基于二維圖像的數字巖心電導率計算方法研究

包宏帥， 韓同城,2* ， 符力耘,2

1 中國石油大學(華東)地球科學與技術學院， 山東 青島 266580 2 青島海洋科學與技術試點國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室， 山東 青島 266071

0 引言

電導率是表征巖石電學性質的重要物理參數之一，不僅在探索巖石礦物微觀導電機制和研究地球內部物質結構組成等方面作用顯著(Glover et al.，1994；Calleja et al.，2001；Nover，2005；蔣建軍等，2013；郭穎星等，2018)，還對地質資源勘查和測井解釋等領域有著重要的指示作用(Archie，1942；Duba et al.，1978；方勝和羅延鐘，1991；李劍浩，1993；Revil et al.，1998).因此，準確、快速地確定巖石的電導率具有巨大的研究和應用價值.

作為近年來發(fā)展的一種巖石物理數值模擬工具(朱偉和單蕊，2014；孔強夫等，2015；Saxena and Mavko，2016；Saxena et al.，2017)，數字巖心技術已經成為有效計算巖石電導率等物性參數的重要方法(Arns et al.，2001；孫建孟等，2012；Andr? et al.，2013b；林承焰等，2018).此外，數字巖心技術可以在微觀尺度上定量分析孔隙尺寸、濕潤性、泥質等因素對巖石電導率的影響(Yue and Tao，2008；Liu et al.，2009；Yue et al.，2011；Miller et al.，2015)，這為系統(tǒng)地研究巖石的導電特性奠定了基礎.

一般情況下，數字巖心技術基于三維微觀結構生成的三維網格(Arns et al.，2005；Golab et al.，2010；Andr? et al.，2013a)對巖石電導率進行數值計算(Andr? et al.，2013b).許多學者利用數字巖心技術對巖石的導電特性開展了大量研究.Arns等(2001)在早期研究(Fredrich et al.，1993；Schwartz et al.，1994；Spanne et al.，1994；Auzerais et al.，1996)的基礎上討論了有限體積、離散化和統(tǒng)計波動等誤差源的影響，通過數字化三維微觀結構圖像計算了楓丹白露砂巖的電導率特性.Liu等(2009)利用有限元方法計算了三維數字巖心的電阻率和地層因素，研究了巖石濕潤性對巖石電學性質的影響.Zhan等(2010)通過X射線CT圖像計算了貝雷砂巖的電導率，并建立了考慮表面電導的三相導電模型.Andr?等(2013a，b)系統(tǒng)總結了數字巖心圖像處理手段和有效性質計算方法，形成了一套數字巖石物理工作的流程基準.Miller等(2015)通過數字巖心技術對橄欖石-玄武巖熔體電導率進行了估算，討論了揮發(fā)組分和熔體膜對部分熔融巖石電導率的潛在影響.Yue(2019)利用格子氣自動機方法研究了巖石的導電性質，并將孔隙復雜度隨孔隙度的變化率與巖石膠結系數相聯系，進而揭示了巖石膠結系數的各向異性和物理意義.上述研究驗證了數字巖心技術計算巖石電導率的可行性和有效性，特別是在考慮微觀因素對巖石電導率的影響方面，三維數字巖心技術豐富了我們的研究手段，有助于對巖石的電學性質展開系統(tǒng)的研究.數字巖心技術計算巖石電導率的關鍵是巖石三維微觀結構的獲取，但是利用X射線CT掃描等方法直接獲取巖石三維微觀結構既費時又昂貴(姚軍等，2005；Saxena et al.，2017)，這限制了數字巖心技術在一系列地球物理研究中的大規(guī)模應用.

