基于鐘差建模的水下定位時延修正算法

王雪琰，李記龍，黃敏燕，馮海泓

(1. 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站，上海201815；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

0 引 言

近年來，經(jīng)濟(jì)、科學(xué)和軍事等方面在海洋領(lǐng)域的高速發(fā)展以及人類在海洋活動空間的不斷拓展，對水下定位導(dǎo)航授時(Positioning Navigation and Timing, PNT)提出了越來越高的要求[1]。水下定位導(dǎo)航目前主要手段有慣性導(dǎo)航、地球物理場導(dǎo)航和水聲導(dǎo)航定位[2]。水聲定位應(yīng)用廣泛，靈活多變，有廣闊的發(fā)展前景，是水下定位的主要手段。目前水聲定位的方法主要有超短基線(Ultra-Short Baseline,USBL)定位系統(tǒng)、短基線(Shoot Baseline, SBL)定位系統(tǒng)和長基線(Long Baseline, LBL)定位系統(tǒng)。其中LBL的基線范圍達(dá)幾千米，基陣常常布放在海底或海面，目標(biāo)處于基陣內(nèi)。裝有應(yīng)答器或同步信標(biāo)的基陣固定在海底時，通過測量時延可以獲得每個應(yīng)答器與目標(biāo)的斜距。在應(yīng)答器位置預(yù)先確定的條件下，根據(jù)球面交匯原理即可確定目標(biāo)的位置。水下定位中存在各種誤差因素。易昌華等[3]較全面地剖析了二次水聲定位過程中GPS測量、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換、換能器安裝、時延測量、聲速計算中存在的誤差，并給出了減小和消除各種誤差的方法。對于聲速誤差，趙建虎等[4]認(rèn)為削弱聲速相關(guān)誤差的有效途徑是建立聲速場模型，且聲速對定位的影響與波束入射角密切相關(guān)。孫文洲等[5]分析了聲速剖面對定位測距的影響，根據(jù)誤差變化規(guī)律設(shè)計了對應(yīng)的走航方式與差分算法。孫大軍等[6]提出了一種通過遺傳算法提取最優(yōu)有效聲速的方法，以修正非均勻聲速帶來的誤差。關(guān)于GPS測定船姿態(tài)的誤差影響，趙建虎等[7]提出了利用GPS相位測量技術(shù)對船姿態(tài)進(jìn)行測定，提高了數(shù)據(jù)獲取精度。

海洋大地控制網(wǎng)是由一系列布設(shè)在海洋領(lǐng)域的測量控制點構(gòu)成的大地控制網(wǎng)，是國家測繪局布設(shè)的“2000國家大地控制網(wǎng)”的重要組成部分[8]。由陸上、海面、海底三方面的控制點組成，其中最主要的是海底控制點。建設(shè)完備、精確的海洋大地控制網(wǎng)是海洋測量、檢測、定位、水下作業(yè)等海事活動的基礎(chǔ)。但由于水下測量的局限性，水下控制網(wǎng)點的絕對位置標(biāo)定難以精確實現(xiàn)。通常布放在海底的固定節(jié)點的位置無法直接準(zhǔn)確得知，故需對沉底潛標(biāo)通過水面觀測收集一系列時延信息以對其進(jìn)行精確標(biāo)定。時延獲取有應(yīng)答與同步兩種方式，在通過同步方式獲取時延值時，水面設(shè)備與水下設(shè)備精準(zhǔn)的時鐘同步是獲取精確時延的前提條件。由于水上GPS設(shè)備與水下設(shè)備存在固有鐘差，在定位時延中增加了一個干擾參數(shù)，使得獲取時延存在誤差，進(jìn)而導(dǎo)致標(biāo)定誤差。由此可見鐘差也是影響定位精度的一個重要因素，故建立水下同步信標(biāo)的時鐘漂移模型是亟待解決的問題。

