基于鐘差建模的水下定位時延修正算法

王雪琰，李記龍，黃敏燕，馮海泓

(1. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海201815；2. 中國科學院大學，北京100049)

0 引 言

近年來，經濟、科學和軍事等方面在海洋領域的高速發展以及人類在海洋活動空間的不斷拓展，對水下定位導航授時(Positioning Navigation and Timing, PNT)提出了越來越高的要求[1]。水下定位導航目前主要手段有慣性導航、地球物理場導航和水聲導航定位[2]。水聲定位應用廣泛，靈活多變，有廣闊的發展前景，是水下定位的主要手段。目前水聲定位的方法主要有超短基線(Ultra-Short Baseline,USBL)定位系統、短基線(Shoot Baseline, SBL)定位系統和長基線(Long Baseline, LBL)定位系統。其中LBL的基線范圍達幾千米，基陣常常布放在海底或海面，目標處于基陣內。裝有應答器或同步信標的基陣固定在海底時，通過測量時延可以獲得每個應答器與目標的斜距。在應答器位置預先確定的條件下，根據球面交匯原理即可確定目標的位置。水下定位中存在各種誤差因素。易昌華等[3]較全面地剖析了二次水聲定位過程中GPS測量、坐標系轉換、換能器安裝、時延測量、聲速計算中存在的誤差，并給出了減小和消除各種誤差的方法。對于聲速誤差，趙建虎等[4]認為削弱聲速相關誤差的有效途徑是建立聲速場模型，且聲速對定位的影響與波束入射角密切相關。孫文洲等[5]分析了聲速剖面對定位測距的影響，根據誤差變化規律設計了對應的走航方式與差分算法。孫大軍等[6]提出了一種通過遺傳算法提取最優有效聲速的方法，以修正非均勻聲速帶來的誤差。關于GPS測定船姿態的誤差影響，趙建虎等[7]提出了利用GPS相位測量技術對船姿態進行測定，提高了數據獲取精度。

海洋大地控制網是由一系列布設在海洋領域的測量控制點構成的大地控制網，是國家測繪局布設的“2000國家大地控制網”的重要組成部分[8]。由陸上、海面、海底三方面的控制點組成，其中最主要的是海底控制點。建設完備、精確的海洋大地控制網是海洋測量、檢測、定位、水下作業等海事活動的基礎。但由于水下測量的局限性，水下控制網點的絕對位置標定難以精確實現。通常布放在海底的固定節點的位置無法直接準確得知，故需對沉底潛標通過水面觀測收集一系列時延信息以對其進行精確標定。時延獲取有應答與同步兩種方式，在通過同步方式獲取時延值時，水面設備與水下設備精準的時鐘同步是獲取精確時延的前提條件。由于水上GPS設備與水下設備存在固有鐘差，在定位時延中增加了一個干擾參數，使得獲取時延存在誤差，進而導致標定誤差。由此可見鐘差也是影響定位精度的一個重要因素，故建立水下同步信標的時鐘漂移模型是亟待解決的問題。

衛星鐘差的建模與預報已有許多學者進行了大量的研究，旨在修正衛星導航系統與地面設備系統之間的鐘差[9]。目前主要的預報方法有多項式模型、灰色模型、卡爾曼(Kalman)濾波模型、各種神經網絡模型、時間序列模型以及以上模型的組合或改進等[10]。在潛標定位過程中，水下設備與水面設備間的鐘差產生原理與衛星鐘差相似。故衛星鐘差的預報模型對于水下時鐘同步算法具有指導作用。

衛星鐘差模型中最為常見、簡便的是多項式模型中的二次多項式模型。此模型短期預報效果較好，物理意義明確。本文依據二次多項式鐘差預報模型，推導了一種適用于水下聲學系統的高精度同步時鐘修正算法。該算法以高精度的差分GPS秒脈沖作為時鐘基準源，以其大地坐標的位置作為水面設備的絕對位置；在水面實時監測水下設備的脈沖信號，并對其做數小時的精確測量；建立水下設備的時鐘漂移模型，推演時鐘誤差修正量；將其代入解算方程，按照遞歸最小二乘法，計算時鐘偏移量，并按照時鐘漂移規律完成水下設備絕對時間的更新。最終通過實驗數據驗證，證明了本算法能有效解決水下設備與水面設備間的鐘差補償問題，實現設備間的時鐘同步。