相比于三維微觀結構，巖石的二維微觀結構信息更易獲得、更加普遍(朱益華和陶果，2007；Saxena and Mavko，2016).因此，許多學者在巖石二維微觀結構信息的基礎上，通過重建方法(例如隨機法、過程法等)來構建三維數字巖心(Quiblier，1984；Bakke and ?ren，1997；Hazlett，1997；Liang et al.，2000；Hidajat et al.，2002；Keehm et al.，2004；朱益華和陶果，2007；劉學鋒等，2013；莫修文等，2016)，進而開展對巖石電導率等性質的研究.此外，有學者選擇通過巖石二維信息來直接研究二維微觀結構與巖石物性之間的聯系(Saxena and Mavko，2016；Saxena et al.，2017).Adler等(1992)、?ren和Bakke(2002)利用二維圖像微觀結構信息成功重建了三維數字巖心，并計算了巖石的電導率和地層因素，在與實驗數據對比的基礎上驗證了通過重建三維數字巖心開展物性研究的可行性.利用巖石二維信息來重建三維數字巖心在理解復雜介質物理性質方面具有重要指導意義，然而重建算法復雜多樣，并有著不同的適應性和局限性(劉學鋒等，2013；Saxena et al.，2017)，因此重建的三維數字巖心存在著許多問題(例如，孔隙連通性不充分、重構孔形狀失真或統(tǒng)計特性與真實巖樣不符).另一方面，Saxena和Mavko(2016)直接計算了巖石二維微觀結構的彈性特性，并與三維數字巖心的彈性特性進行了關聯，在此基礎上通過經驗變換計算了三維數字巖心的彈性模量和聲波速度.Saxena等(2017)用相似的方法研究了二維薄片與巖石的滲透率關系，并通過一個可校準的模型對三維數字巖心的滲透率進行了計算.上述方法不需要通過巖石二維微觀結構來重建三維數字巖心，成本低、耗時短，并且有效避免了重建算法的局限性，為準確快速確定巖石的物性提供了思路.此外，在相同的計算機內存條件下，可以從更大的二維視場來估計三維數字巖心的性質，這具有重要的現實意義，但是利用二維微觀結構信息估算巖石電導率的研究尚未見到報道.

本文研究了巖石二維與三維數字巖心的電導率聯系.我們對2個貝雷砂巖和1個楓丹白露砂巖樣品進行了微米級X射線CT掃描，得到了巖石的三維微觀結構信息，經圖像分割處理等操作后建立了三維數字巖心.通過有限元法計算的三維數字巖心電導率與實驗數據的對比，驗證了數值計算方法的有效性.隨后我們數字地擴展了巖石的孔隙，產生了新的三維數字巖心樣本，在此基礎上，利用有限元方法計算了三維數字巖心以及相應巖石二維數字巖心的電導率.隨后基于二維與三維數字巖心膠結系數之間的聯系建立了二維與三維電導率變換關系，并通過與有限元法計算的三維數字巖心電導率的對比驗證了基于二維圖像的數字巖心電導率計算方法的可行性和有效性.

1 數值計算

1.1 有限元數值計算方法

有限元法是數字巖心技術計算巖石電導率的經典方法(Garboczi，1998；Liu et al.，2009；Yu and Wu，2010；Andr? et al.，2013b；Miller et al.，2015；孔強夫等，2015)，在復雜微分方程近似解的求取方面優(yōu)勢明顯(底青云和王妙月，1998).有限元方法的基本思想是“離散逼近”，即在離散的單元中利用一系列的基底函數組合來近似代替求解函數(曾攀，2009).利用有限元方法計算巖石電導率的理論基礎是變分原理，我們基于Garboczi(1998)的有限元方法計算了三維數字巖心和相應巖石二維數字巖心的電導率.Andr?等(2013b)將這種有限元法與其他數值計算方法進行了比較，并在各種數值方法之間找到了合理的一致性.

圖1 像素(單元)結點編號示意圖Fig.1 Diagram of labeled node with one pixel

三維數字巖心的每一個像素可視為一個8結點的立方體單元，像素內的結點編號如圖1所示.在三維數字巖心上的任意兩端施加電場，每個像素上最終的電壓分布確定了三維數字巖心的能量.根據變分原理，求解每個像素上的電壓分布問題轉化為求解系統(tǒng)能量極小值問題，即需要使得系統(tǒng)能量滿足對節(jié)點電壓的偏導數為零.在數值求解過程中，當系統(tǒng)能量對節(jié)點電壓的偏導數構成的梯度矢量的平方和小于某一給定允許誤差時，可近似認為系統(tǒng)能量取得了極小值，即確定了三維數字巖心的電壓分布和有效電導率(Garboczi，1998).

