分段插值函數在電解質溶解度的應用

姚 星 劉炳廷 楊志高 羅一澳 廖芳芳

（湘南學院數學與金融學院 湖南·郴州 423000）

0 引言

固體溶解度數據是研究工業結晶分離過程、探討傳質機理及化工設計和開發的重要基礎物性數據。然而，溶解度數據主要是在實驗室中測出結果，但是從實驗得到數據的所有結果也是非常困難的事。如果能通過實驗測定一部分數據之后，再通過數值計算近似得到其余部分的數據，那么會在很大程度上減少資源和人力的浪費。比如電解質氯化鎂在0℃下的溶解度為52.9；10℃下的溶解度為53.6；20℃時的溶解度為54.6……，但是如果你想得到15℃時的溶解度值是多少時，就可以根據它在其他溫度下的溶解度通過數值方法和數值計算來得到，不用再次通過實驗測定得到，從而可以減少不必要的資源浪費和實驗過程。

生活中，有許多固體電解質都被我們利用到，例如我們的藥物。藥物是我們生活的必需品，而藥物的溶解度會影響藥物的生物活性，近年來出現了很多新藥物，但新藥的溶解度數據測量卻比較繁瑣。這時，我們可以通過測定一些溫度下的溶解度然后近似計算出其他溫度下的溶解度，此時，我們可以采用各種方法來計算。

本文運用分段線性插值和三次樣條插值，研究了九種電解質在30℃下的溶解度，并進一步通過曲線擬合與已有結果進行比較。

1 電解質和溶解度的定義

1.1 電解質

電解質是溶于水溶液中或在熔融狀態下能夠導電的化合物，大都是以離子鍵或極性共價鍵結合的物質。

1.2 溶解度

溶解度：在一定溫度下，某固態物質在100g溶劑（通常為水）中達到飽和狀態（溶解溶劑的最大量）時所溶解的溶質的質量。

2 九種電解質在不同溫度下的溶解度

通過查找化學手冊，得到表1中不同電解質在不同溫度下的溶解度。

表1：常見九種電解質在不同溫度下的溶解度(g/100g水)

3 分段線性插值計算溶解度

以溫度為自變量，對應的溶解度為因變量，運用分段線性插值函數，以 0，10，20，40，60，80 為節點在Matlab軟件進行編程，計算在插值點30℃時的溶解度。

Matlab程序如下：

圖1：分段線性插值法在30℃時的溶解度的求解程序

程序結果：

圖2：分段線性插值法在30℃時的溶解度

4 三次樣條插值計算溶解度

以溫度為自變量，對應的溶解度為因變量，運用三次樣條插值函數，以 0，10，20，40，60，80 為節點在Matlab軟件進行編程，計算在插值點30℃時的溶解度。

程序如下：（見圖 3）。

圖3：三次樣條插值法在30℃時的溶解度的程序求解

結果如下：（見圖 4）。

圖4：三次樣條插值法在30℃時的溶解度

5 分段線性插值與三次樣條插值在30℃電解質溶解度的比較

5.1 相對誤差

從表2中我們可以看出一些電解質在用分段線性插值所得的誤差比較小，而有的電解質用三次樣條插值所得的結果更為精確。

表2：相對誤差

5.2 曲線擬合

曲線擬合：根據一組平面上的點，要求確定一個函數y=f（x），即曲線，使得這些點盡量與曲線接近，這就是曲線擬合。從而可以設擬合多項式為：

用Matlab編程來計算分別用分段線性插值和三次樣條插值的方法得到的擬合多項式。

代碼如下：（見圖 5）。

圖5：一元擬合多項式求解程序

y1表示了表格中的九種電解質在30℃時溶解度的文獻值，y2表示了表格中的九種電解質用分段線性插值法計算出在30℃時溶解度的值，y3表示了表格中的九種電解質用三次樣條插值法計算出在30℃時溶解度的值。

pk1是利用分段線性插值法的原理得到的一元擬合多項式，pk2是利用三次樣條插值法的原理得到的一元擬合多項式。

結果如下：

圖6：一元擬合多項式

接下來，用數字1來表示氯化鎂，用數字2來表示碳酸鋰，用數字3來表示碘化鋰，有數字4來表示氯化銨，用數字5來表示硝酸銨，用數字6來表示碘，用數字7來表示溴化鉀，用數字8來表示碳酸鉀，用數字9來表示氯化鉀。用擬合曲線y=x的圖象來與用分段線性插值得到的擬合多項式圖像及用三次樣條插值得到的擬合多項式圖像進行曲線擬合比較。

代碼如下：

圖7：曲線擬合程序

結果如下：（見圖 8）。

圖8：曲線擬合的圖像

分析：黑色線條是我們文獻值的標準線條，用“*”連接的紫色線條是三次樣條插值擬合多項式，用“o”連接的綠色線條就是分段線性插值擬合多項式?？梢钥闯觯仙那€比綠色的曲線更加逼近我們的標準曲線，由此我們可以得到結論，三次樣條插值法比分段線性插值法得到的計算值更為逼近我們的標準值，也就是說，三次樣條插值法更為收斂、穩定。