形式和數量關系結合產生的問題就需要站在更感性的位置去看待.接下來，我們再來看看高中數學中數形結合思想的應用.

三、高中階段數形結合思想的應用

高中階段的數學知識中廣泛運用了數形結合思想，下面筆者對一些高考數學題進行總結歸納.

根據我國歷年來各地的數學高考試題總結發現，有下面幾類數學問題.

（一）應用韋恩圖（Venn圖）來解決集合問題及數軸的應用

上題根據圖形來解決，把求陰影部分集合的問題轉化為求兩個集合的交集問題，將繁難的問題簡化了.

（二）數形結合思想在函數中的應用及直角坐標系的應用

【例1】f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值記為h（t），求h（t）的表達式.

【分析】先分析函數f（x）=x2+3x-5圖像的對稱軸與區間的位置關系，再探究函數圖像在x∈[t，t+1]上的增減狀況，接著明確在什么地方能夠取到最值，最小值具體是多少.

【解析】直接計算比較煩瑣，可利用數形結合思想來解題.觀察該式，可以發現這個式子的結構和計算直線斜率公式的結構相似，故把它當成計算過點A（sin 20°，cos 20°）和點B（sin 40°，cos 40°）的直線斜率.如圖8所示，∵∠BOM=∠BOA=20°，且OA=OB=1，∴∠OAM=80°，∴∠OMA=60°，∴直線AB的傾斜角為120°，∴其斜率為tan 120°=-3，即sin 20°-sin 40°cos 20°-cos 40°=-3.

利用三角函數的本質定義，將三角問題放到單位圓中去解決.可以把計算三角函數值一類的難題轉換成求直線斜率的問題.

（三）依據式子的結構，數形結合方式解決數學概念及數學表達式幾何意義的應用

結合橢圓的定義得出點M的軌跡是一個橢圓，其中確定a，b，c的值是突破點，繼而求點M的軌跡方程式.另一個辦法是可以根據原有方法設點、找等量關系、化簡來獲得軌跡方程.

四、總 結

（一）數形結合思想的意義及價值

數形結合的思想方法貫串于整個數學體系中，從兒童時期教師利用直觀的圖形及實物來教學，到中學時代中考、高考題中極為廣泛的應用，再到大學甚至之后的數學知識學習中，都涉及此方法.它是對數學進行研究學習的主要線索之一，不僅是一種解決數學題的思想方法，還是能夠讓我們深化學習、探究和研究數學的強有力手段、工具，能夠培養我們的思維能力.數形結合思想緊握“數”“形”這兩個數學中的精髓要點，直觀的沖擊讓我們形成對事物的感性認知，擴大自己的表征儲備，為我們內化定義概念和性質做鋪墊.我們對事物的了解、研究、探究大多都是由圖形作為起點展開的.數和形的相互滲透連接既是數學本身發展所必需的，又是學習數學知識的需要.

對數形結合的較深的理解就是“轉化思想”，所以我們在使用時要注意：第一步，要真正弄清楚概念的實質特性和運算的幾何意義及曲線的代數個性等，并且對數學題目中給定的已知信息進行分析深化;第二步，需要做出恰當的假定，即設參數，用參數來聯系生成條件關系，完成數與形之間的轉換;第三步，精確的利用數形結合解決問題.

（二）數形結合思想的新發展

本篇論文說的是數形結合這種思想方法在數學中的應用，這僅僅體現了它的冰山一角，在其他的學科中數形結合思想同樣有非常廣泛的運用.數形結合也為推動學生的發散思維發展鋪設了新的道路，能夠提高學生的思維水平.

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