(1)

其中，ur是結點上的電壓(r的變化范圍為1到8，s與r的變化范圍一致)，Drs是通過Simpson公式精確計算的剛度矩陣(Garboczi，1998；曾攀，2009)，大小取決于該像素所代表的巖石組分的電導率張量.為了將單個像素的能量與三維數字巖心的總能量聯系起來，需要將像素內的結點編號與整體的結點編號相聯系.在三維數字巖心中，非邊界上的結點m(i,j,k)被相鄰8個像素所共用，即結點m有27個與之相鄰的結點，相鄰的結點位置可由結點m的坐標加減0或1計算.對于周期性邊界條件，相鄰結點可能處于三維數字巖心的另一側.應用周期性邊界條件，并考慮由邊界條件引起的邊界單元上的電壓跨度，則給定像素的能量可表示為

(2)

其中，δr是三維數字巖心邊界和端點處的結點電壓校正值，與施加的外部電場E=(Ex,Ey,Ez)有關.利用總能量取極小值，采用共軛梯度法求解所有結點上的電壓值(Garboczi，1998；曾攀，2009)，能量梯度為

(3)

其中，Am n和bm為全局變量，與每個像素的剛度矩陣Drs有關.在確定了結點上電壓后，利用三線性插值函數可計算三維數字巖心的平均電流和總能量等參數.最后，通過電場和計算的體積平均電流密度，應用歐姆定律可得到巖石的等效電導率：

〈jp〉=〈σp qeq〉=σpEp，

(4)

其中，〈jp〉表示p方向(下標p分別為x、y、z方向，q與p表示的含義一致)的體積平均電流密度，eq為像素的內部電場(定義為像素內部電壓的偏微分，內部電壓可由8個結點的電壓線性插值確定)分量，σp q為像素的電導率張量，取決于該像素所代表的巖石組分，σp表示p方向的等效電導率.

1.2 有限元法有效性驗證

為了驗證Garboczi(1998)有限元方法計算巖石電導率的有效性，我們首先選取了兩個不同孔隙度的貝雷砂巖(分別記作貝雷砂巖1和貝雷砂巖2)和一個楓丹白露砂巖樣品進行實驗室電導率測量，然后利用有限元方法計算了三個樣品的三維數字巖心電導率，最后對有限元法計算的三維數字巖心電導率與實驗室測量的電導率數據進行了對比.

由于X射線CT掃描的分辨率有限，因此無法識別巖石中存在的所有微孔隙.為了能夠通過對比驗證有限元法計算三維數字巖心電導率的有效性，我們對巖石樣品施加圍壓以期關閉巖石中無法被識別的微孔隙，降低微孔隙對巖石導電性質的影響.實驗前，將三個砂巖樣品置于溫度為70 ℃的干燥箱中干燥24 h，得到完全干燥的巖石樣品.隨后，在含有礦化度為80 g·L-1的氯化鈉溶液(實驗室測定電導率為11.3 S·m-1)的真空容器中持續(xù)抽真空12 h，并在16 MPa的壓力下對巖石樣品加壓飽和12 h，以確保巖石樣品完全飽和.然后，分別在5、10、15、20、30、40、50和60 MPa的圍壓條件下，通過型號為TH2822A電阻測量儀測量了巖石樣品的電阻，測量頻率為1 kHz.每次改變壓力時，將樣品靜置10 min，使巖石骨架與孔隙流體之間達到穩(wěn)定狀態(tài)，確保巖石樣品電阻測量結果的準確性.在得到不同壓力下的巖石樣品電阻R后，巖石的電導率可由公式(5)計算得到：

(5)

其中，L和S分別是砂巖樣品的實測長度和橫截面積.

