基于L2范數的高斯混合模型空域去噪方法

王彩玲，孫昌霞

(1.河南警察學院網絡安全系，河南 鄭州 450046;2.河南農業大學信管學院計算機系，河南 鄭州 450046)

0 引言

由于圖像在獲取、傳輸和數字化過程中會遇到不同光照的影響，傳感器溫度發生變化等情況，獲取的圖像中會引入隨機噪聲。圖像去噪的方法很多，常分為頻域濾波和空間域濾波。常用的頻域濾波方法有小波去噪[1]、高通濾波、維納濾波[2]等；空域濾波的方法很多，如偏微分方程、變分法[3]、統計方法[4]等，這些方法均有較多的應用。經典的偏微分方程法是一種各向同性的濾波算法，能很好地去除噪聲，但這類方法在對噪聲成分進行平均的同時也對圖像信息進行了平均，導致處理后的圖像變得較為模糊。Yaroslavsky根據像素灰度的差異來定義像素點之間的相似性，得到了Yaroslavsky濾波[5]。Tomasi在Yaroslavsky濾波的基礎上，結合像素點間的灰度差異和空間距離來定義了像素間的相似性，得到了雙邊濾波[6]。近年來，對雙邊濾波也出現了一些改進算法[7-11]，主要集中于濾波參數的選擇、算法效率的提升等方面，其中，文獻[12]提出了距離核的概念，將其應用于像素相似性權值的定義中，在細節豐富的區域中，算法的去噪性能有很大的提升。此外，文獻[13]提出了一種基于方向波域混合高斯模型的合成孔徑雷達圖像去噪方法。與小波域不同，文獻[14]對合成孔徑雷達圖像進行復Shearlet變換，并對系數進行高斯混合模型建模，有效提升去噪圖像的峰值信噪比。

針對圖像像素間相似性衡量不準確而導致去噪性能下降的問題，本文利用高斯混合模型對像素周圍鄰域內的像素信息進行建模，結合高斯混合模型間的L2范數與空間距離來定義像素點之間的相似性權值，提出基于L2范數的高斯混合模型空域去噪方法。

1 基于高斯混合模型的圖像去噪原理

基于高斯混合模型的圖像去噪的基本思想：首先利用每一個像素點周圍鄰域的像素信息估計出高斯混合模型的參數，將像素信息建模為高斯混合模型，得到預濾波圖像；然后計算兩像素點對應高斯混合模型間的L2范數，結合L2范數值和兩像素點間的空間位置距離來定義兩像素點間的相似性權值；最后對每一個像素點進行加權平滑濾波，得到去噪后的圖像。

與經典的空域去噪方法不同，基于高斯混合模型的圖像去噪方法是根據像素點周圍信息的統計差異性大小來定義像素點間的相似性權值，其具體步驟如下：

1) 對某一個像素點，利用其周圍鄰域內的像素信息估計出高斯混合模型的參數，得到一個高斯混合模型；

2) 對圖像中的每一個像素均估計出一個高斯混合模型，所有的高斯混合模型構成了一個預濾波圖像；

3) 計算兩像素點對應高斯混合模型間的L2范數，并結合兩像素點間的空間距離來定義像素點間的相似性；

4) 對圖像中的每一個像素均進行加權平滑濾波，得到濾波后的圖像。

從上述步驟可知，基于高斯混合模型的圖像去噪是根據兩像素點x與y間的空間距離和其對應高斯混合模型間的L2范數來定義相似性權值w(x,y)，并進行加權平滑濾波得到濾波后的圖像，濾波公式如下：

(1)

(2)

式(2)中，G(x)和G(y)分別表示像素點x與y處的高斯混合模型，d2(x,y)=|x-y|2表示像素點x與y間的空間距離，參數r是濾波控制系數。r越大，圖像的平滑效果越好，圖像的細節信息損失越多；r越小，圖像的平滑效果越差，圖像細節信息損失越小。因此，在濾波過程中需要選擇合適的濾波控制系數r。基于高斯混合模型的圖像去噪方法的基本思想可表示如圖1所示。

圖1 基于高斯混合模型的圖像去噪Fig.1 Image denoisingbased on Gaussian mixture model

2 基于L2范數的高斯混合模型去噪

對每一個像素點，利用其周圍鄰域內的像素信息估計出高斯混合模型的參數，得到一高斯混合模型。像素點對應的高斯混合模型表示該像素周圍鄰域內像素信息的局部灰度強度和細節豐富程度，利用兩高斯混合模型間的L2范數，并結合像素點間的空間距離來定義像素間的相似性權值。依據該相似性權值對圖像中的每一個像素進行加權平滑濾波，下面主要介紹像素信息的高斯混合模型建模以及兩高斯混合模型間的L2范數計算。

