高中數學美學認知三境界的探討

謝錦輝

數學教育家張奠宙先生從數學教育者的角度就數學教學過程中如何展現數學美提出了四個層次：美觀、美好、美妙、完美，并對每個層次做詳細闡述. 本文從數學初學者角度和數學文化角度，提出初學者感悟數學美學的三種境界.

對稱性是最能給人以美感的一種形式，德國數學家和物理學家魏爾曾指出：“美和對稱性緊密相關.”對稱美反映了事物的秩序、簡潔、完整以及彼此的聯系，顯示了運動的穩定性和對立的統一性，反映了審美對象和結構的平衡，體現了平衡之美.

第一境界：以形感之——以數學形態讓學生直觀感受數學美

第一境界與張奠宙先生的數學美第一層美觀是一致的. 這主要是指數學對象以形態上的對稱、和諧、簡潔，給人帶來感官上美麗、漂亮的感受. 從數學形態美入手，讓學生感受數學形態之美，可以讓學生對貌似繁雜的數學產生興趣，萌生學好數學的念頭.

在對稱美的教育中，我們可以通過對比，讓學生直觀感受“對稱”帶來的美;我們可以從自然形態中抽象出數學圖形，讓學生感受數學直觀形態之美，體現數學與自然的完美結合.

例1：美與不美——有對比才有說服力.

圖形是非常直觀的一種形式. 顯然，在上述三圖中，左右兩邊的圖具有對稱性，中間的圖給人一種怪怪的感覺，相對于中間圖形，左右兩邊的圖形會讓欣賞者更加心情愉悅.

例2：自然與數學

蜜蜂選擇正六邊形蜂巢不僅因為正六邊形對稱、漂亮，還有其他更深刻的原因，但這種自然的選擇體現出數學對稱美與自然的和諧統一.

第二境界：以理服之——讓學生理性認知數學美

如果我們僅僅停留在對圖形美的思考，學生既無法深入提升美學素養，也無法深入理解數學美學. 因此我們需要思考“美從何來？”“美本質在何處”，即窮美之理，以理服之.

在以理服人的過程中，我們既可以結合生活實際，也可以與經驗常識結合，使學生在縱橫捭闔之間，打破數學學習的封閉性，不再囿于于數學本身，在數學原理、數學知識運用、數學手段掌握上能夠更接地氣，有利于學生內化數學知識、活用數學.

在對稱美的欣賞中，我們至少可以從兩個角度進行賞析.

第一角度：對稱美的產生來源于內心的滿足. 從美學角度，美是人對自身需求被滿足時所產生的愉悅反應. 由對稱的性質，我們可以對具有對稱結構的事物“窺部分而得整體”，達到“一葉知秋”的效果;利用鏡面對稱也能達到“知一得二”的效果. 這兩種效果都可以使我們利用“較少的已知信息”獲取“較多的未知信息”，既能夠滿足“以小博大”“事半功倍”的人性，也可以使人減少對未知的恐懼，從而產生內心的愉悅，美由此產生.

例3：利用對稱結構進行條件轉化.

已知直線l ∶ x-2y+8=0和點A（2，0）、點B（-2，-4），在直線上求一點P，使 |PA|+|PB|最小，則P點坐標是_______.

分析：|PA|+|PB|≥|AB|，等號成立條件為A、B在P的兩側，顯然原題不滿足等號的條件. 若要滿足等號的條件，A、B兩點必須在直線的異側. 為此我們可以利用對稱性質，將點A轉化到直線另一側，然后利用兩點之間線段最短的定理得到最小值.

解：設點A（2，0）關于直線x-2y+8=0對稱的點坐標為A′（a，b），則-b+8=0=-2? a=-2b=8，即A′（-2，8）. 結合圖形可知|PA|+|PB|≥|AB|，即三點A′、B、P共線時，|PA|+|PB|最小，此時直線A′B的方程為 x=-2，將x=-2代入直線x-2y+8=0可得交點P（-2，3）.

第二個角度：對稱美體現了事物平衡. 對稱是指事物整體中各個部分之間的勻稱和對等，而勻稱又往往與和諧的協調性相聯系. 這種協調即是平衡. 平衡觀的引入，為數學解題提供了思路，為數學學習賦予了生活氣息，也為數學學習賦予了哲學意義.

例4：從平衡角度思考問題的解決.