巖石電阻測量完成后，分別在與電阻測試相同的圍壓條件下，通過CMS300覆壓孔隙度滲透率測量系統(tǒng)測量了砂巖樣品的孔隙度，其中貝雷砂巖1、貝雷砂巖2和楓丹白露砂巖在5 MPa壓力下的孔隙度分別為20.06%、14.59%和8.87%.貝雷砂巖1和貝雷砂巖2在5 MPa壓力下的滲透率分別約為288.304 mD和22.001 mD.隨后，我們對實驗所用的巖石樣品進行切割取樣，分別在貝雷砂巖1和貝雷砂巖2上鉆取了直徑約為4 mm的小型柱狀巖樣，在楓丹白露砂巖樣品上鉆取了直徑約4.5 mm的小型巖樣.通過微米級X射線CT技術分別對三個小型巖樣進行掃描，獲得了其巖心橫截面的一系列微觀結構信息，掃描圖像的像素分辨率均為1.7 μm.在分辨率一定的情況下，三維數字巖心包含的像素越多，越能準確反映巖石的微觀結構，并且?guī)r石物理數值模擬的結果可靠性越強，但考慮到計算機存儲和運算能力的限制，需要對三維數字巖心的尺寸大小進行權衡.參考Andr?等(2013a)對巖心CT掃描圖像的處理步驟，我們通過Avizo軟件進行分水嶺分割等操作將灰度圖像轉變?yōu)榫哂蓄w粒和孔隙體素的二值化數字樣本(如圖2所示)，其中貝雷砂巖1和貝雷砂巖2數字樣本的大小為600×600×600像素，楓丹白露砂巖數字樣本的大小為700×700×700像素，體素邊緣長度均為1.7 μm，孔隙顯示為黑色，礦物為灰色.貝雷砂巖1、貝雷砂巖2和楓丹白露砂巖的三維數字巖心孔隙度分別為20.02%、14.38%和8.52%，良好的閾值劃分使其孔隙度均在5～10 MPa壓力下的實測巖石孔隙度范圍內，與巖石孔隙的相關統(tǒng)計特性相吻合.圖3顯示了從三維數字巖心的xz剖面中計算的巖石二維圖像(二維數字巖心)的孔隙度分布，每個二維圖像可視為在y方向具有一個像素厚度的三維數字巖心，其孔隙度分布較為廣泛.為了計算結果的一致性和可對比性，我們選取與實驗室測量相同的z方向進行三維數字巖心的電導率數值計算，用石英作為巖石骨架中的礦物，電導率設為1×10-5S·m-1，孔隙流體電導率為11.3 S·m-1.

病株主要特點：病株矮小、生長速度慢、并且葉片失水較重呈灰綠色，隨后葉片由下向上黃化，莖部會因為病菌侵襲發(fā)生水漬狀腐爛。最后使苗株死亡，造成苗株缺失斷壟，嚴重些會導致整畝沒有植株存活。

圖2 數字巖心樣本(a) 貝雷砂巖1，600×600×600像素； (b) 貝雷砂巖2，600×600×600像素； (c) 楓丹白露砂巖，700×700×700像素.孔隙顯示為黑色，礦物為灰色.體素邊緣長度均為1.7 μm.Fig.2 Binary digital rocks(a) Berea sandstone sample 1 of size 600×600×600; (b) Berea sandstone sample 2 of size 600×600×600; (c) Fontainebleau sandstone sample of size 700×700×700. Pores are shown in black and mineral in grey. Voxel edge length for all sandstone samples is 1.7 μm.

圖3 巖石二維圖像(數字巖心)的孔隙度分布直方圖(a) 貝雷砂巖1； (b) 貝雷砂巖2； (c) 楓丹白露砂巖.平均孔隙度用黑色五角符號表示.Fig.3 Histograms of porosity estimated from 2D images (digital rocks) for rock samples(a) Berea sandstone sample 1; (b) Berea sandstone sample 2; (c) Fontainebleau sandstone sample. Average porosity from 2D images is shown with the black pentagon symbol.