2.1 像素信息的高斯混合模型估計

對某一像素點x，其周圍鄰域窗口Ψ(x)的大小為M×M，鄰域內包含M2個像素點，位置(i,j)處的像素灰度值為I(i,j)，利用這些像素信息估計出一高斯混合模型，公式如下：

(3)

(4)

式(4)中，z表示類別的標簽，P(·)表示概率大小。式(4)給出γim,i=1,…,n2,m=1,…,K的計算公式，進一步，依據式(4)可計算出其余的參數：

(5)

根據式(4)和式(5)可以利用EM算法迭代估計出高斯混合模型的參數，參數估計的具體步驟如下：

1) 對參數θ取初值；

4) 重復步驟2)和步驟3)，直至收斂。

采用上述步驟可以估計出每個像素點的高斯混合模型的參數，所有像素點對應的高斯混合模型即構成了預濾波圖像，在預濾波圖像中，結合兩像素點對應高斯混合模型間的L2范數和空間距離來計算兩像素點之間的相似性權值。為了分析利用EM算法進行高斯混合模型參數估計的有效性，以某次參數估計為例，對于給定7×7的圖像區域的像素信息，利用此49個像素進行高斯混合模型的參數估計，選取模型的成份數為5，其參數估計的中間結果如表1所示。

表1 高斯混合模型的參數估計的中間結果Tab.1 Intermediate results of parameter estimation

從表1的結果可以看出，利用EM算法進行高斯混合模型的參數估計，在第7步時算法收斂，并且不同高斯成分對應的權值以及均值和方差均不相同。

2.2 L2范數的計算

假設每個像素點周圍的像素信息建模為混合成份數均為K的高斯混合模型，對于兩像素點x與y對應的高斯混合模型為：

(6)

其間的差異性度量計算方法較多，如KL散度、蒙特卡洛方法等，但KL散度并沒有解析表達式，只能通過近似的方式來計算，蒙特卡洛方法的計算量太大，均不適合。為此，本文采用L2范數來計算兩高斯混合模型間的差異性，高斯混合模型間的L2范數具有解析表達式，便于算法的實施。

對于高斯混合模型G(x)與G(y)，其間的L2范數可計算如下：

(7)

上式展開可得，

(8)

將式(6)代入式(8)，化簡可得，

(9)

根據高斯分布的積分性質可知，

(10)

將式(10)代入式(9)，化簡可得，

(11)

根據式(11)，可計算兩高斯混合模型間的L2范數距離。

The acoustic impedance of the perforated plate is related to the acoustic resistance and mass reactance of the orifice on the assumption that the interaction between the orifices,if they are sparsely distributed,can be neglected.

3 實驗驗證

3.1 評價指標

對去噪算法的評價須從兩個指標進行評價，即去除噪聲的多少和圖像細節信息損失多少。噪聲去除的越多，表明去噪算法的去噪能力越強；噪聲去除的越少，表明算法的去噪能力越差。同時，圖像細節信息保留越多，表明圖像的質量越好；圖像的細節信息保留越少，表明圖像的質量越差。通常在去除圖像噪聲的同時，盡可能多地保留圖像的細節信息。為此，本文采用峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)來衡量算法的去噪能力，同時，采用結構相似度因子(structural similarity index，SSIM)[15]來評價去噪后圖像的質量好壞，也即圖像的細節信息保留的能力。PSNR的值越大，SSIM的值越接近1，說明算法的去噪能力越強，且圖像的細節信息保留越多。

3.1.1PSNR

在圖像去噪的算法評價中，PSNR常用于圖像去噪能力的評價指標，PSNR可計算如下：

(12)

式(12)中，vmax表示圖像中的最大像素值，在0～255的圖像中，vmax=255；v(i)和u(i)分別表示噪聲圖像和無噪聲圖像的灰度值，mean{[v(i)-u(i)]2}是指噪聲的平均功率。

3.1.2SSIM

結構相似度因子是根據人類視覺機制來定義的圖像去噪的評價指標，從視覺上來看圖像，圖像的細節信息越多，則圖像越清晰，反之，圖像越模糊。SSIM是結合圖像的對比度、邊緣結構和圖像亮度等三方面的特性，通過加權乘積得到的評價指標，SSIM可由如下公式計算：

(13)

