蠕變和中間主應(yīng)力影響下圍巖變形分區(qū)彈塑性分析

經(jīng)來旺，陳飛宇，經(jīng) 緯，郝朋偉，趙 翔

(安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

巷道圍巖變形分區(qū)的彈塑性分析由來已久，早期的FENNER和KASTNER將圍巖視作理想彈塑性材料，基于Mohr-Coulomb(M-C)準(zhǔn)則和彈塑性兩分區(qū)模型求得了塑性區(qū)圍巖應(yīng)力及半徑的解析解；張小波、曾錢幫等[1，2]分別基于Drucker-Prager準(zhǔn)則和Hoek-Brown準(zhǔn)則求得了彈塑性兩分區(qū)模型圓形巷道(硐室)圍巖的理想彈塑性解析解。近年來，隨著巷道埋深的增加，圍巖峰后階段的應(yīng)變軟化和擴容特性的影響已不容忽視，部分學(xué)者考慮上述因素的影響[3，4]，基于彈塑性三分區(qū)模型展開研究，取得了若干重要的研究成果。然而在上述及若干相關(guān)研究中所依據(jù)的理論分析模型中圍巖的峰值應(yīng)力常是巖石的瞬時極限強度[5-11]，沒有考慮巖石材料顯著的蠕變特性的影響。實際上，在現(xiàn)有的大量的工程軟巖和地質(zhì)軟巖巷道中，圍巖進入塑性狀態(tài)后常發(fā)生不同程度的蠕變變形，待巷道穩(wěn)定后圍巖的峰值應(yīng)力將不再是巖石的瞬時極限強度[12，13]。文獻[12]認(rèn)為巷道變形在巖石的蠕變特性的影響下趨于穩(wěn)定后圍巖的峰值應(yīng)力應(yīng)為對應(yīng)圍壓下巖石的長期強度值，并分別以對應(yīng)圍壓下巖石的穩(wěn)定蠕變上、下閾值和殘余強度作為圍巖各分區(qū)應(yīng)力的臨界值構(gòu)建了4階段應(yīng)變軟化模型，基于M-C準(zhǔn)則求得了各分區(qū)圍巖的彈塑性統(tǒng)一解析解。然而該領(lǐng)域目前存在考慮中間主應(yīng)力和不考慮中間主應(yīng)力的兩大研究體系，文獻[12]的研究是基于M-C準(zhǔn)則展開的，屬于不考慮中間主應(yīng)力的研究體系。而工程實際和理論研究均表明中間主應(yīng)力對圍巖的應(yīng)力和變形分布規(guī)律有重要影響[7，8，13]。為此，基于統(tǒng)一強度理論討論圍巖變形分區(qū)彈塑性新解，并結(jié)合工程實例對比分析蠕變和中間主應(yīng)力對圍巖應(yīng)力與變形分布規(guī)律的影響。

1 理論分析模型

1.1 力學(xué)模型

力學(xué)模型如圖1所示。為便于研究假設(shè)圍巖為連續(xù)、勻質(zhì)、各向同性材料；巷道開挖斷面為圓形，開挖半徑為Rr；原巖應(yīng)力σ0與支護阻力Pi均為均布壓力；側(cè)壓系數(shù)λ=1；巷道無限長度可按照平面應(yīng)變問題對待。巷道變形穩(wěn)定后，圍巖中出現(xiàn)彈性區(qū)e、塑性軟化區(qū)s和塑性流動區(qū)w。圍巖的變形狀態(tài)與該點的切向應(yīng)力和徑向應(yīng)力有關(guān)：當(dāng)切向應(yīng)力達到對應(yīng)徑向應(yīng)力(圍壓)巖石的長期強度時，圍巖出現(xiàn)塑性軟化狀態(tài)；當(dāng)切向應(yīng)力達到對應(yīng)徑向應(yīng)力(圍壓)巖石的殘余強度時圍巖出現(xiàn)塑性流動狀態(tài)[12]。

圖1 力學(xué)模型

1.2 軟化模型

董方庭、鄭穎人等[14，15]學(xué)者的研究表明圍巖峰后階段的軟化主要與粘聚力c有關(guān)。粘聚力c的軟化模型如圖2所示。

圖2 粘聚力的變化規(guī)律

cs=c0-Mc[(εθ)r=Rs-εθs]

