磁軸承激勵下轉子系統動力學特性

李勝遠 鄭龍席

西北工業大學動力與能源學院，西安，710072

0 引言

高壓壓縮機轉子系統的穩定性主要受到油膜軸承和密封動力學參數的影響[1]。高密度工作介質和高轉速使密封的交叉剛度系數顯著增大，因此轉子系統的穩定性評價在高壓壓縮機的研制中具有重要意義[2-3]。

在API 617標準[4]中，使用一階正進動模態的對數衰減率來評價壓縮機轉子系統的穩定性。使用磁軸承在軸端進行掃頻激勵進而獲得對數衰減率的方法在高壓壓縮機轉子系統的穩定性評估中應用廣泛。磁軸承主要由電磁鐵、控制器、傳感器和功率放大器組成，通過電磁鐵線圈中的電流產生可控電磁力。相比于傳統的機械軸承，磁軸承具有無接觸、低機械磨損、噪聲小和壽命長等優點[5]。BAUMANN[6]在額定轉速下應用磁軸承對轉子系統施加了單向簡諧掃頻激勵力，發現轉子系統的反進動和正進動模態均被激發。TAKAHASHI等[7]也采用通過磁軸承施加單向簡諧掃頻激勵力的方法，并應用單向頻率響應函數在頻域內識別了轉子系統一階正進動模態的對數衰減率。MOORE等[8-9]通過磁軸承對轉子系統施加了僅激發正進動模態的激勵力，并評估了高壓壓縮機轉子系統的穩定性裕度。BIDAUT等[10]利用磁軸承在兩個正交方向上分別施加簡諧掃頻激勵力，并通過控制兩個激勵力之間的相位差激發了轉子系統的反進動或正進動模態。SOROKES等[11]、SOULAS等[12]和PETTINATO等[13]也分別應用磁軸承激勵的方法測試了高壓壓縮機轉子系統的穩定性。由上述文獻可知，在不同類型磁軸承激勵力的作用下，轉子系統的反進動和(或)正進動模態被激發。然而，從目前公開發表的文獻看，對磁軸承激勵下轉子系統動力學特性的詳細分析較少。

為分析磁軸承激勵下轉子系統的振動機理，本文應用一維有限元方法建立雙盤轉子系統動力學特性計算模型，研究在不同類型磁軸承激勵下轉子系統的動力學行為。

1 轉子系統有限元建模

1.1 轉子軸段的有限元離散

本文采用一維有限元方法對轉子系統動力學建模，采用Timoshenko梁單元以考慮軸段轉動慣量和剪切變形的影響。僅考慮轉子系統的彎曲振動，轉子軸的有限元離散如圖1所示。其中OZ軸為轉子系統的旋轉軸，第i個轉子軸段的廣義坐標向量為qi=(uivi,θX,i,θY,i,ui+1vi+1,θX,i+1,θY,i+1)T，(ui,vi)和(θX,i,θY,i)分別為第i個節點沿X軸和Y軸的橫向位移和轉角。轉子軸段的局部單元矩陣可由Lagrange方程獲得[14-15]：

(1)

圖1 轉子軸的有限元離散Fig.1 Finite element discretization of rotor shaft

分別將T和U代入式(1)可得軸段單元的質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。假設圓盤為剛性盤，忽略其應變能，將圓盤的動能代入式(1)可得圓盤的質量矩陣和陀螺矩陣。對于支承軸承，假設其具有線性的載荷變形關系，由于軸承主要承受徑向載荷，所以只考慮橫向的剛度和阻尼系數。軸承作用在轉子系統上的載荷可寫為軸承處轉子位移和速度的函數[16-17]：

(2)

1.2 磁軸承激勵下轉子系統動力學響應

轉子系統的運動微分方程為[18-19]：

(3)

若通過磁軸承在轉子系統的l節點處施加不平衡力形式的激勵力，則該激勵力與轉子同向旋轉，且在4l-3、4l-2、4l-1、4l自由度處激勵力的分量Q1為[20]

(4)

式中,m為不平衡質量;ε為偏心距;δ為相對于X軸正方向不平衡量的相位;ω1為該激勵力的角速度。

若在l節點處施加角速度為ω2的反向旋轉激勵力，則激勵力向量Q2為

(5)

若通過磁軸承在l節點的X和Y方向上作用角速度為ω3的簡諧激勵力，則激勵力向量Q3為

Q3=(rcos(ω3t),scos(ω3t+α),0,0)T=
Re((rejω3t,sejω3tejα,0,0)T)=Re(ejω3t(r,sejα,0,0)T)

(6)

式中,r、s分別為X和Y方向上激勵力的大小；α為X、Y兩個方向上激勵力的相位差。

根據式(4)～式(6)中激勵力的形式，設作用在轉子系統上激勵力和響應的形式分別為Qi=Re(Q0ejωit)和qi=Re(q0ejωit)，i=1,2,3，Q0為X和Y方向上激勵力的大小和初相位，q0為復數。將Qi和qi代入式(3)可得