圖4 實驗測量與有限元法計算的電導率對比(a) 貝雷砂巖1； (b) 貝雷砂巖2； (c) 楓丹白露砂巖.三維數字巖心的電導率顯示為黑色直線.Fig.4 Comparison of electrical conductivity between experimental measurement and finite element method(a) Berea sandstone sample 1; (b) Berea sandstone sample 2; (c) Fontainebleau sandstone sample. The electrical conductivity data point of 3D digital rock is displayed as black straight line.

三維數字巖心的電導率與巖石樣品的實測值之間存在著差異，除實驗操作和儀器誤差外，主要受兩方面客觀因素的影響.一方面，由于巖心CT掃描圖像的分辨率有限，因此巖石樣品的所有微孔隙不能完全被識別，使得三維數字巖心的孔隙度和導電路徑與實際樣品存在偏差，進而造成了電導率之間的差異.另一方面，巖石樣品存在著非均質性，尺寸大小有限的三維數字巖心無法完全代表巖石的整體孔隙結構和物理特性，因此也會導致三維數字巖心與巖石樣品之間的電導率存在著差異.圖4顯示了有限元法計算的三維數字巖心電導率與不同壓力下電導率測量值的對比，為便于比較，三維數字巖心電導率數據點顯示為黑色直線.隨著壓力的增加，砂巖樣品中的許多微孔隙被關閉，有效的導電路徑隨之減少，使得巖石的電導率降低. 巖心CT掃描圖像經閾值分割處理后使得三維數字巖心的孔隙度均在5～10 MPa壓力下的實測巖石孔隙度范圍內，而有限元法計算的三維數字巖心電導率也在5～10 MPa壓力下的實測電導率范圍內，三維數字巖心相應的孔隙度和電導率均與實測結果有良好的對應，這不僅驗證了Garboczi(1998)有限元方法的有效性，還側面反映了對巖心CT掃描圖像的良好分割處理，為利用有限元法計算三維數字巖心的電導率奠定了基礎.

1.3 二維和三維數字巖心電導率計算

在本文中，我們基于Garboczi(1998)的有限元方法對三維和二維數字巖心的電導率進行計算，其方法原理和有效性驗證已進行了闡釋.為了建立巖石三維和二維數字巖心之間的電導率聯系，我們需要對相應數字巖心的電導率和孔隙度進行關聯，即通過不同孔隙度的三維和二維數字巖心來進行電導率的有限元計算.我們將圖2a所示的樣本記為貝雷砂巖1的數字樣本A(如圖5a所示)，假設貝雷砂巖1的巖石骨架礦物全為石英，并且顆粒表面生長均勻，通過Avizo軟件相關模塊數字地縮小原始貝雷砂巖1樣本A的顆粒，產生了另外兩個數字巖石樣本B和C(如圖5b、5c所示).同樣地，我們分別對貝雷砂巖2和楓丹白露砂巖的原始數字樣本進行相關操作，得到了孔隙度較大的兩個數字樣本B和C，貝雷砂巖2和楓丹白露砂巖的三個三維數字巖心樣本分別如圖6和圖7所示.表1給出了各巖石的三維數字樣本的孔隙度信息.另外，本文提到的巖石二維數字巖心是從圖5、6、7所示的相應三維數字巖心樣本的xz剖面得到的，可視為在y方向具有一個像素厚度的三維數字巖心，從原始三維數字樣本(即各巖石的樣本A)中得到的巖石二維數字巖心的孔隙度分布已由圖3給出.最后，我們選取與實驗室測量相同的z方向對上述二維與三維數字巖心進行電導率計算模擬，以保證計算結果的一致性和可對比性.

表1 三維數字砂巖樣本的孔隙度信息Table 1 Porosity information of 3D digital sandstone samples

圖5 貝雷砂巖1的三個數字樣本(a) 圖2a顯示的原始貝雷砂巖1，記為貝雷砂巖1的“樣本A”，孔隙度為20.02%； (b) 數字地縮小貝雷砂巖1的“樣本A”的顆粒形成的貝雷砂巖1“樣本B”，孔隙度為22.21%；(c)數字地縮小貝雷砂巖1的“樣本A”的顆粒形成的貝雷砂巖1“樣本C”，孔隙度為24.40%.Fig.5 Three digital samples of Berea sandstone 1(a) Original image of Berea sandstone sample 1 shown in Fig.2a is referred as Berea sandstone 1 “sample A”, with porosity of 20.02%; (b)Berea sandstone 1“sample B” is derived by reducing numerically the grains in Berea sandstone 1 “sample A” , with porosity of 22.21%; (c) Berea sandstone 1 “sample C” is derived by reducing numerically the grains in Berea sandstone 1 “sample A” , with porosity of 24.40%.