(1)

求得的相應(yīng)的應(yīng)變的解析解，最終得：

式中，K為比例系數(shù)，K=Rs/Rw，Rs和Rw分別為塑性軟化區(qū)和塑性流動區(qū)半徑，m；ηs為塑性軟化區(qū)圍巖的擴容系數(shù)，ηs=(1+sinψ)/(1-sinψ)，ψ為塑性軟化區(qū)圍巖的擴容角，(°)。本例中圍巖的塑性流動遵循關(guān)聯(lián)流動法則，數(shù)值上內(nèi)摩擦角φ與膨脹角ψ相等。

1.3 擴容模型

巖石材料在塑性變形階段不適用金屬等材料的體積不變假設(shè)。研究表明可用圖3所示的擴容模型反映圍巖塑性階段的變形特性[3-5]。

圖3 擴容模型

在塑性軟化區(qū)內(nèi)：

在塑性流動區(qū)內(nèi)：

1.4 統(tǒng)一強度理論

統(tǒng)一強度理論由雙剪理論發(fā)展而來，考慮了中間主應(yīng)力對材料破壞的影響，適用于巖石類材料，主應(yīng)力表達式為[7，16]：

式中，σ1、σ2和σ3分別為第一、第二和第三主應(yīng)力，MPa；b為統(tǒng)一強度理論參數(shù)，主要反映中間主應(yīng)力的影響程度，且0≤b≤1；c為巖石的粘聚力，MPa；φ為巖石的內(nèi)摩擦角，(°)。

本例中，切向應(yīng)力σθ為第一主應(yīng)力、徑向應(yīng)力σr為第三主應(yīng)力、第二主應(yīng)力用σz表示。在平面應(yīng)變狀態(tài)下σz=(σθ+σr)/2[7]，第一、二、三主應(yīng)力滿足判別式(6)，得到適用于本例的統(tǒng)一強度理論的表達式為：

σθ=Nσr+S

(7)

2 巷道圍巖的彈塑性解析

巷道變形穩(wěn)定后，圍巖應(yīng)力滿足平衡微分方程，變形滿足幾何方程。結(jié)合本例特點，求解過程適宜在極坐標(biāo)系中進行。極坐標(biāo)系中，應(yīng)力平衡微分方程為：

dσr/dr+(σr-σθ)/r=0

(8)

幾何方程為：

εr=du/dr；εθ=u/r

(9)

式中，εr和εθ分別徑向應(yīng)變和切向應(yīng)變；u為位移，mm。

2.1 彈性區(qū)分析

本例中側(cè)壓系數(shù)λ=1。力學(xué)模型遠(yuǎn)處受均布原巖應(yīng)力作用，近處受均布支護壓力作用。參照彈塑性力學(xué)中的厚壁圓筒力學(xué)模型的解析過程得彈性區(qū)圍巖應(yīng)力、應(yīng)變和位移的解析解為：

{ue=(σ0-σrp)R2sr-1/2G

(12)

式中，σ0為原巖應(yīng)力，MPa；σrp為彈性區(qū)與塑性軟化區(qū)交界處的徑向應(yīng)力，MPa；Rs為塑性軟化區(qū)半徑，m；G為圍巖的剪切模量，GPa。

2.2 塑性軟化區(qū)分析

2.2.1 塑性軟化區(qū)外邊界處應(yīng)力解析

依據(jù)應(yīng)力連續(xù)邊界條件，塑性軟化區(qū)外邊界處圍巖的徑向應(yīng)力大小為σrp，切向應(yīng)力設(shè)為σθp，則σrp=(σre)r=Rs；σθp=(σθe)r=Rs，進一步得σrp+σθp=2σ0，同時如前文所述：σθp為對應(yīng)徑向應(yīng)力σrp(圍壓)圍巖的長期強度，即[12]：

σθp=Nσrp+S0

(13)

聯(lián)立式(13)和σθp+σrp=2σ0得：

式中，σθp為彈性區(qū)與塑性軟化區(qū)交界處的切向應(yīng)力，MPa。

2.2.2 塑性軟化區(qū)內(nèi)應(yīng)力解析

塑性軟化區(qū)內(nèi)圍巖的粘聚力滿足式(1)，另聯(lián)立統(tǒng)一強度理論式(7)和應(yīng)力平衡微分方程式(8)，并結(jié)合應(yīng)力邊界條件：(σrs)r=Rs=σrp，得塑性軟化區(qū)應(yīng)力的解析解為：