衛(wèi)星鐘差的建模與預(yù)報已有許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，旨在修正衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與地面設(shè)備系統(tǒng)之間的鐘差[9]。目前主要的預(yù)報方法有多項式模型、灰色模型、卡爾曼(Kalman)濾波模型、各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、時間序列模型以及以上模型的組合或改進(jìn)等[10]。在潛標(biāo)定位過程中，水下設(shè)備與水面設(shè)備間的鐘差產(chǎn)生原理與衛(wèi)星鐘差相似。故衛(wèi)星鐘差的預(yù)報模型對于水下時鐘同步算法具有指導(dǎo)作用。

衛(wèi)星鐘差模型中最為常見、簡便的是多項式模型中的二次多項式模型。此模型短期預(yù)報效果較好，物理意義明確。本文依據(jù)二次多項式鐘差預(yù)報模型，推導(dǎo)了一種適用于水下聲學(xué)系統(tǒng)的高精度同步時鐘修正算法。該算法以高精度的差分GPS秒脈沖作為時鐘基準(zhǔn)源，以其大地坐標(biāo)的位置作為水面設(shè)備的絕對位置；在水面實時監(jiān)測水下設(shè)備的脈沖信號，并對其做數(shù)小時的精確測量；建立水下設(shè)備的時鐘漂移模型，推演時鐘誤差修正量；將其代入解算方程，按照遞歸最小二乘法，計算時鐘偏移量，并按照時鐘漂移規(guī)律完成水下設(shè)備絕對時間的更新。最終通過實驗數(shù)據(jù)驗證，證明了本算法能有效解決水下設(shè)備與水面設(shè)備間的鐘差補(bǔ)償問題，實現(xiàn)設(shè)備間的時鐘同步。

1 模型建立與仿真

1.1 模型建立

水下鐘差是指在水下聲學(xué)定位過程中，由于時鐘頻漂沒有得到及時修正帶來的潛標(biāo)同步發(fā)射與GPS同步信號之間的時鐘誤差。誤差主要來源為水下設(shè)備恒溫晶振自身晶體和元件的老化，反映為時鐘的偏移與漂移。

衛(wèi)星鐘差的二次多項式模型可以表示為[11]

式中： Li表示ti時刻與GPS衛(wèi)星的鐘差，t0代表參考時刻；a0、a1、a2的物理意義分別為與衛(wèi)星鐘的鐘差、鐘速與頻漂。鐘差與鐘速對應(yīng)時鐘偏移和時鐘漂移，為線性變化部分。文獻(xiàn)[12]也指出，短期內(nèi)時鐘頻率漂移呈線性變化，故假設(shè)待修正鐘差為線性模型。若此修正鐘差的誤差模型假設(shè)為

式中：te代表含有誤差的時間；tr代表真實時間；k和b分別表示時鐘漂移與時鐘偏移，對應(yīng)式(1)的a1與a0。假設(shè)信號發(fā)射周期為 m(單位：s)，由式(2)可推得真實時延公式為

式中：Toi為第i個時延觀測值，Tri為第i個真實時延，i代表時延序號。

單點潛標(biāo)的定位解算采用最小二乘法，最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。以繞圈走航方式為例，若在不同時刻不同位置獲得N個觀測值，不考慮鐘差時，根據(jù)最小二乘法潛標(biāo)解算公式為

1.2 模型仿真

為證明模型的有效性，探究鐘差給定位帶來的誤差影響，對模型進(jìn)行仿真驗證。假設(shè)海洋中無多普勒影響，聲速固定且無海潮情況。取信號發(fā)射周期 m=6 s。系統(tǒng)測時誤差、觀測誤差、聲速測量誤差分別在±5×10-5s、±0.1 m、±0.1 m·s-1的范圍內(nèi)均勻分布。具體步驟如下：

(1) 選取適當(dāng)?shù)睦@行軌跡與固定潛標(biāo)坐標(biāo)。軌跡半徑取1.5 km，誤差在±15 m范圍內(nèi)均勻分布，按圓軌跡均勻取900個觀測點，圓心處為潛標(biāo)水平位置，水深為3 km，如圖1所示；