圖6 貝雷砂巖2的三個數字樣本(a) 圖2b顯示的原始貝雷砂巖2，記為貝雷砂巖2的“樣本A”，孔隙度為14.38%； (b) 數字地縮小貝雷砂巖2的“樣本A”的顆粒形成的貝雷砂巖2“樣本B”，孔隙度為16.34%； (c) 數字地縮小貝雷砂巖2的“樣本A”的顆粒形成的貝雷砂巖2“樣本C”，孔隙度為18.36%.Fig.6 Three digital samples of Berea sandstone 2(a) Original image of Berea sandstone sample 2 shown in Fig. 2b is referred as Berea sandstone 2 “sample A”, with porosity of 14.38%; (b) Berea sandstone 2 “sample B” is derived by reducing numerically the grains in Berea sandstone 2 “sample A” , with porosity of 16.34%; (c) Berea sandstone 2 “sample C” is derived by reducing numerically the grains in Berea sandstone 2 “sample A” , with porosity of 18.36%.

圖7 楓丹白露砂巖的三個數字樣本(a) 圖2c顯示的原始楓丹白露砂巖，記為楓丹白露砂巖的“樣本A”，孔隙度為8.52%； (b) 數字地縮小楓丹白露砂巖的“樣本A”的顆粒形成的楓丹白露砂巖“樣本B”，孔隙度為10.47%； (c) 數字地縮小楓丹白露砂巖的“樣本A”的顆粒形成的楓丹白露砂巖“樣本C”，孔隙度為12.42%.Fig.7 Three digital samples of Fontainebleau sandstone(a) Original image of Fontainebleau sandstone sample shown in Fig.2c is referred as Fontainebleau sandstone “sample A”, with porosity of 8.52%; (b) Fontainebleau sandstone “sample B” is derived by reducing numerically the grains in Fontainebleau sandstone “sample A” , with porosity of 10.47%; (c) Fontainebleau sandstone “sample C” is derived by reducing numerically the grains in Fontainebleau sandstone “sample A” , with porosity of 12.42%.

2 基于二維圖像計算三維數字巖心電導率

2.1 基于二維圖像的三維電導率計算方法

巖石的等效電導率與巖石骨架礦物和孔隙填充流體的電導率有關.在大多數沉積巖中，固體顆粒的電導率通常比孔隙流體的電導率低一個或幾個數量級，在這種情況下，等效電導率由流體性質及含量、樣品孔隙度和孔隙空間連通性等因素決定.Archie(1942)給出了常用于表征巖石電導率和孔隙度關系的公式：

(6)

其中，σw是巖石孔隙中流體的電導率，σ0是完全飽和該流體時的巖石電導率，φ是孔隙度分數，m是膠結系數.

圖8 巖石數字樣本的電導率與孔隙度關系(a) 貝雷砂巖1； (b) 貝雷砂巖2； (c) 楓丹白露砂巖.計算結果顯示了三塊巖石的三維數字樣本(大圓點符號，紅色、綠色、藍色分別表示各巖石的樣本A、B、C，與圖5、6、7中所示的三維數字巖心樣本相對應)以及相應的二維數字巖心(小圓點符號，紅色、綠色、藍色分別表示各巖石的樣本A、B、C的二維數字巖心)的電導率.虛線與實線分別代表通過Archie公式擬合得到的三維數字樣品以及相應的二維數字巖心電導率-孔隙度關系，m3d和m2d分別為其膠結系數.實驗室測量的巖石電導率如菱形符號所示.Fig.8 The electrical conductivity versus porosity for different rock samples(a) Berea sandstone sample 1; (b) Berea sandstone sample 2; (c) Fontainebleau sandstone sample. Calculations are shown for the 3D digital samples of three rocks (large dot symbols; red, green and blue represent samples A, B and C of each rock, respectively, corresponding to the 3D digital rock samples shown in Fig.5, 6, and 7) and the corresponding 2D rocks (smaller dot symbols; red, green and blue represent 2D rocks of samples A, B and C of each rock, respectively). The dashed curve and solid curve represent the conductivity-porosity trend (fitted by Archie equation) of 3D digital samples and the corresponding 2D digital rocks respectively, m3d and m2d are the cementation coefficients. Laboratory data points of rock conductivity are shown in diamond symbol.