(7)

設復數q0的表達式為

q0=a+bj=|q0|ejβ

(8)

對于激勵力向量Qi，轉子系統的響應qi為

qi=Re(|q0|ej(ωit+β))=|q0|cos(ωit+β)

(9)

由式(9)可知，復數q0的模|q0|為磁軸承激勵下轉子系統各個自由度的響應幅值；相位β為各個自由度的響應相位。

2 轉子系統計算模型

本文研究的雙盤轉子系統及軸段的有限元離散模型如圖2所示。轉子總長為1.2 m，相鄰節點間的間隔為0.2 m，轉軸直徑為40 mm，轉速為3000 r/min。軸承支承在轉子兩端，兩個軸承的直接剛度系數kuu和kvv均為1 MN/m，直接阻尼系數cuu和cvv均為100 N·s/m，交叉剛度系數kuv和kvu以及交叉阻尼系數cuv和cvu均為零。以左端軸承為0位置，圓盤D1和D2分別位于0.4 m和0.8 m處。圓盤的厚度為50 mm，圓盤D1和D2的直徑分別為300 mm和200 mm。轉軸和圓盤材料的彈性模量E=211 GPa，剪切模量G=81.2 GPa，密度ρ=7810 kg/m3。

圖2 雙盤轉子系統計算模型Fig.2 Calculation model of a double-disk rotor system

3 計算結果

3.1 轉子系統固有頻率和模態振型分析

圖3為該轉子系統的Campbell圖。當轉子轉速為3000 r/min時，轉子系統的前兩階反進動固有頻率分別為18.51 Hz和58.87 Hz，前兩階正進動固有頻率分別為18.84 Hz和65.27 Hz。從圖3中可以看出，由于陀螺矩陣的作用，隨著轉速的增大，正進動固有頻率逐漸增大，反進動固有頻率逐漸減小，所以同階反進動/正進動固有頻率線隨著轉速的增大有相互分離的趨勢。

圖3 轉子系統的Campbell圖Fig.3 Campbell diagram of the rotor system

由于同階反進動/正進動固有頻率較為接近，因此同階反進動/正進動的模態振型相似。圖4顯示了當轉速為3000 r/min時，轉子系統的前兩階正進動模態振型。對于一階反進動/正進動模態振型，轉軸進動軌道呈U形，兩個圓盤的變形方向相同；而對于二階反進動/正進動模態振型，轉軸進動軌道呈S形，兩個圓盤的變形方向始終相反。

(a) 一階正進動模態振型(fn=18.84 Hz)

(b) 二階正進動模態振型(fn=65.27 Hz)圖4 轉速為3000 r/min時，轉子系統的前二階正進動模態振型Fig.4 First two forward mode shapes of the rotor system when the spin speed is 3000 r/min

3.2 同向/反向旋轉激勵下轉子系統動力學響應

當轉子轉速為3000 r/min，通過磁軸承在轉子跨中位置處施加由100 g·mm、0°相位的不平衡量引起的同向旋轉激勵力時，圓盤D1和D2的響應幅值如圖5所示。從圖中可以看出，在所研究的激勵頻率范圍內，圓盤響應中出現了兩個響應峰值，與圖3比較可知，響應峰值對應的頻率等于轉速為3000 r/min時轉子系統的前兩階正進動固有頻率，因此，同向旋轉的掃頻激勵力激發了轉子系統的正進動模態。

圖6顯示了在響應峰值處圓盤的進動狀態，其中“×”表示軌跡起點，“◇”表示軌跡終點，逆時針表示正進動，順時針表示反進動。從圖6可以看出，在兩個響應峰值處，圓盤均為正進動，且進動軌跡為圓形。在一階正進動固有頻率處兩個圓盤的進動相位相同，而在二階正進動固有頻率處兩個圓盤的進動相位相反，這與圖4是一致的。

當通過磁軸承在轉子跨中位置處施加反向旋轉的激勵力時，在不同的激勵頻率下，兩個圓盤的響應幅值如圖7所示。與圖3比較可知，圓盤響應峰值對應的頻率等于轉速為3000 r/min時轉子系統的前兩階反進動固有頻率。圖8顯示了在響應峰值處兩個圓盤的進動狀態，可以看出，兩個圓盤均為反進動，且進動軌跡為圓形，因此，反向旋轉的掃頻激勵力激發了轉子系統的反進動模態。當轉子系統反進動時，由于轉軸的纖維在進動過程中處于拉伸和壓縮的交變狀態，可能會導致轉軸的高周疲勞以及由軸材料內阻引起的轉子失穩，故工程應用中應避免轉子系統出現反進動。