我們在推導橢圓方程過程中，多次利用了對稱美和平衡的思想.

（1）對稱建系

很明顯在上述三圖中，中間的建系很漂亮，左右平衡、穩定美觀. 這種對稱建系給后續的化簡帶來美的體驗，為最終結果的簡潔性提供保障.

（2）從平衡角度化簡代數式

根據橢圓的定義，設M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c>0），那么焦點F1、F2的坐標分別為（-c，0）、（c，0）. 根據橢圓的定義，設點M與焦點F1、F2的距離的和等于2a.

由橢圓定義可知，橢圓可以看作點集P={M│|MF1|+|MF2|=2a}. 所以有：

這一步的變換思路的來源即是滿足等式的平衡. 從代數式整體結構來看，變換后等式兩邊結構更加均衡、穩定. 這種均衡為后續化簡提供了便利.

例5：從平衡角度思考等價轉化.

證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.

分析：本題從代數式結構來看，不等號左右兩邊的結構是不平衡的. 左邊lnx是初等函數，形式簡單;右邊為指數函數和反比例函數的和函數，研究起來非常繁雜，即便求導后導數也很復雜. 從不等式結構均衡的角度，我們將不等號兩邊同時乘以x，將問題轉化為證明xlnx>■-■，x∈（0，+∞），這樣，左邊代數式結構變復雜，但右邊代數式結構變簡單，不等式結構相對均衡，然后通過分別研究不等式兩邊的函數，得到不等式的證明.

證明：易知f（x）=xlnx的最小值 f（■）=-■. 設 （x）=■-■，（x∈（0， +∞）），則？覬′（x）=■;由？覬（x）的單調性易得 ？覬（x）max=？覬（1）=-■，因此xlnx≥-■≥■-■，因為兩個等號不能同時取得，所以xlnx>■-■，即對一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.

第三境界：以用喜之——利用對稱美解決實際問題

以理服之，能夠讓學生深刻感受數學美學. 但如果不能用美學之理指引我們解決問題，于學生而言就止步于數學之門，停留在欣賞美學，不能產生數學的美學體驗. 因此教師需要利用數學美學解決學生遇到的數學問題，讓審美意識產生實際效用，使學生感受“美學之用”. 讓內化的美學之理外顯，指導學生解決問題，既豐富數學美學體驗，也能感受數學之用.

由前文所述，可以看到對稱美的產生來源于可以用“較小的代價”獲取“最多的信息”，因此利用對稱美可以達到“化繁為簡”的效果.

例6：已知A、B分別為橢圓E：■+y2=1的左、右頂點，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.證明：直線CD過定點.

分析：本題解法很多，但是大都涉及到直線與橢圓聯立方程、求點等，計算繁雜. 如果我們能夠關注到C、D點的對稱性，利用對稱美學可以得到一個非常漂亮的解法.

解：由橢圓的性質可知：kAC·kBC= -■;kAD·kBD =-■;∴■=■;因為P是直線x=6上的動點，由幾何性質可知：kAC=kPA=■;kBD=kPB=■;∴3kAC=kBD，∴■=■=■;設直線CD方程為x=sy+t，由上述可知：3kAC=kBD且3kAD=kBC

∵3kAC=kBDxC=syC+txD=syD+t? 3■=■xC=syC+txD=syD+t

2syC yD+（3t-9）yC-（t+3）yD=0……①

同理：3kAD=kBC？圯2syCyD+（3t-9）yD-（t+3）yC=0……②

則①-②得：（9-3t）（yD-yC）=（t+3）·（yD-yC）……③

∵yC≠yD，由③可知，t=■. 所以直線CD的方程為x=sy+■，因此直線CD恒過點（■，0）.

將數學美學教學引入高中課堂，可從直觀感知、理性認知、學以致用三個逐層遞進的境界認知數學美學. 在這個過程中學生能夠打破數學學習封閉性，提升數學學習興趣、內化數學素養、增強學習內驅力. 更重要的是，以數學美學角度注入課堂教學，可以豐富學生情感體驗、提升學生美學修養、提高學生核心素養. 這也是數學學習的價值和意義之所在.

注：本文系廣東省教育科學“十三五”規劃課題“普通中學生態美育體系的研究與實踐”（課題批準號：2020ZQ JK071）階段性成果.

責任編輯羅峰