圖8顯示了有限元方法計算的三維數字巖心(圖中的大圓點)以及相應巖石二維數字巖心(圖中的小圓點)的電導率與孔隙度之間的關系，紅色、綠色、藍色分別代表圖5、6、7中所示的各砂巖的樣本A、B、C.結果表明，三維數字巖心的電導率隨著孔隙度的增大而增大，與實驗室得到的電導率隨孔隙度的變化趨勢(如圖8中的菱形符號所示)相吻合.另外，由于二維數字巖心之間的孔隙度、孔隙分布以及孔隙連通性存在差異，使得圖8中相應巖石二維數字巖心整體的電導率計算結果約在兩個數量級范圍內分布，并且在局部可能出現隨著孔隙度增加而電導率增幅不明顯的現象，但綜合圖8中所有的小圓點符號來看，總體上呈現二維數字巖心的電導率隨孔隙度增加而增大的趨勢.相比巖石單個的二維數字巖心，三維數字巖心的孔隙連通性更好、導電路徑更多，使得三維數字巖心的電導率更大.此外，我們利用Archie公式分別對三維數字巖心和二維數字巖心的電導率-孔隙度關系進行擬合，確定了相關膠結系數，其擬合結果如圖8中的虛線和實線所示，三維數字巖心的膠結系數小于二維數字巖心的膠結系數.擬合的三維數字巖心電導率-孔隙度關系和巖石二維數字巖心電導率-孔隙度關系可由下式表示：

(7)

(8)

其中，σ3d和σ2d分別是擬合的三維數字巖心電導率和巖石二維數字巖心電導率，σw是孔隙中流體的電導率，m3d和m2d分別是三維和二維數字巖心的膠結系數.通過對三個巖石樣品的三維與二維數字巖心的膠結系數進行分析計算，我們發(fā)現二者之間存在著數量關系，即存在系數M=m3d/m2d.

圖9 三塊巖石的系數M與5 MPa壓力下的實測孔隙度的關系.經驗模型的解為孔隙度的函數，相關系數R2=0.9717Fig.9 Coefficient M of three rocks (as shown in the legend) versus measured porosity under 5 MPa pressure. Solution of the empirical model is shown as a function of porosity, and the correlation coefficient R2=0.9717

系數M是三維和二維數字巖心的膠結系數的比值，有許多因素可以影響系數M的大小，如孔隙結構形狀、泥質含量、孔隙流體礦化度等.對所有可能影響系數M變化的參數進行詳盡研究超出了本文的范圍.孔隙度是巖石孔隙結構的一種表象，也是表征巖石孔隙的重要參數之一，并且與膠結系數有良好的正相關性.因此，我們研究了巖石孔隙度對系數M的影響.為了實現這一目的，我們根據圖8顯示的三維與二維數字巖心的膠結系數對M進行了計算，并對M的結果與5 MPa壓力下各巖石的實測孔隙度φ進行了擬合(相關系數R2為0.9717)，其結果如圖9所示，擬合模型為

M=-1.06φ+0.6257.