1 模型建立與仿真

1.1 模型建立

水下鐘差是指在水下聲學定位過程中，由于時鐘頻漂沒有得到及時修正帶來的潛標同步發射與GPS同步信號之間的時鐘誤差。誤差主要來源為水下設備恒溫晶振自身晶體和元件的老化，反映為時鐘的偏移與漂移。

衛星鐘差的二次多項式模型可以表示為[11]

式中： Li表示ti時刻與GPS衛星的鐘差，t0代表參考時刻；a0、a1、a2的物理意義分別為與衛星鐘的鐘差、鐘速與頻漂。鐘差與鐘速對應時鐘偏移和時鐘漂移，為線性變化部分。文獻[12]也指出，短期內時鐘頻率漂移呈線性變化，故假設待修正鐘差為線性模型。若此修正鐘差的誤差模型假設為

式中：te代表含有誤差的時間；tr代表真實時間；k和b分別表示時鐘漂移與時鐘偏移，對應式(1)的a1與a0。假設信號發射周期為 m(單位：s)，由式(2)可推得真實時延公式為

式中：Toi為第i個時延觀測值，Tri為第i個真實時延，i代表時延序號。

單點潛標的定位解算采用最小二乘法，最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。以繞圈走航方式為例，若在不同時刻不同位置獲得N個觀測值，不考慮鐘差時，根據最小二乘法潛標解算公式為

1.2 模型仿真

為證明模型的有效性，探究鐘差給定位帶來的誤差影響，對模型進行仿真驗證。假設海洋中無多普勒影響，聲速固定且無海潮情況。取信號發射周期 m=6 s。系統測時誤差、觀測誤差、聲速測量誤差分別在±5×10-5s、±0.1 m、±0.1 m·s-1的范圍內均勻分布。具體步驟如下：

(1) 選取適當的繞行軌跡與固定潛標坐標。軌跡半徑取1.5 km，誤差在±15 m范圍內均勻分布，按圓軌跡均勻取900個觀測點，圓心處為潛標水平位置，水深為3 km，如圖1所示；

圖1 仿真的繞行軌跡與潛標位置示意圖Fig.1 Schematic diagram of simulated rounding track and submersible buoy’s position

(2) 用固定聲速計算出每個軌跡點對應的時延，按照設想模型給時延附加上已設定誤差參量的鐘差。此處k按鐘漂量級10-9～10-6s設置梯度值(若鐘漂量級為10-9s，則k=1?10-9)，對應的b均設置為0.001 s；

(3) 分別用式(4)與包含鐘差修正解算的式(5)對附加不同鐘差的時延數據進行解算，并反算殘差，計算定位精度。殘差計算公式為

即觀測點i的坐標與解算所得潛標坐標之間的距離與平均聲速乘以相應時延的差值。其中εi代表每個觀測點的反算殘差。定位精度即為反算殘差的均方根值，表示為

經以上步驟可得仿真結果，如圖2所示。由圖2可見解算所得鐘差系數k與設定值基本保持一致，差值控制在10-9量級。參數b的解算誤差保持在10-5s量級。修正前后定位精度變化如圖3所示，尤其當鐘漂量級變大時，定位精度得到了顯著提高，修正后定位精度保持在0.1 m量級。修正前后的定位精度符合實際情況，證明了修正模型的有效性與準確性。

圖2 模型系數k值對比曲線Fig.2 Comparative curve of model coefficient k

圖3 鐘差修正前后定位精度對比曲線Fig.3 Comparative curve of positioning accuracy before and after clock error correction

不同鐘漂量級的無修正定位反算殘差曲線趨勢一致，以10-7s的鐘漂量級為例，水下鐘差對定位殘差的影響趨勢如圖4所示。

圖4 有無鐘差修正殘差分布對比Fig.4 Comparison of residuals distribution with and without clock error correction

2 海試驗證

用于此次驗證的試驗數據來源于2019年7月某海上試驗，試驗水深約為 3 km，繞圈半徑約為1.5 km，在定位區域內任取一點作為原點，將軌跡與潛標的位置用相對坐標表示，潛標1與潛標2的位置與繞圈軌跡如圖 5所示。在海底固定布放潛標，水面船接收同步聲信號，測量接收時延，同時采集船舶的位置、姿態等參考信息。上述信息可精確計算接收點位置。其中測時精度為 50 μs；GPS水平精度為0.2 m，高程精度為0.5 m；觀測誤差為0.1 m；聲速測量誤差為0.1 m·s-1。