圖1 仿真的繞行軌跡與潛標(biāo)位置示意圖Fig.1 Schematic diagram of simulated rounding track and submersible buoy’s position

(2) 用固定聲速計算出每個軌跡點對應(yīng)的時延，按照設(shè)想模型給時延附加上已設(shè)定誤差參量的鐘差。此處k按鐘漂量級10-9～10-6s設(shè)置梯度值(若鐘漂量級為10-9s，則k=1?10-9)，對應(yīng)的b均設(shè)置為0.001 s；

(3) 分別用式(4)與包含鐘差修正解算的式(5)對附加不同鐘差的時延數(shù)據(jù)進(jìn)行解算，并反算殘差，計算定位精度。殘差計算公式為

即觀測點i的坐標(biāo)與解算所得潛標(biāo)坐標(biāo)之間的距離與平均聲速乘以相應(yīng)時延的差值。其中εi代表每個觀測點的反算殘差。定位精度即為反算殘差的均方根值，表示為

經(jīng)以上步驟可得仿真結(jié)果，如圖2所示。由圖2可見解算所得鐘差系數(shù)k與設(shè)定值基本保持一致，差值控制在10-9量級。參數(shù)b的解算誤差保持在10-5s量級。修正前后定位精度變化如圖3所示，尤其當(dāng)鐘漂量級變大時，定位精度得到了顯著提高，修正后定位精度保持在0.1 m量級。修正前后的定位精度符合實際情況，證明了修正模型的有效性與準(zhǔn)確性。

圖2 模型系數(shù)k值對比曲線Fig.2 Comparative curve of model coefficient k

圖3 鐘差修正前后定位精度對比曲線Fig.3 Comparative curve of positioning accuracy before and after clock error correction

不同鐘漂量級的無修正定位反算殘差曲線趨勢一致，以10-7s的鐘漂量級為例，水下鐘差對定位殘差的影響趨勢如圖4所示。

圖4 有無鐘差修正殘差分布對比Fig.4 Comparison of residuals distribution with and without clock error correction

2 海試驗證

用于此次驗證的試驗數(shù)據(jù)來源于2019年7月某海上試驗，試驗水深約為 3 km，繞圈半徑約為1.5 km，在定位區(qū)域內(nèi)任取一點作為原點，將軌跡與潛標(biāo)的位置用相對坐標(biāo)表示，潛標(biāo)1與潛標(biāo)2的位置與繞圈軌跡如圖 5所示。在海底固定布放潛標(biāo)，水面船接收同步聲信號，測量接收時延，同時采集船舶的位置、姿態(tài)等參考信息。上述信息可精確計算接收點位置。其中測時精度為 50 μs；GPS水平精度為0.2 m，高程精度為0.5 m；觀測誤差為0.1 m；聲速測量誤差為0.1 m·s-1。

圖5 海試數(shù)據(jù)得到的繞行軌跡與潛標(biāo)位置示意圖Fig.5 Schematic diagram of rounding tracks and submersible buoys’ positions from sea trial data

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

實驗載體的坐標(biāo)、姿態(tài)、航向等數(shù)據(jù)由GPS和姿態(tài)儀實時測定。已知接收陣元在載體坐標(biāo)系下相對于GPS天線的坐標(biāo)，將GPS、姿態(tài)等數(shù)據(jù)與陣元時延數(shù)據(jù)通過時間標(biāo)對齊后，即可利用完備的數(shù)據(jù)，通過公式換算將陣元在接收時刻的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系下。對于時延數(shù)據(jù)和相應(yīng)的換能器坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)處理。選取相應(yīng)潛標(biāo)的繞圈軌跡與相應(yīng)時延后，即可用最小二乘法解算；對于繞圈解算中的聲速選取，平均聲速法[13]具有良好的適用性。平均聲速法本質(zhì)上是適當(dāng)選取一個等效聲速，使它對應(yīng)的等效傳播時延等于真實的傳播時延。采用在垂直線上取深度的平均來對聲速進(jìn)行修正，公式為