(9)

我們發(fā)現，在本文巖石樣品所涉及的孔隙度范圍內，系數M隨著孔隙度的增加而線性減小，并且該孔隙度范圍已涵蓋了使得Archie公式成立的大部分常規(guī)儲層巖石的孔隙度，其應用性可以得到保證.結合公式(7)、(8)和(9)，利用M的經驗模型以及擬合的二維數字巖心電導率-孔隙度關系進行變換，可得到三維數字巖心的電導率-孔隙度關系，變換過程為

(10)

基于二維圖像快速計算得到的電導率與孔隙度關系，通過公式(10)可得到三維數字巖心的電導率-孔隙度關系，并進一步利用三維數字巖心的孔隙度計算其電導率.

2.2 方法驗證

為了驗證基于二維圖像的數字巖心電導率計算方法的有效性，我們利用從Yang等(2015)處得到的人工砂巖樣品的三維數字巖心進行了相關數值模擬.該三維數字巖心的大小為120×110×100像素，體素邊緣長度為5.92 μm，其孔隙度為17.49%.假設其巖石骨架礦物為石英，我們數字地拓展了其孔隙大小，分別得到了孔隙度約為18.45%、19.31%、20.24%和21.59%的三維數字巖心樣本，并參考第1節(jié)內容通過有限元法對其二維和三維電導率進行了計算，確定了二維數字巖心的膠結系數.利用M的經驗模型以及擬合的二維數字巖心電導率-孔隙度關系對三維數字巖心電導率-孔隙度關系進行了預測，其結果如圖10a中的黑色點線所示.為了更加清晰地顯示圖10a中基于二維圖像的數字巖心電導率計算方法得到的電導率結果，我們將有限元方法計算的三維數字巖心電導率與其進行了比較，其結果如圖10b所示，相關系數R2為0.9689.基于二維圖像的數字巖心電導率計算方法得到的電導率結果與有限元方法計算的三維數字巖心電導率有良好的一致性，驗證了該計算方法的有效性.本文研究得到的基于二維圖像的數字巖心電導率計算方法為快速確定巖石電導率提供了思路，將在研究較大尺寸的三維數字巖心的電導率方面發(fā)揮巨大作用，同時為進一步準確地揭示巖石二維與三維數字巖心的物性聯系奠定了基礎.

圖10 (a) 通過公式(10)預測的三維數字巖心電導率-孔隙度關系； (b) 從預測的三維數字巖心電導率-孔隙度關系中得到的三維數字巖心電導率與有限元法計算的三維數字巖心電導率的比較，相關系數R2=0.9689.三維數字巖心的電導率-孔隙度關系是利用M的經驗模型以及二維數字巖心電導率-孔隙度關系變換得到的，預測結果顯示為黑色點線Fig.10 (a) The conductivity-porosity trend of 3D digital rock samples predicted by equation (10); (b) The electrical conductivity of 3D digital rock samples obtained from predicted conductivity-porosity trend of 3D digital rock samples versus calculated by finite element method, and the correlation coefficient R2=0.9689. The conductivity-porosity trend of 3D digital rock sample is obtained by using the empirical model of coefficient M and the conductivity-porosity trend of two-dimensional digital rocks, and the transformation result is shown in dotted black curves

3 結論

為了合理快速地計算巖石電導率，我們通過微米級X射線CT掃描得到的巖石微觀信息建立了三維數字巖心，然后利用有限元法計算了三維數字巖心以及相應巖石二維數字巖心的電導率，并基于電導率與孔隙度的關系對巖石二維與三維數字巖心的電導率聯系進行了研究.我們得到以下結論：

(1)基于Archie公式擬合的電導率-孔隙度關系可知，巖石三維數字巖心的膠結系數小于二維數字巖心的膠結系數，并且在本文涉及的孔隙度范圍內，二者之間的比值隨著巖石實測孔隙度的增加而線性減小.

(2)以巖石三維和二維數字巖心兩者膠結系數間的聯系為紐帶，可利用快速計算得到的二維數字巖心電導率-孔隙度關系進行變換，得到三維數字巖心的電導率-孔隙度關系，進而通過三維數字巖心的孔隙度計算其電導率，并且基于二維圖像的數字巖心電導率計算方法得到的電導率結果與有限元法計算的三維數字巖心電導率有良好的一致性.