2.2.3 塑性軟化區(qū)位移及應(yīng)變解析

塑性軟化區(qū)圍巖的總應(yīng)變由彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變共同組成[8，13]，可表示為：

式中，εrs和εθs為塑性軟化區(qū)的徑向和切向總應(yīng)變；(εre)r=Rs和(εθe)r=Rs為塑性軟化區(qū)外邊界處的徑向和切向彈性應(yīng)變。

聯(lián)立應(yīng)變增量關(guān)系式(3)、幾何方程式(9)和彈性應(yīng)變解析式(11)得塑性軟化區(qū)位移協(xié)調(diào)方程為：

dus/dr+ηsus/r=T(ηs-1)

(17)

式中，us為塑性軟化區(qū)位移，mm；T為中間變量且T=(σ0-σrp)/2G。

求解式(17)并結(jié)合位移邊界條件：(us)r=Rs=(ue)r=Rs，得塑性軟化區(qū)圍巖的位移的解析解為：

式中，D1和D2為中間變量，D1=(ηs-1)/(ηs+1)；D2=2/(ηs+1)。

另由幾何方程得應(yīng)變的解析解為：

2.3 塑性流動區(qū)分析

2.3.1 塑性流動區(qū)應(yīng)力解析

塑性流動區(qū)圍巖的粘聚力為常數(shù)，聯(lián)立統(tǒng)一強度理論式(7)和應(yīng)力平衡微分方程式(8)，并結(jié)合應(yīng)力邊界條件：(σrw)r=Rr=Pi，得塑性軟化區(qū)應(yīng)力的解析解為：

式中，σrw和σθw分別為塑性流動區(qū)的徑向和切向應(yīng)力，MPa；Pi為支護阻力，MPa；Mw為中間變量，Mw=Sw/(1-N)。

2.3.2 塑性流動區(qū)位移及應(yīng)變解析

塑性流動區(qū)圍巖的總應(yīng)變主要由塑性應(yīng)變組成[8，9]。聯(lián)立應(yīng)變增量關(guān)系式(4)和幾何方程式(9)得塑性流動區(qū)位移協(xié)調(diào)方程為：

duw/dr+ηwuw/r=0

(21)

式中，uw為塑性流動區(qū)位移，mm。

求解式(21)并根據(jù)位移邊界條件：(us)r=Rw=(uw)r=Rw，得塑性流動區(qū)位移的解析解為：

另由幾何方程得應(yīng)變的解析解為：

式中，εrw和εθw分別為塑性流動區(qū)的徑向和切向應(yīng)變。

2.4 圍巖變形分區(qū)范圍的確定

確定圍巖變形分區(qū)范圍即確定Rw和Rs。塑性軟化區(qū)與流動區(qū)交界處圍巖的徑向應(yīng)變和徑向應(yīng)力滿足連續(xù)性條件[10]，即：(εrs)r=Rw=(εrw)r=Rw；(σrs)r=Rw=(σrw)r=Rw。聯(lián)立應(yīng)變解析式(19)和式(23)中的第一式得：

聯(lián)立應(yīng)力解析式(15)和式(20)中的第一式得：

將Rw代入式(24)中得：

Rs=KRw

(26)

3 實例分析

淮南礦區(qū)潘一東礦-848m充電整流硐室開挖半徑Rr=2.95m，初始地應(yīng)力為21.861MPa，距硐室軸線15m范圍內(nèi)為同一巖層，巖層鉆孔窺視儀觀測顯示距硐室軸線5.5～15m范圍內(nèi)圍巖均質(zhì)完整無破裂帶，以初始地應(yīng)力作為原巖應(yīng)力進行計算；室內(nèi)實驗測得圍巖彈性模量E=4.01GPa，泊松比μ=0.25，內(nèi)摩擦角φ=27.83。圍巖瞬時極限強度對應(yīng)的初始粘聚力為11.753MPa，考慮蠕變時，由圖解法求得圍巖的長期強度和殘余強度對應(yīng)的粘聚力為5.578MPa和0.724MPa。