式中：為等效聲速；ZH為潛標(biāo)深度；Z0為目標(biāo)深度；Cj為深度Zj時的聲速。試驗海域聲速剖面如圖6。設(shè)置相對聲速梯度變化量門限為1×10-6m·s-1，將聲速剖面等梯度分層。在此門限閾值下，得到700層等梯度聲速。ZH為6.204 m，Z0預(yù)估為3 050 m，代入式(8)可解算得為1 495.7 m·s-1。

圖6 試驗海域聲速剖面Fig.6 Sound velocity profile in the experimental sea area

2.2 模型驗證

首先將處理后的數(shù)據(jù)代入無鐘差修正的式(4)，分析殘差表現(xiàn)與定位精度。兩個潛標(biāo)解算所得相對坐標(biāo)及定位精度如表1所示。用定位結(jié)果推殘差，如圖7所示，圖中散點為定位殘差，平滑曲線表示殘差趨勢。

表1 兩潛標(biāo)的定位解算結(jié)果Table 1 The positioning results of two submersible buoys

圖7 兩潛標(biāo)定位結(jié)果反算殘差Fig.7 The inversion residual of two submersible buoys’positioning results

觀察兩潛標(biāo)的殘差表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)均與圖4中“無鐘差修正殘差分布”具有相似的趨勢。可推測試驗數(shù)據(jù)中所包含的鐘差符合設(shè)想模型。故將數(shù)據(jù)代入式(5)進(jìn)行解算，求得兩個潛標(biāo)的相對坐標(biāo)、精度、及精度提高百分比如表2所示，鐘差修正模型系數(shù)如表3所示。

表2 兩潛標(biāo)鐘差修正解算結(jié)果Table 2 Two submersible buoys’ positioning results with clock error correction

表3 兩潛標(biāo)鐘差修正模型系數(shù)Table 3 Clock error correction model coefficients for two buoys

兩潛標(biāo)的鐘差修正前后對比如圖8所示，可見殘差趨勢得到了有效修正。

圖8 兩潛標(biāo)鐘差修正前后殘差對比Fig.8 Comparison of residuals distribution before and after clock error correction for two submersible buoys

通過以上信息可知，鐘差修正后定位精度得到了較明顯提高，潛標(biāo)1的定位精度提高了31.1%，潛標(biāo)2的定位精度提高了64.6%；且解算所得模型系數(shù)與設(shè)備精度基本一致，證明了本文建立的鐘差修正模型的有效性與準(zhǔn)確性。

3 結(jié) 論

本文通過研究水下鐘差產(chǎn)生機(jī)理，提出了適用于水下鐘差修正的算法。通過仿真驗證了模型的有效性及可行性。隨后利用某海試數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行了進(jìn)一步驗證，兩個潛標(biāo)的定位精度較修正前分別提高了31.1%、64.6%，且解算鐘差模型系數(shù)與設(shè)備參數(shù)一致，定位結(jié)果反算殘差對比圖也顯示了修正效果，證明了算法的有效性與準(zhǔn)確性。此模型算法對高精度水下固定點聲學(xué)定位的研究具有推進(jìn)作用，在鐘差存在的情況下可有效提高其定位精度。

本算法為長基線導(dǎo)航中更為復(fù)雜的鐘差修正提供了理論基礎(chǔ)，后續(xù)可以以本文模型為依據(jù)進(jìn)行研究；另外，理論上聲速誤差也是隨時空變化的，在鐘差修正中，亦包含了隨時間變化各種誤差的線性部分；潛標(biāo)1修正后殘差在0附近存在波動，而系統(tǒng)誤差應(yīng)滿足正態(tài)分布，推測此波動為聲速二次型部分帶來的影響，有待進(jìn)一步研究。