圖5 海試數據得到的繞行軌跡與潛標位置示意圖Fig.5 Schematic diagram of rounding tracks and submersible buoys’ positions from sea trial data

2.1 數據預處理

實驗載體的坐標、姿態、航向等數據由GPS和姿態儀實時測定。已知接收陣元在載體坐標系下相對于GPS天線的坐標，將GPS、姿態等數據與陣元時延數據通過時間標對齊后，即可利用完備的數據，通過公式換算將陣元在接收時刻的坐標轉換到大地坐標系下。對于時延數據和相應的換能器坐標進行預處理。選取相應潛標的繞圈軌跡與相應時延后，即可用最小二乘法解算；對于繞圈解算中的聲速選取，平均聲速法[13]具有良好的適用性。平均聲速法本質上是適當選取一個等效聲速，使它對應的等效傳播時延等于真實的傳播時延。采用在垂直線上取深度的平均來對聲速進行修正，公式為

式中：為等效聲速；ZH為潛標深度；Z0為目標深度；Cj為深度Zj時的聲速。試驗海域聲速剖面如圖6。設置相對聲速梯度變化量門限為1×10-6m·s-1，將聲速剖面等梯度分層。在此門限閾值下，得到700層等梯度聲速。ZH為6.204 m，Z0預估為3 050 m，代入式(8)可解算得為1 495.7 m·s-1。

圖6 試驗海域聲速剖面Fig.6 Sound velocity profile in the experimental sea area

2.2 模型驗證

首先將處理后的數據代入無鐘差修正的式(4)，分析殘差表現與定位精度。兩個潛標解算所得相對坐標及定位精度如表1所示。用定位結果推殘差，如圖7所示，圖中散點為定位殘差，平滑曲線表示殘差趨勢。

表1 兩潛標的定位解算結果Table 1 The positioning results of two submersible buoys

圖7 兩潛標定位結果反算殘差Fig.7 The inversion residual of two submersible buoys’positioning results

觀察兩潛標的殘差表現，發現均與圖4中“無鐘差修正殘差分布”具有相似的趨勢。可推測試驗數據中所包含的鐘差符合設想模型。故將數據代入式(5)進行解算，求得兩個潛標的相對坐標、精度、及精度提高百分比如表2所示，鐘差修正模型系數如表3所示。

表2 兩潛標鐘差修正解算結果Table 2 Two submersible buoys’ positioning results with clock error correction

表3 兩潛標鐘差修正模型系數Table 3 Clock error correction model coefficients for two buoys

兩潛標的鐘差修正前后對比如圖8所示，可見殘差趨勢得到了有效修正。

圖8 兩潛標鐘差修正前后殘差對比Fig.8 Comparison of residuals distribution before and after clock error correction for two submersible buoys

通過以上信息可知，鐘差修正后定位精度得到了較明顯提高，潛標1的定位精度提高了31.1%，潛標2的定位精度提高了64.6%；且解算所得模型系數與設備精度基本一致，證明了本文建立的鐘差修正模型的有效性與準確性。

3 結 論

本文通過研究水下鐘差產生機理，提出了適用于水下鐘差修正的算法。通過仿真驗證了模型的有效性及可行性。隨后利用某海試數據對模型進行了進一步驗證，兩個潛標的定位精度較修正前分別提高了31.1%、64.6%，且解算鐘差模型系數與設備參數一致，定位結果反算殘差對比圖也顯示了修正效果，證明了算法的有效性與準確性。此模型算法對高精度水下固定點聲學定位的研究具有推進作用，在鐘差存在的情況下可有效提高其定位精度。

本算法為長基線導航中更為復雜的鐘差修正提供了理論基礎，后續可以以本文模型為依據進行研究；另外，理論上聲速誤差也是隨時空變化的，在鐘差修正中，亦包含了隨時間變化各種誤差的線性部分；潛標1修正后殘差在0附近存在波動，而系統誤差應滿足正態分布，推測此波動為聲速二次型部分帶來的影響，有待進一步研究。