3.1 蠕變的影響分析

為了探究蠕變的影響，分別將巷道圍巖的瞬時極限強度和相應(yīng)的長期強度作為圍巖的峰值應(yīng)力進行計算，兩種強度對應(yīng)的初始粘聚力分別為11.753MPa和5.578MPa。另取b=0，此時統(tǒng)一強度退化為M-C準(zhǔn)則；支護阻力pi=0.25MPa；塑性流動區(qū)圍巖的擴容系數(shù)ηw=1.3。計算結(jié)果表明：當(dāng)以瞬時極限強度作為圍巖的峰值應(yīng)力時，塑性流動區(qū)和塑性軟化區(qū)圍巖的半徑分別為2.92m和3.05m，相比于硐室開挖半徑2.95m，說明圍巖中不存在塑性流動區(qū)而塑性軟化區(qū)范圍僅為0.1m，兩者皆與現(xiàn)場實測結(jié)果相差較大；而當(dāng)考慮蠕變的影響，以相應(yīng)的長期強度作為圍巖的峰值應(yīng)力時，塑性流動區(qū)和軟化區(qū)圍巖的半徑分別為5.21m和5.68m，與距硐室軸線5.5m范圍內(nèi)為松動圈的現(xiàn)場探測結(jié)果基本一致。兩種峰值應(yīng)力條件下圍巖的應(yīng)力和位移分布狀態(tài)對比分別如圖4、圖5所示。由圖4、圖5可知：當(dāng)忽略蠕變的影響時，距巷道內(nèi)壁一定范圍內(nèi)，圍巖的應(yīng)力與位移呈彈性分布狀態(tài)，兩種強度條件下，距硐室軸線5.68m范圍外均為彈性區(qū)，但當(dāng)忽略蠕變影響時，彈性區(qū)圍巖第三主應(yīng)力(σr)偏大而第一主應(yīng)力(σθ)和位移偏小，此時圍巖更不容易破壞，一定程度上高估了圍巖巖性。

圖4 巷道圍巖的應(yīng)力分布

圖5 巷道圍巖的位移分布

3.2 中間主應(yīng)力的影響分析

由式(18)、式(22)、式(25)和式(26)可知，進入塑性狀態(tài)的圍巖位移與分布范圍與中間主應(yīng)力影響程度參數(shù)b有重要關(guān)系。圍巖位移與塑性流動區(qū)半徑隨b變化的曲線如圖6、圖7所示。其中，當(dāng)b取不同數(shù)值時圍巖位移均在硐室內(nèi)壁位置(橫軸原點位置)達到最大值，且沿圍巖深部方向而逐漸減小；實際中深部圍巖較淺部圍巖受開挖、支護、采動等擾動影響的程度很小，其位移自然較淺部圍巖位移小得多。同一位置處圍巖的位移除與原巖應(yīng)力和圍巖巖性等影響因素有關(guān)外還與參數(shù)b有密切聯(lián)系，且當(dāng)參數(shù)b較大時圍巖的位移較小，如圖6所示，正如前文所述，參數(shù)b反映的正是中間主應(yīng)力的影響程度，當(dāng)b取值越大時表示中間主應(yīng)力影響程度越大。同樣的塑性流動區(qū)半徑與參數(shù)b也有類似關(guān)系，如圖7所示。總之，中間主應(yīng)力對塑性圍巖的位移級塑性流動區(qū)范圍的擴展能有明顯的抑制作用[1，13]。

圖6 巷道圍巖的位移變化

圖7 塑性流動區(qū)半徑變化

4 結(jié) 論

1)巷道圍巖塑性區(qū)的擴展與變形受圍巖峰后階段的擴容特性、軟化特性、蠕變特性和中間主應(yīng)力等諸多因素的影響，其中以受蠕變特性因素的影響更為顯著，而當(dāng)以一定圍巖下巖石的長期強度作為圍巖的峰值應(yīng)力時，一定程度上考慮了蠕變因素的影響，并通過工程實例驗證了其合理性與適用性。

2)中間主應(yīng)力能夠抑制塑性流動區(qū)的擴展與圍巖的變形，增大中間主應(yīng)力有利于增強支護效果和提高巷道的長期穩(wěn)定性，可將其作為一種支護設(shè)計思路。