(a) 圓盤D1的響應振幅

(b) 圓盤D2的響應振幅圖5 同向旋轉掃頻激勵力下圓盤的響應Fig.5 Disks response under co-rotating sweep exciting force

(a) 一階正進動固有頻率

(b) 二階正進動固有頻率

(a) 圓盤D1的響應振幅

(b) 圓盤D2的響應振幅圖7 反向旋轉掃頻激勵力下圓盤的響應Fig.7 Disk response under counter-rotating exciting forces

(a) 一階反進動固有頻率

(b) 二階反進動固有頻率

3.3 單向簡諧掃頻激勵下轉子系統動力學響應

當轉子轉速為3000 r/min時，通過磁軸承在轉子跨中位置處的X方向施加簡諧激勵力QX=(cosωt,0,0,0)T，兩個圓盤的響應幅值如圖9所示。此時，響應峰值對應的頻率等于轉速為3000 r/min轉子系統的反進動/正進動固有頻率，轉子系統的反進動/正進動模態均被激發，原因如下：由歐拉公式可知cosωt=0.5(ejωt+e-jωt)，因此作用在轉子系統上的單向簡諧激勵力可以等效為同向旋轉激勵力QX1=0.5(cosωt,sinωt,0,0)T和反向旋轉激勵力QX2=0.5(cos(-ωt),sin(-ωt),0,0)T之和，二者分別激發了轉子系統的正進動/反進動模態;當對轉子系統分別施加激勵力QX1和QX2時，計算所得的響應之和與圖9相同，從而驗證了上述分析的準確性。

(a) 圓盤D1的響應振幅

(b) 圓盤D2的響應振幅圖9 單向簡諧掃頻激勵下圓盤的響應Fig.9 Disk response under unidirectional harmonicsweep excitation

圖10顯示了響應峰值處圓盤的進動狀態，可以看出，由于陀螺力矩的耦合作用，故X方向的激勵使Y方向出現了響應幅值。由于兩個方向的響應幅值存在差異，因此轉子系統的進動軌跡為橢圓形。

在不同的轉速下，通過磁軸承在轉子跨中位置施加簡諧激勵力QX=(cosωt，0，0，0)T，轉子系統的瀑布圖見圖11。由上述分析可知，此時轉子系統的反進動/正進動模態均被激發，由于一階反進動/正進動固有頻率在低轉速時較為接近，因此在瀑布圖中的一階反進動/正進動固有頻率處未出現明顯的雙共振峰。由于陀螺力矩使二階反進動/正進動固有頻率的差值隨著轉速的增大而逐漸增大，所以從瀑布圖中可以看出二階反進動/正進動固有頻率線隨著轉速的增大逐漸分離，且在較大轉速時的二階反進動/正進動固有頻率處均出現明顯的共振峰。本節得到的轉子系統在單向簡諧掃頻激勵下的進動狀態與文獻[5-6]中的實驗結果相同，從而驗證了本文磁軸承激勵下轉子系統動力學建模的準確性。

(a) 一階反進動固有頻率

(b) 一階正進動固有頻率

(c) 二階反進動固有頻率

(d) 二階正進動固有頻率

(a) 圓盤D1

(b) 圓盤D2圖11 轉子系統的瀑布圖Fig.11 Waterfall plot of the rotor system

3.4 雙向簡諧掃頻激勵下轉子系統動力學響應

當轉子轉速為3000 r/min，通過磁軸承在轉子跨中位置的X和Y方向分別施加簡諧激勵力QX=cosωt和QY=cos(ωt+α)，在不同相位值α下，兩個圓盤的進動狀態如表1所示。從表中可以看出此時轉子系統的進動狀態取決于兩個方向上激勵力的相位差。當相位差為π/2或3π/2時，轉子系統的反進動或正進動模態被激發，轉子系統以圓軌跡進動；而相位差為其他值時，轉子系統的反進動/正進動模態均被激發，轉子系統以橢圓軌跡進動。由此可知，在使用磁軸承對轉子系統做雙向簡諧掃頻激勵時，兩個方向上激勵力相位差的選取是至關重要的。

表1 激勵力相位差對轉子系統進動狀態的影響Tab.1 Effect of the phase difference of the excitation force on the whirl state of the rotor system

4 結論

(1)同向旋轉的掃頻激勵力激發了轉子系統的正進動模態，而反向旋轉的掃頻激勵力激發了轉子系統的反進動模態，兩種情況下轉子系統均以圓軌跡進動。

(2)單向簡諧激勵力可以分解為同向旋轉激勵力和反向旋轉激勵力之和，因此在單向簡諧掃頻激勵力作用下，轉子系統的反進動/正進動模態均被激發，轉子系統以橢圓軌跡進動。

(3)在雙向簡諧掃頻激勵力作用下，轉子系統的進動方向和進動軌跡取決于兩個激勵力的相位差。