在本文中，c1=(k1L)2，c2=(k2L)2，L表示像素值的取值范圍，k1和k2是權系數，一般情況下，k1=0.01，k2=0.03。一幅圖像的SSIM是不同窗口內SSIM的均值mSSIM。

3.2 實驗結果分析

為了驗證本文算法(GMMD)的有效性，首先需要分析算法的處理過程，包括相似性權值的分析，待濾波圖像的求解，然后分析去噪效果。算法在聯想筆記本上運行，其環境為Windows 10系統，處理軟件為matlab 2019a，CPU采用英特爾i7-8850H，內存16 G。

對于一幅“Lena”圖，從中選擇A、B、C、D 4個區域，依據相似性權值的計算公式分別計算A與B、C、D之間的相似性。結果如圖2所示：A與B之間的像素信息差異較大，其相似性較低，只有0.31；A與C之間的像素信息比較接近，其相似性高達0.92；A與D之間的顏色信息有一定的差異，其相似性適中，有0.75。上述相似性的結果能較好地反映出不同區域間的差異性大小，為加權平均濾波奠定了基礎。

圖2 圖像不同區域的相似性Fig.2 Similarity of different regions in image

為了進一步分析算法的有效性，需要給出圖像的預濾波圖像。如圖3所示，分別給出了原圖像、噪聲方差為0.01的圖像、均值圖像以及方差圖像，其中均值和方差圖像為預濾波圖像，說明了圖像在均值和方差域的信息。

從圖3的結果可以看出，均值圖能較好地反映出圖像的像素信息，而方差圖能反映出圖像的邊緣細節信息，利用高斯混合模型能較好地建模圖像區域像素信息的局部灰度強度和細節豐富程度。

從圖4—圖8的去噪結果可以看出，GMMD算法和KBF算法的去噪性能明顯優于MF和BF的性能，GMMD算法能很好地去噪圖像噪聲，同時能較大程度上保留圖像的細節信息。為了從視覺上更好地看出不同方法的去噪性能，在圖像中選取某一區域，給出其去噪結果，以“Lena”圖為例，選取的圖像區域以及去噪結果如圖9所示。

圖3 圖像的預濾波結果Fig.3 Pre-filtering results

圖4 噪聲圖像Fig.4 Noise images

圖5 經BF去噪后的圖像Fig.5 Denoised images by BF

圖6 經MF去噪后的圖像Fig.6 Denoised images by MF

從圖9的結果可看出：圖像區域經MF去噪后細節信息損失較多，圖像較模糊；利用BF和KBF進行去噪后，得到的結果雖然細節保持較好，但噪聲較多，去噪效果較差；而本文方法得到的去噪結果不僅在圖像細節信息上保持較好，而且能去除噪聲，去噪效果較好。為了定量分析和比較GMMD算法的性能優勢，在不同噪聲背景下，利用不同去噪算法進行去噪實驗，計算PSNR和mSSIM的值，所得結果如表2和表3所示。

圖7 經KBF去噪后的圖像Fig.7 Denoised images by KBF

圖8 經GMMD去噪后的圖像Fig.8 Denoised images by GMMDX

從表2和表3的結果可得，GMMD算法和KBF算法的去噪能力和細節信息保留能力均優于MF和BF算法。在比較平坦的圖像“Lena”和“Einstein”去噪結果中，GMMD的去噪能力和細節信息保持能力均優于KBF算法；然而，在圖像細節信息較豐富的圖像“Academy”和“Mandrill”去噪結果中，GMMD算法的去噪性能提升并沒有像平坦區域那么大。結合圖像像素信息的局部平均灰度強度和細節豐富程度來定義像素間的相似性權值，比傳統的方法更準確。

圖9 局部區域的去噪結果Fig.9 Denoising results of local area

表2 不同去噪算法的PSNRTab.2 PSNR of different denoising algorithms dB

表3 不同算法的mSSIM(σ2=0.01)Tab.3 mSSIM of different denoising algorithms

4 結論

本文提出了基于L2范數的高斯混合模型空域去噪方法。該方法將像素點周圍像素的局部灰度信息的統計特性建模為高斯混合模型，結合高斯混合模型間的L2范數和像素位置的空間距離來定義像素點之間的相似性權值，以提高像素間相似性度量的精確度，利用加權平滑濾波來對圖像進行去噪處理。實驗結果表明，利用高斯混合模型可更加準確地衡量像素間的相似性，同時，該去噪方法可提高圖像的去噪效果，并能較好地保留圖像的細節信息。如何在細節豐富的圖像區域中提升算法的去噪性能，是下一步研究的重點。